지난 학기에 미기개 1을 수강하였지만, 특히 벡터장 나오기 시작한 부분부터 이해를 잘 하지 못했다는 느낌이 들어 오늘 다시 살펴보았다.
오늘은 그래서 미기개 1의 꽃이라고 불리지만 내가 잘 이해하지는 못했던 Gauss-Bonnet Theorem을 다시 살펴보았다. 두 가지를 깨달았는데,
1) 미기개 1이 미적분학 3이라고 불리는 것이 별로 합당하지 않은 별칭임을 강하게 느꼈다.
2) 시험을 잘 보는 것과 이해를 잘 하는 것은 생각보다 약한 관계를 가짐을 느꼈다.
핵심적인 질문. 평면 위 삼각형의 외각의 합은 $2\pi$이다. 임의의 곡면 위에서 그것이 성립하지 않는 이유는 무엇인가? (예컨대 구면 위 대원들의 호 셋으로 북극, 적도 + 경도 0도의 점, 적도 + 경도 90도의 점을 꼭지점으로 하는 삼각형의 외각의 합은 $\frac{3}{2}\pi$이다).
정리. (Local Gauss-Bonnet)
$x: U \to S$가 orthogonal parametrization이라 하자. (즉, $\braket{x_{u},x_{v}} = F = 0$이 항상 성립). S가 유향곡면이고, $R \subset S$가 simple region이라 하자 (R은 region이니 집합으로써 열린 연결집합과 그 경계이며, simple이니 평면의 disc와 위상동형이다).
$R$의 경계 $\partial R$을 $\alpha: I \to \partial R$로 매개화하였고, $\alpha$가 양의 방향을 가진다고 하자. 또한, $\alpha$는 호의 길이로 매개화된 조각적 정규곡선이어서, $\alpha(t_{0}) < ... < \alpha(t_{k})$에서 꼭지점을 가진다 하자.
이제, $\theta_{i}$를 $\alpha(t_{i})$에서의 외각, K를 가우스 곡률, $k_{g}$를 지오데식 곡률이라 하면
$$\Sigma_{i=0}^{k} \int_{t_{i}}^{t_{i+1}} k_{g}(s)ds + \iint_{R} K d\sigma + \Sigma_{i=0}^{k} \theta_{i} = 2\pi$$
질문과 해답.
Q1. 이것이 왜 위상과 기하를 연결하는가?
-> 우변이 $2\pi$가 되는 이유는 우리가 R을 simple region이라 가정했기 때문이 일어난다. 즉, R이 disc와 homeomorphic하다는 사실이 우변을 결정한다.
좌변은 기하적 성질에 의해 결정되고, 우변은 위상적 성질에 의해 결정되는데, 둘이 같으니 이 정리가 놀랍다고 할 만하겠다.
Q2. 왜 지오데식 곡률이 등장하는가?
-> 직관적으로, 곡면 위에 있으면서 $\mathbb{R}^{3}$에 잠재된 곡선이 우리 눈에 곡률을 가지는 이유는 두 가지이다.
1) 곡면 자체가 휘어져 있기 때문.
2) 곡선이 곡면 내에서도 휘어져 있기 때문.
1)을 재는 것이 가우스 곡률이다. 2)를 재는 것이 geodesic curvature이다.