A Proof a Day keeps Dementia Away

오늘은 학교에서 무료 나눔을 해주었던 계승혁 교수님의 <군과 조화해석>을 펼쳐보았다. 당연히 내가 다 이해할 수 있는 내용이라고 생각하지는 않았지만 컨볼루션 연산자가 군의 표현론과 어떻게 관련이 된다는 주장이 흥미로워서 더 읽어보려고 했었다.

그런데 처음부터 위상군 내용이 나왔다. 위상군을 하지는 않았었지만 Munrkes에 부록으로 등장하는 것은 알고 있기에, 위상군 내용을 조금 복습해보고, 연습문제를 조금 풀어보고자 한다.

정의. (위상군)

G가 군이라 하자. 이제 G에 $\mathcal{T}_{1}$ 공리를 만족하는 위상 $\mathcal{T}$가 주어져 있고, 두 연산

$$f: G \times G \to G, f(s,t):= st \\  g: G \to G, g(s) := s^{-1}$$

가 연속이라 하자. 이러면 G를 위상군이라 한다.

<연습문제>

1. H가 군이고, $\mathcal{T}_{1}$ 공리를 만족하는 위상공간이라 하자.

$$h: H \times H \to H, h(x,y):= xy^{-1}$$

이 연속인 것과 H가 위상군인 것이 동치임을 보이시오.

풀이.

함수 $g: H \to H, g(y):= y^{-1}$를 생각해 보면, $g(y) = h(e,y)$임을 알 수 있다. 따라서 $y^{-1} \in U$가 G의 열린집합이라 하면, $(e,y) \in h^{-1}(y^{-1})$이고, 어떤 기저집합 $V \times W \subset H \times H$가 존재하여 $h(V \times W) \subset U$가 성립한다. 다시, 이는 $g(W) \subset U$임을 의미하고, W는 G의 열린집합이므로 $g$는 연속이다.

이제, $\tilde{g}: G \times G \to G \times G, \tilde{g}(x,y) := (x, y^{-1})$는 연속이다. 또한, $h \circ \tilde{g}$는 앞서 정의한 곱 함수인데, 연속함수의 합성이므로 연속이다.

4. $\alpha \in G$라 하자. 다음의 사상들

$$f_{\alpha}: G \to G, f_{\alpha}(x) = \alpha x \\ g_{\alpha}: G \to G, g_{\alpha}(x) = x\alpha$$

이 동형사상임을 보이시오. 이 명제는 G가 동질공간 (homogeneous space) 임을 보인다.

풀이.

임의의 $\alpha \in G$에 대해 $f_{\alpha}, g_{\alpha}$가 연속임을 보이면 된다. 이는 $f_{\alpha^{-1}} = f_{\alpha}^{-1}$이기 때문이다.

곱함수 $f: G \times G \to G$를 생각하자. $f_{\alpha}(x) = f(\alpha,x)$임에 주목하라.

이제, G의 열린집합 $\alpha x \in U$를 생각해 보면, $(\alpha,x) \in f^{-1}(U)$이므로, 어떤 기저집합 $V \times W \subset G \times G$가 존재하여 $(\alpha,x) \in V \times W \subset G \times G$가 성립한다.

따라서, $y \in W \Rightarrow f_{\alpha}(y) = f(\alpha,y) \in U$가 성립하여, $f_{\alpha}$는 연속이다. 비슷한 논의를 $g_{\alpha}$에 대해서도 할 수 있다.

5. H가 G의 부분군이라 하자. $x\in G$면, $xH := \{xh| h\in H\}$를 G 내 H의 좌잉여류라 부른다. $G/H$를 H의 좌잉여류들의 집합이라 하자. 이 집합에 몫위상을 부여하자.

(a) $\alpha \in G$면, 4.에서 정의한 함수 $f_{\alpha}$가 $G/H$ 사이의 위상동형사상을 유도하여, $xH$를 $(\alpha x)H$로 보냄을 보이시오. 이 결과는, $G/H$도 동질공간임을 의미한다.

풀이.

몫위상이 뭔지가 가물가물하여 고른 문제이다.

직관적으로 몫위상은 원래 위상공간의 몇몇 점들에 동치류를 부여하여, "같음을 부여하는" 작업이라 할 수 있다.

어떤 함수 $\pi: G \to H$가 전사이고, $G$가 위상공간일 때, f를 "이어붙이는 함수"로 생각한다면, $\pi$를 연속으로 만드는 가장 세밀한 위상을 G에 부여한 것이 몫위상이다.

따라서, $H$의 모든 부분집합의 역상을 생각하여, $S \subset H$에 대해 $f^{-1}(S)$가 $G$에서 열린집합인 경우, 그리고 그 경우에만 $S$를 열린집합으로 선언하는 것이다.

원래 위상공간 G 사이의 사상 $g: G \to G$가 있다 하자. 또한, $g$가 다음 조건을 만족한다 하자:

$$\pi(y) = \pi(y') \Rightarrow \pi(g(y)) = \pi(g(y'))$$

그러면, $h: H \to H$를 다음의 식을 만족하도록 정의하려고 시도해도, 정의가 잘 된다:

$$h\pi = \pi f$$

이제 $f_{\alpha}: G \to G$를 생각해 보자.

$\pi(x) = \pi(y) \Leftrightarrow x^{-1}y \in H$이다.

이제, $(\alpha x)^{-1}(\alpha y) = x^{-1}y \in H$이므로, $\pi \circ f (x) = \pi \circ f(y)$도 만족한다. 따라서 $h: G/H \to G/H$가 잘 정의된다.

$h$가 정의된 방식에 의해, $h_{\alpha}(xH) = f_{\alpha}(x)H = (\alpha x)H$이다.

임의의 $\alpha$에 대해 $h_{\alpha}$가 전단사임은 쉽게 알 수 있으니, 연속함수임을 보이자.

$(\alpha x)H \in G/H, (\alpha x)H \in U$라 하자 (U는 $G/H$서 열린집합).

이제, $xH \in h^{-1}((\alpha x)H)$인데, $xH \in V, h(V) \subset U$를 만족하는 열린집합 V를 잡아야 한다.

$\tilde{U} := f^{-1}\circ \pi^{-1}(U)$는 G에서 열린집합이다. 이제, $\pi(\tilde{U})$가 열린집합이라면, 정의상 문제가 해결될 것이다. 이를 위해 $\pi$가 열린 사상임을 보이자.

보조정리. $\pi$는 열린사상이다.

증명.

$U \subset G$가 열린집합이라 하자. $\pi^{-1}(UH) = \pi^{-1}(\{xH | x\in U\})$가 $G$에서 열린집합임을 보이면 증명이 끝난다. 그런데 $\pi^{-1}(UH) = \{xh | x\in U, h\in H\}$임을 알 수 있다. 이는 다시 $\cup_{h \in H} Uh$인데, 우리가 앞서 살펴보았듯 사상 $g_{h}: G \to G, g_{h}(x) = xh$는 위상동형사상이므로 열린 사상이고, 따라서 이 집합은 열린집합의 합집합이어서 열린집합이다. 따라서 $\pi$는 열린사상이다.

어쩌다가 보니 (c)도 같이 풀었다!

<군과 조화해석>에 나왔던 명제는 다음의 설명으로 갈음한다.

Prop 1.1. (G는 위상군이고, 뒤에 나오는 함수 g는 곱함수이다.)

오늘의 진도: 4.2. Affine Weyl groups

오늘의 요약:

1. $\Phi$가 Crystallographic root system이고 W가 $\Phi$에 의해 생성되는 유한반사군이라 하자. 이제 W와 관련된 아핀군 $W_{a}$은, 아핀 초평면과 관련된 반사$\{s_{\alpha,k}| \alpha \in \Phi, k \in \mathbb{Z} \}$들에 의해 생성되는 군이다.

2. $Aff(V) =  O(V) \rtimes V$임을 상기하자. 직관적으로, "아핀변환 = 직교변환과 평행이동의 합성"을 나타내는 식이다. 이와 유사하게, $W_{a} = W \rtimes L(\Phi^{\vee})$이다. 이는 $s_{\alpha,k}(v) = s_{\alpha}(v- \frac{k}{2}\alpha^{\vee} + \frac{k}{2} \alpha^{\vee} = s_{\alpha}(v) + k\alpha^{\vee}$기 때문에, $W_{a} \unlhd{W \rtimes L(\Phi^{\vee})}$가 성립한다. 역으로, $s_{\alpha}s_{\alpha,k}(v) = v - k\alpha^{\vee}$이므로, $W \rtimes L(\Phi^{\vee}) \unlhd{W_{a}}$이다.

3. $\hat{L} := \{\lambda \in V | (\lambda,\alpha) \in \mathbb{Z}, \forall \alpha \in \Phi\}$라 정의하자. 이제 $\hat{W_{a}} := W \rtimes \hat{L}$로 정의하면, $\hat{W_{a}}$는 $W_{a}$를 유한 지수의 부분군으로 포함하는 아핀군의 부분군이 된다.

이제 $W_{a}, \hat{W_{a}}$를 정의하였으니, 이들이 어떻게 V에 act하는지, 특히 초평면들의 집합 $\mathcal{H}$에 어떻게 act하는지가 관심사가 될 것이다.

사실 지금 당장은 내가 보고 있는 문제에 열조화함수가 어떻게 적용될지 감이 정확히 잡힌 상태는 아니고, 그냥 '아 뭔가 유용하겠는데' 이런 직감만 있다. 발산정리의 경우 이를 이용하여 열조화함수에 대한 좋은 성질을 하나 증명할 수 있기 때문에 제목에 추가하였다.

정의. (열조화함수)

G가 좌표평면의 열린 부분집합이라 하자. $\Phi: G \to \mathbb{R}$가 $C^{2}$급 함수라 하자. 이제 $\Phi$가 열조화함수라는 것은,

$$\Delta \Phi = \Phi_{xx} + \Phi_{yy} \geq 0$$

임을 의미한다.

조화함수는 경계값 조건이 주어진 평면에서의 열 방정식의 균형해이다.

열조화함수도 분명 편미분방정식에 어떤 유용한 역할을 수행할 것 같다.

아래는 열조화함수에 대한 성질이다. 조화함수에 대해서는 등호가 성립했음에 주목하자:

정리.

(편의상 $G = \mathbb{R}^{2}$라 하자.) u가 열조화함수면, 다음이 성립한다:

$$ \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} u(R \cos(\theta), R \sin(\theta)) d\theta \geq u(0)$$

증명.

복소함수론 1 과목에서 조화함수의 경우 등호가 성립함을 보았었다. 거기서 나온 증명도 결국 이 아이디어를 본딴 것 같기는 한데, 나만의 언어로 재해석하는 차원에서 소개하고자 한다.

일반성을 잃지 않고 $u(0) = 0$이라 가정하자.

기울기 벡터장을 좌표평면에 부여한다:

$$F(x,y) := (u_{x}, u_{y})$$

이제, $div F = u_{xx} + u_{yy} = \Delta u$가 성립한다.

이것을 집합 $C = \{(x,y)| x^{2} + y^{2} \leq R^{2}\}$의 영역에서 적분하면, 열조화함수 가정에 의해 0보다 크거나 같다:

$$\iint_{C} \Delta u dA = \iint_{C} div F dA \geq 0$$

그런데, 2차원 발산 정리에 의해

$$\iint_{C} div F dA = \int_{\partial C} F \cdot n ds$$

우변을 전개하기 위해, $\partial C$를 반시계방향으로 매개화하여 $s(\theta) = (R \cos(\theta), R \sin(\theta))$라 두면 $ds = r d\theta$이고,

$$\int_{\partial C} F \cdot n ds = R \int_{0}^{2\pi} u_{x} \cos(\theta) + u_{y} \sin(\theta) d\theta$$

가 성립한다.

그런데, $$\frac{\partial u(R \cos(\theta), R \sin(\theta))}{\partial R} = u_{x} \cos(\theta) + u_{y} \sin(\theta)$$가 성립한다. $u$가 $C^{2}$급이므로. 라이프니츠 규칙을 적용하여 R에 대한 편미분을 적분 밖으로 뺄 수 있다.

따라서

$$R \int_{0}^{2\pi} u_{x} \cos(\theta) + u_{y} \sin(\theta) d\theta = R \frac{d}{dR} \int_{0}^{2\pi} u(R \cos(\theta), R \sin(\theta)) d\theta$$

따라서

$$R \frac{d}{dR}\int_{0}^{2\pi} u(R\cos(\theta), R\sin(\theta))d\theta \geq 0$$

이고, R이 양수면

$$\frac{d}{dR} \int_{0}^{2\pi} u(R\cos(\theta), R\sin(\theta)) d\theta \geq 0$$

이 성립한다. 이때 함수가 최소한 $C^{2}$급이므로 도함수도 연속이고, 0에서의 미분계수도 0 이하이다.

따라서, 미적분학의 기본 정리를 쓰면, 양수 R에 대해

$$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} u(R \cos(\theta), R \sin(\theta)) d\theta \geq 0 = u(0)$$

가 성립한다. $\square$

사실 이걸 올리고 싶었다 ㅋㅋ.

지난 학기에 미기개 1을 수강하였지만, Gauss-Bonnet theorem을 잘 이해하지 못하고 넘어갔던 것을 보충하다가, geodesic curvature이 정리에 나타나지만 그 의미를 잘 이해하지 못했음을 깨닫고 geodesic curvature 단원을 다시 살펴보았다.

Motivation. Geodesic curvature은 곡면 위 곡선이 "곡면 위에서" 얼마나 휘어져 있는지를 나타내는 측도이다. 예컨대, 원기둥 위에서 원의 둘레를 따라가는 곡선은 곡면이 $\mathbb{R}^{3}$에 내재되어 있기 때문에 휘어져 보이지만, 전개도를 펼쳐보면 평면 위에서 직선으로 표현되기 때문에 "원기둥 위에서 휘어져 있지 않다"고 주장할 수 있다.

우리는 미기개1 수준에서, $\mathbb{R}^{3}$에 잠재된 2-다양체를 살펴본다.

정의. (Covariant derivative)

$S$는 $\mathbb{R}^{3}$에 잠재된 가향 정규곡면이고, $C \subset S$는 곡면 위에 놓인 곡선이라 하자. 또한, $\alpha: I \to S$가 $C$의 arclength parametrization이라 하자.

$\alpha'' = \frac{d\alpha'}{ds}$는 $\mathbb{R}^{3}$ 안에서 바라본 $\alpha$의 이계미분이다. 이제, $\frac{d\alpha'}{ds}$를 각 점에서의 접평면 $T_{p}S$에 사영한 벡터를 $\frac{D\alpha'}{ds}$라 표기하고, 속도벡터장의 covariant derivative라 부른다.

정의. (algebraic value of the covariant derivative; geodesic curvature)

매개화가 arclength에 대한 것이기 때문에, $|\alpha'| \equiv 1$이다. 따라서, $\langle \frac{d\alpha'}{ds}, \alpha' \rangle = 0$이 성립하고, 따라서 $\frac{D\alpha'}{ds} = \lambda (N \wedge \alpha')$를 만족하는 함수 $\lambda(s)$가 존재한다.

각 점에 대한 함숫값 $\lambda(s)$를 곡선의 geodesic curvature라 부르고, $[\frac{D\alpha'}{ds}]$ 또는 $k_{g}$라 표기한다. 만약 벡터장이 $\alpha'$이 아니라 일반적인 w면, $[\frac{Dw}{dt}]$를 algebraic value of the covariant derivative라 부른다.

이렇게 살펴보면 geodesic curvature과 covariant derivative는 가속도 벡터를 $\mathbb{R}^{3}$의 원소로 보고, 다시 접평면 $T_{p}S$에 사영한 후 크기를 잰 것이 되므로 전혀 내재적인 개념이 아닌 것처럼 보인다. 그러나 다양체를 어디에 잠재시켰는지에 무관하게 기하적 성질들을 살펴보고 싶기 때문에, 우리는 geodesic curvature이 내재적 개념임을 주장하고 싶다.

곰곰히 생각해보면 (처음 볼때는 전혀 감상하지 못했었지만), 이렇게 정의를 했음에도 불구하고 내재적 개념이 된다는 사실이 상당히 놀라울 따름이다.

geodesic curvature이 내재적 개념임을 보이는 긴 작업은 "양의 방향을 따라 벡터장이 이루는 각도를 미분가능하게 잴 수 있음"을 증명하면서 시작된다. 

두 (단위)벡터장 $v,w$가 있고, $w$가 $v$와 이루는 "양의 방향의 각도"를 재고 싶다고 하자. 가장 순진한 시도는, 접평면의 양의 기저가 되도록 $\{v, \bar{v}\}$를 잡고, $w(t) = \cos(\theta(t)) v + \sin(\theta(t)) \bar{v}$가 된다고 주장하는 것이다. 그러나 이 때 $\theta$가 미분가능하게 정의되는지가 문제된다. 아래에서 갑자기 ab'-ba' 항이 튀어나오는 것은, $a(t) = \cos(\varphi(t)), b(t) = \sin(\varphi(t))$가 성립한다고 가정해보고 계산을 진행하면 그냥 $\varphi'$가 나오기 때문이라고 보면 된다.

보조정리 1. $a,b: I \to \mathbb{R}$가 두 미분가능한 함수여서 $a^{2}+b^{2} = 1$을 만족한다 하자. 또한, $\varphi_{0}$가 존재하여 $a(t_{0}) = \cos(\varphi_{0}), b(t_{0}) = \sin(\varphi_{0})$가 성립한다 하자.

이제 함수

$$\varphi(t) := \varphi_{0} + \int_{t_{0}}^{t} (ab'-ba')dt$$

는 미분가능하며, $a(t) = \cos(\varphi(t)), b(t) = \sin(\varphi(t))$를 만족한다.

증명. 제곱합이 1이라는 조건에 의해 $aa'= - bb'$이 성립한다. 우리는

$$(a(t) - \cos(\varphi(t))^{2} + (b(t) - \sin(\varphi(t))^{2} = 0$$임을 보이고자 한다.

이는 다시

$$a \cos(\varphi) + b \sin(\varphi) = 1$$

임을 보이는 것과 같다.

미분계수를 생각하면

$$a' \cos(\varphi) - a \varphi' \sin(\varphi) + b' \sin(\varphi) + b \varphi' \cos(\varphi) = 0$$을 얻을 수 있고,

$t = t_{0}$을 대입하여 초기조건도 성립함을 확인할 수 있다. $\square$

이 지식을 바탕으로, 두 벡터장의 algebraic value의 차가 각도의 미분임을 보인다. 이를 평면에서 생각하면, 속도벡터의 미분의 차가 각도의 미분임을 주장하는 꼴인데, 속도벡터들이 단위원 위에만 있도록 제한을 하면 (각속도 같은 물리적인 고려를 통해) 성립함을 직관적으로 이해할 수 있다.

보조정리 2. $v,w$가 arclength로 매개화된 곡선 $\alpha$ 위의 두 벡터장이라 하자. 이제,

$$[\frac{Dv}{ds}] = [\frac{Dw}{ds}] + \frac{d\varphi}{ds}$$

증명.

S가 가향곡면이라 하면, $\bar{w}$를 잡아 $\{w,\bar{w}\}$가 항상 양의 방향의 정규직교기저가 되도록 만들 수 있다.

이제 보조정리 1에서 정의한 "v의 각도를 재는 함수" $\varphi$가 존재하여,

$$v = \cos(\varphi) w + \sin(\varphi) \bar{w}$$

가 항상 성립한다. 따라서, $\frac{dv}{ds} = - \varphi' \sin(\varphi) w + \cos(\varphi) \frac{dw}{ds} + \varphi' \cos(\varphi) \bar{w} + \sin(\varphi) \frac{d\bar{w}}{ds}$이다.

한편, $\bar{w} = N \wedge w$임을 알 수 있다. 유사하게 $\bar{v} = N \wedge v$라 하면,

$$\bar{v} = -\sin(\varphi) w + \cos(\varphi) \bar{w}$$

임을 알 수 있다.

정의에 의해 $[\frac{Dv}{ds}] = \langle \frac{dv}{ds}, \bar{v} \rangle$이므로, 전개를 한 후 내적의 성질과 $w, \bar{w}$가 직교임을 이용하여 항별로 정리를 하면

$$[\frac{Dv}{ds}] = \frac{d\varphi}{ds} + \cos^{2}(\varphi) \langle \frac{dw}{ds}, \bar{w} \rangle - \sin^{2}(\varphi) \langle\frac{d\bar{w}}{ds}, w\rangle$$

그런데 $ \langle w, \bar{w} \rangle \equiv 0$을 이용하면 $-sin^{2}$항의 내적을 $\cos^{2}$항의 내적으로 바꿀 수 있어서 결론이 성립한다. $\square$

이제 우리는 정말로 geodesic curvature이 intrinsic 한 개념임을 확인할 선행조건들을 갖추었다.

정리. $x(u,v)$가 직교매개화라 하자. 이제 다음의 식이 성립한다:

$$k_{g} = \frac{1}{2\sqrt{EG}}{G_{u} \frac{dv}{ds} - E_{v} \frac{du}{ds}} + \frac{d\varphi}{ds}$$

Rmk. 우변은 각도의 미분 (각도를 정하는 방식은 접평면만 필요하면 되는 것이었으므로, 내재적), FFF와 그 미분계수 (내재적), 그리고 $\frac{dv}{ds}, \frac{du}{ds}$ (chart하는 방식에 의존하지만 마찬가지로 어디에 잠재시키는지와는 무관하므로 내재적)만을 사용하므로, 다양체를 어디에 잠재시키는지와 무관한 내재적인 개념이다.

증명. 

증명의 아이디어는 방향을 하나 잡아버리는 데서 시작되며, 이 방향으로서 자연스러운 후보는 u 방향의 unit vector field $e_{1} = \frac{x_{u}}{\sqrt{E}}$이다. (향을 적절히 잡아서, $\{e_{1}, e_{2}\}$가 양의 기저가 되도록 하자.)

w는 $\alpha$ 위 임의의 단위벡터장이라 하자.

보조정리 2에 의해

$$[\frac{Dw}{dt}] = [\frac{De_{1}}{dt}] + \frac{d\varphi}{dt}$$

이제,

$$[\frac{De_{1}}{dt}] = \langle \frac{de_{1}}{dt}, N \wedge e_{1} \rangle =\langle\frac{de_{1}}{dt}, e_{2}\rangle \\ = \langle(e_{1})_{u},e_{2} \rangle\frac{du}{dt} + \langle(e_{1})_{v}, e_{2} \rangle \frac{dv}{dt}$$

또한, 직교매개화의 성질에 의해,

$$\langle x_{uu},x_{v} \rangle = -\frac{1}{2} E_{v}$$

따라서

$$(e_{1})_{u},e_{2} \rangle = \frac{1}{\sqrt{EG}} \langle x_{uu}, x_{v}\rangle= -\frac{E_{v}}{2\sqrt{EG}}$$이고, 유사한 방식으로 다른 항도 증명을 할 수 있다. $\square$

지난 학기에 미기개 1을 수강하였지만, 특히 벡터장 나오기 시작한 부분부터 이해를 잘 하지 못했다는 느낌이 들어 오늘 다시 살펴보았다.

오늘은 그래서 미기개 1의 꽃이라고 불리지만 내가 잘 이해하지는 못했던 Gauss-Bonnet Theorem을 다시 살펴보았다. 두 가지를 깨달았는데,

1) 미기개 1이 미적분학 3이라고 불리는 것이 별로 합당하지 않은 별칭임을 강하게 느꼈다.

2) 시험을 잘 보는 것과 이해를 잘 하는 것은 생각보다 약한 관계를 가짐을 느꼈다.

핵심적인 질문. 평면 위 삼각형의 외각의 합은 $2\pi$이다. 임의의 곡면 위에서 그것이 성립하지 않는 이유는 무엇인가? (예컨대 구면 위 대원들의 호 셋으로 북극, 적도 + 경도 0도의 점, 적도 + 경도 90도의 점을 꼭지점으로 하는 삼각형의 외각의 합은 $\frac{3}{2}\pi$이다).

정리. (Local Gauss-Bonnet)

$x: U \to S$가 orthogonal parametrization이라 하자. (즉, $\braket{x_{u},x_{v}} = F = 0$이 항상 성립). S가 유향곡면이고, $R \subset S$가 simple region이라 하자 (R은 region이니 집합으로써 열린 연결집합과 그 경계이며, simple이니 평면의 disc와 위상동형이다). 

$R$의 경계 $\partial R$을 $\alpha: I \to \partial R$로 매개화하였고, $\alpha$가 양의 방향을 가진다고 하자. 또한, $\alpha$는 호의 길이로 매개화된 조각적 정규곡선이어서, $\alpha(t_{0}) < ... < \alpha(t_{k})$에서 꼭지점을 가진다 하자.

이제, $\theta_{i}$를 $\alpha(t_{i})$에서의 외각, K를 가우스 곡률, $k_{g}$를 지오데식 곡률이라 하면

$$\Sigma_{i=0}^{k} \int_{t_{i}}^{t_{i+1}} k_{g}(s)ds + \iint_{R} K d\sigma + \Sigma_{i=0}^{k} \theta_{i} = 2\pi$$

질문과 해답.

Q1. 이것이 왜 위상과 기하를 연결하는가?

-> 우변이 $2\pi$가 되는 이유는 우리가 R을 simple region이라 가정했기 때문이 일어난다. 즉, R이 disc와 homeomorphic하다는 사실이 우변을 결정한다.

좌변은 기하적 성질에 의해 결정되고, 우변은 위상적 성질에 의해 결정되는데, 둘이 같으니 이 정리가 놀랍다고 할 만하겠다.

Q2. 왜 지오데식 곡률이 등장하는가?

-> 직관적으로, 곡면 위에 있으면서 $\mathbb{R}^{3}$에 잠재된 곡선이 우리 눈에 곡률을 가지는 이유는 두 가지이다.

1) 곡면 자체가 휘어져 있기 때문.

2) 곡선이 곡면 내에서도 휘어져 있기 때문.

1)을 재는 것이 가우스 곡률이다. 2)를 재는 것이 geodesic curvature이다.

오늘은 뭔갈 많이 하진 못했지만, PDE보다 더 간단한 ODE

$$u = K*u$$

의 해가 무엇일까 고민을 해 보았다. 이걸 만족하는 u가 만약 원래 Xin-Jin model의 해도 된다면 금상첨화일 것이겠지만, 그것까지 기대하는 것은 아니고 그냥 컨볼루션이 도대체 미분방정식에 뭘 하는가를 더 잘 이해하는 것이 목표이다.

처음 했던 생각은 우리가 $u' = u$의 해를 구하기 위해 양변에 $e^{-x}$를 곱한 다음 이항을 하여 식 전체를 하나의 미분으로 이해하는 것처럼, $e^{K*U}$ (U는 u의 antiderivative)를 곱할 수 없나 했지만, 문제는 u가 명시적으로 들어와버리는 식은 곱해봤자 아무짝에도 쓸모가 없다는 것이었다.

그래서 결국 진전은 별로 없었고, 단지 특정한 $K$에 대해 해가 되는 $u$가 무엇인지를 생각해보았다. 그 결과 두 가지 경우가 떠올랐다:

$K(\tau) = H(-\tau)e^{2\tau}, u(x) = e^{x}$ (H는 heaviside function)와

$K(\tau) = \frac{1}{2} H(\tau - \frac{\pi}{2}) H(-\tau - \frac{\pi}{2}), u(x) = sin(x)$

가 해가 됨을 계산으로 확인하였다.

첫번째 경우, 함수 u와 커널 K가 형태적으로 유사하였고, 지수함수라는 점 덕분에 $u(x-\tau)$를 "옮겨버릴" 수 있었다. 두번째 경우도 결국 옮겨버릴 수 있다는 점이 꽤 중요하게 작용하는 것 같았다.

기록만 해두고, 좀 더 의미 있는 논의는 내일 해봐야겠다.

100만년 만에 돌아왔다!

자율연구 보고서를 오늘 제출하여서 드디어 시간이 생겼다.

지난번에 positive Coxeter graphs를 살펴본 이후로, 오늘은 Affine reflection groups를 시작해보고자 한다.

다만 내용을 살펴보니, 2장의 일부분을 조금은 다시 다룰 필요가 있는 것 같아 그 부분도 살펴보고자 한다.

<개념 보충>

Def. (crystallographic group)

General linear group GL(V)의 부분군 G가 crystallogrphic 하다는 것은, 어떤 V의 기저 $\beta$와 $\beta$의 $\mathbb{Z}$-span $L$ (격자 lattice를 의미)에 대해, G가 L을 stabilize함을 의미한다.

즉, G가 V 위의 group action을 정의하는데, L 위의 원소들은 항상 L 위의 원소들에만 남는다는 것을 의미한다.

Def. (crystallographic root system)

유클리드 공간 V의 root system $\Phi$가 crystallographic하다는 것은, 

$$\forall \alpha,\beta \in \Phi, \frac{2(\alpha,\beta)}{(\beta,\beta)} \in \mathbb{Z}$$

를 의미한다.

Def. (Weyl group)

유클리드 공간 V 위의 유한반사군이면서 crystallographic group인 군 W를 Weyl group이라 부른다.

Prop. $\Phi$가 crystallographic root system이면, $\Phi$에 의해 정의되는 반사들로 이루어지는 군은 Weyl group이다.

증명. $\Phi$의 simple system $\Delta$를 취해보면 이것이 격자의 기저 $\beta$가 된다.

오늘의 아이디어: 우리는 유한반사군을 이해하기 위해 simple system을 이해하는 것으로 족함을 살펴보고, 유한반사군은 항상 Coxeter system이 되고 따라서 추상적인 군으로써 유한히 생성되고 간단한 관계를 가짐을 보았다. 이제 원점을 지나는 초평면이 아닌 초평면에 대한 반사들로 이루어지는 군도 Coxeter system이 되지 않을까?

오늘의 요약:

1. 아핀변환 Aff(V)는 GL(V)와 V의 반직접곱 $GL(V) \ltimes V$이다 (따라서 집합으로서는 순서쌍이고, 연산에 대해서는 $(g,v) \times (h,v') = (g(vhv^{-1}), vv')$으로 정의한다).

2. Crystallographic root system $\Phi$와 Weyl group $W$가 주어졌다 하자. $H_{\alpha,k} := \{v\in V| (v,\alpha) = k\} , \mathcal{H} := \{H_{\alpha,k}| \alpha \in \Phi, k\in \mathbb{Z}\}$로 정의하고, $H_{\alpha,k}$에 대한 반사를 $s_{\alpha,k}$로 정의하자. 이제, 다음의 명제가 성립한다:

$$(a) w\in W \Rightarrow wH_{\alpha,k} = H_{w\alpha,k}, ws_{\alpha,k}w^{-1} = s_{w\alpha.k}\\ (b) \text{If } \forall \alpha\in \Phi, (\lambda, \alpha) \in \mathbb{Z}, t(\lambda) H_{\alpha,k} = H_{\alpha, k+(\lambda,\alpha)}, t(\lambda) s_{\alpha,k} t(\lambda)^{-1} = s_{\alpha, k+(\lambda,\alpha)}$$

Rmk. 명제의 증명은 단순계산이다. 다만, 유한반사군과 아핀반사군의 경우가 어떻게 다를지 추측하고자 한다.

일단, 우리가 다루는 아핀반사군은 $s_{\alpha,k}$들로 생성되는 군일 것이다. 유한반사군의 경우 어떤 반사에 대응되는 벡터가 존재하였고, root system $\Phi$에서 W에 의해 $\Phi$의 벡터들이 치환되었다. 그런데 아핀반사군의 경우 반사에 대응되는 벡터는 더 이상 존재하지 않고, 대신 초평면들은 존재한다. 따라서 root system에서 정의를 시작하지만, 결국은 개별적인 벡터들을 보는 것이 아니라, 초평면들의 유한 부분집합에서 시작하고, 그 부분집합에 대응되는 반사들을 적당히 합성하면 $\mathcal{H}$ 전체에 항상 도달할 수 있냐가 주 관심사가 될 것이다 (simple system과 비슷한 것을 만들어내는 것이 목표일 것이기 때문).

뒷부분을 이미 살짝 본 입장에서, 그것이 아마 alcove의 동기가 아닐까 추측한다. 그런데 초평면들 자체를 그냥 살펴보지 않고 굳이 alcove라는 새로운 개념을 왜 도입하는지는 아직 모르겠다. 또한, 왜 $\Phi$가 crystallographic하다는 것이 그리 중요한지도 모르겠다.

오늘은 어제 한 내용을 컨볼루션이 들어간 Xin-Jin model

$$u_{tt} - \lambda^{2}u_{xx} + u_{x} + K * u_{t} = 0 \\ u(x,0) = f(x), u_{t}(x,0) = g(x)$$

으로 확장하겠다. 생각보다 확장이 어렵지 않았는데, 오히려 그래서 불길하다. (아이디어가 뭔가 문제 전체를 풀기에 부적합했나? 싶기도 하다)

우선, 커널에 가정을 하자. 컨볼루션은 공간변수 x에 진행되어,

$$[K*u](x,t) := \int_{-\infty}^{\infty} K(\tau) u(x-\tau ,t)d\tau$$

로 정의한다. 또한, 가장 단순한 상황을 위해 커널이 compact support (say, $[-M,M]$)를 지니고,

$$\int_{-\infty}^{\infty} |K(\tau)| d\tau = 1$$

이라 하자.

이전과 마찬가지로 편미분방정식을 일종의 점화식으로 바라보고, 수열을 구성하고자 한다.

이전과 달리, 우리는 정의할 때부터 공간변수 x를 명시할 것이다 (컨볼루션이 있기 때문)

$$(i,0)(x) := f^{(i)}(x), (i,1)(x):= g^{(i)}(x) \\ (i,j)(x) := \lambda^{2} (i+2,j-2)(x) - (i+1,j-2)(x) + \int_{-M}^{M} K(\tau) \cdot (i, j-1)(x-\tau) d\tau$$

이전과 마찬가지로 $M>>1$에 대해 양수 A,B가 있어 $|(i,0)(x)|, |(i,1)(x)| \leq Ae^{-Bx}$를 만족한다 하자.

이제 다음을 주장하고자 한다.

명제 1.2.

$x \geq M$에 대해

$$|(i,j)(x)| \leq ((\lambda^{2}+1+e^{MB})^{j}Ae^{-Bx}$$

가 성립한다.

증명.

j=0, 1일 때는 가정에 의해 성립한다.

귀납 단계에서는,

$$|(i,j)(x)| \leq \lambda^{2} |(i+2,j-2)(x)| + |(i+1,j-2)(x)| + \int_{-M}^{M} |K(\tau)| |(i,j-1)(x-\tau)| d\tau \\ \leq \lambda^{2} (\lambda^{2}+1+e^{MB})^{j-1}Ae^{-Bx} + (\lambda^{2}+1+e^{MB})^{j}Ae^{-Bx} + |(i,j-1)(x-M)| \int_{-M}^{M} |K(\tau)|d\tau \\ \leq \lambda^{2} (\lambda^{2}+1+e^{MB})^{j-1}Ae^{-Bx} +(\lambda^{2}+1+e^{MB})^{j-1}Ae^{-Bx} + e^{MB} (\lambda^{2}+1e^{MB})^{j-1}Ae^{-Bx} = (\lambda^{2}+1+e^{MB})^{j}Ae^{-Bx} \square$$ 

에 의해 성립한다.

이러면 이전의 단계들을 모두 그대로 거칠 수 있다. 다만 수렴반경이 $\frac{1}{\lambda^{2}+1+e^{MB}}$로 줄어들고, 주어진 x에 대해 u의 상한이 증가하는 속도가 $e^{(\lambda^{2}+2)t}$에서 $e^{(\lambda^{2}+1+e^{MB})t}$로 증가한다는 단점이 있겠다.