A Proof a Day keeps Dementia Away

오늘은 100만년 만에 정규연재글과 비슷한 무언가로 돌아온 필자이다.

최근 필자가 복습에 굉장히 게을렀는데, 이유는 첫째 진짜 게을러서(...)이고 둘째는 한 주 동안 아팠기 때문이다.

그래서 오늘 과제를 하면서 책도 찾아보고 필기도 뒤져가면서 나름 큰 그림부터 다져가는 작업을 하였고, 기말고사 범위의 내용들은 세부적인 증명이나 caveat들은 나중에 채우는 방식으로 공부하기로 했다. 물론 이러면 성적은 100% 타격을 받을 것이다. 그렇지만 장기적으로는 이 새로운 방식이 좋다고 생각할 뿐만 아니라, 큰 그림에 집중하면 보다 더 본질적인 고민 (이 과목을 도대체 왜 배우는가?)에 신경을 쓸 수 있게 되지 않을까 하는 것이 나의 바람이다.

따라서 오늘은 Rudin 11단원. Lebesgue Theory의 큰 그림을 소개하고자 한다.

우리는 리만-스틸체스 적분을 배우면서, $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 꼴의 실함수들이 예컨대 연속이거나 유한 점에서만 불연속하고 $\alpha$가 $f$의 불연속점들에서 연속이라면 폐구간 $[a,b]$에서 $f$의 크기에 대한 정보를 함축하는 하나의 좋은 숫자를 스틸체스 적분, 즉 $\int_{a}^{b} fd\alpha$의 작업을 통해 얻을 수 있었다. 이 작업이 또한 선형성과 단조성을 만족한다는 사실은 결코 사소하지 않은 사실들이다.

그러나 이러한 방식은, 그 모든 장점에도 불구하고 결국 실함수에서만, 그것도 꽤나 제약적인 조건이 붙는 실함수에서만 사용할 수 있다는 치명적인 단점이 있다 (나중에 살펴보겠지만, 어떤 함수가 폐구간에서 리만적분가능할 필요충분조건은 거의 모든 곳에서 연속인 것이다). 따라서 르벡 이론의 제 1 목표는 더 일반적인 공간을 정의역으로 가지는 실함수들의 크기에 대한 정보를 잘 요약하는 적분을 정의하는 것이다.

그러나 실함수다 하더라도 정의역에 대해 아무것도 모르면 우리는 적분을 정의할 수 없다. 에컨대 집합 전체에서 1로 정의된 함수는 집합 절반에서는 1, 절반에서는 0으로 정의된 함수보다 '크다'고 직관적으로 말하고 싶다. '집합 전체', '집합 절반'에 대해 이야기하려면 집합의 크기를 재는 어떤 도구가 필요하고, 르벡 이론에서는 이를 측도가 맡는다. 이런 도구들이 아무렇게나 정의되어서는 곤란할 것이고, 예컨대 '크기는 음이 아니다'라는 직관과 일치하도록 양의 실수 또는 $+\infty$만을 가지도록 정의될 것이고, '크기는 가법적이다'라는 직관과도 일치하도록 정의될 것이다.

(의문: msble function이 어디서 나타나야 하는가??)

특히 $\mathbb{R}^{n}$에서는 우리가 이미 크기에 대해 가지고 있는 직관이 있다: n-box $\Pi_{i=1}^{n} (a_{i}, b_{i})$의 크기는 $\Pi_{i=1}^{n} (b_{i}-a_{i})$여야 한다는 직관이 그것이다. 따라서 특별히 $\mathbb{R}^{n}$에 대해서는, 이러한 직관과 일치하면서 위에서 살펴본 n-box보다 넓은 종류의 집합들에서 정의할 수 있는 측도가 존재하는지가 관심사일 것이다. 그런데 Vitali set와 같은 반례가 이야기하듯, 이런 직관들을 모두 유지하면서 $\mathbb{R}^{n}$의 모든 부분집합에 대해 크기를 잘 정의할 수 없다. 따라서 필연적으로 이런 성질들이 잘 유지되는 집합들 위에서만 측도를 정의하려고 하는데, 이런 노력의 결과가 $\sigma$-ring, $\sigma$-algebra라고 할 수 있다.

정리하자면, 르벡 이론의 목표는 보다 일반적인 함수들의 크기에 대해 이야기할 수 있는 적분을 정의하는 것이다. 이것을 하기 위해서는 정의역의 크기에 대해서도 이야기할 수 있어야 하므로 측도가 필요하다. 그런데 임의의 집합에 대해서 측도를 정의하려고 하면 크기에 대한 직관과 충돌하는 지점이 생기므로, 크기에 대한 직관 (음이 아닌 성질이나 가법성)을 유지할 수 있는 집합의 범위를 표현하기 위해서 $\sigma$-ring, $\sigma$-algebra의 언어가 필요하다.

수학에서 자주 나타나는 특징이지만, 이러한 이론적 필요성과 교재의 내용의 전개 방향은 정반대이다. 먼저 책에서는 $\sigma$-ring, $\sigma$-algebra를 정의한다. 이후 측도를 정의하기 위해 set function을 이야기하고, 특히 $\mathbb{R}^{n}$에서 n-box들에 대한 직관을 유지하는 측도인 Lebesgue measure가 elementary set들의 (어떤 의미에서의) closure, 나아가 그 closure의 집합들의 가산합집합들로 이루어진 어떤 $\sigma$-algebra서 잘 정의됨을 보이는 구성과정을 거친다. 이런 모든 과정을 거친 후에야 measure space에서 정의된 measurable function의 적분을 정의한다.

다음 연재에서는 따라서 첫 번째 파트인 set functions, $\sigma$-rings, $\sigma$-algebras와 관련된 이야기를 하도록 하겠다.

흠...사실 글을 올린지 100만년이 된 것 같은 이 기분에 어떻게 다시 시작해야 할지 감이 오지 않는다.

내가 원했던 그림은 이전에 했던 것처럼 책을 그대로 베끼기보다, 증명에서 쓰인 아이디어들을 내가 일목요연하게 정리해서 올리는 것이었지만, 일단 걸을 수 있기 전에는 기어가는 법을 배워야 하기 때문에 글쓰기 재활(?)할 겸 무한대에서의 이상적분과 관련한 간단한 정리를 증명하고자 한다. (사실 말이 이상적분이지 결국 함수의 극한에 대한 "코시" 성질이다.)

우선 무한대로의 이상적분을 정의하자:

정의. 실함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$와 실수 $a$가 주어져 있다 하자. 또한 $M>a$인 모든 실수 $M$에 대해 $f$가 $[a,M]$서 리만적분 가능하다고 가정하자.

이제

$$\int_{a}^{\infty} f(t)dt = L \Leftrightarrow \\ \forall \epsilon > 0, \exists R \in \mathbb{R} s.t. M>R \Rightarrow |\int_{a}^{M} f(t)dt - L| < \epsilon$$

으로 정의한다. 축약해서 쓰자면

$$\int_{a}^{\infty} f(t)dt = L \Leftrightarrow \\ lim_{M\to\infty} \int_{a}^{M} f(t)dt$$

라고 할 수 있겠다.

이제 이렇게 정의한 이상적분에 대해서 수열과 유사한 "코시" 성질을 정의하자:

정의. $f$가 위에서 정의한 실함수라 하자. 이제 $h: [a,\infty) \to \mathbb{R}, h(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt$가 무한대에서 코시라는 것은 다음을 의미한다:

$$ \forall \epsilon > 0, \exists K \space s.t. N_{1}, N_{2} \geq K \Rightarrow |\int_{N_{1}}^{N_{2}} f(t)dt| < \epsilon$$

질문은 과연 무한대에서의 이상적분이 존재하는 것과 적분이 무한대에서 코시인 성질이 동치이냐는 것이다.

우선 한 방향은 보이기 매우 쉽다:

$(\Rightarrow)$

$lim_{M \to \infty} \int_{a}^{M} f(t)dt = L$이라 하자.

$\epsilon > 0$을 고정하자. 그렇다면 실수 $K$가 존재하여, $N \geq K \Rightarrow |\int_{a}^{N} f(t)dt - L|< \frac{\epsilon}{2}$이다.

따라서 $N_{1}, N_{2} \geq K \Rightarrow |\int_{N_{1}}^{N_{2}} f(t)dt| \leq |\int_{a}^{N_{1}} f(t)dt - L| + |\int_{a}^{N_{2}} f(t)dt - L| \leq \frac{\epsilon}{2} *2 = \epsilon$이다.

이제 반대방향을 보이도록 하자:

$(\Leftarrow)$

적분이 무한대에서 코시라 하자. 그렇다면 $\epsilon > 0$이 고정되었을 때, 실수 $K$가 존재하여

$N_{1}, N_{2} \geq K \Rightarrow |\int_{N_{1}}^{N_{2}} f(t)dt| < \frac{\epsilon}{2}$가 성립한다.

이제 양의 무한대로 발산하는 아무 수열 $\{x_{n}\}$을 잡자.

그렇다면 어떤 양수 $N$이 존재하여, $n \geq N \Rightarrow x_{n} \geq K$가 성립하고, 따라서 $y_{n} := \int_{a}^{x_{n}} f(t)dt$는 코시 수열이 되어 어떤 값으로 수렴한다. 이 값을 $L$이라 하자. 따라서 위에서 잡은 $\epsilon > 0$에 대해, 또 어떤 양수 $N'$이 존재하여, $n \geq N' \Rightarrow |y_{n} - L|<\frac{\epsilon}{2}$가 성립한다.

이제 $x \geq K$라 하자. 아랫첨자가 $N'$보다 크면서 값이 $K$보다 큰 $\{x_{n}\}$의 어떤 항 $x_{m}$을 잡으면, 삼각부등식에 의해

$|\int_{a}^{x} f(t)dt - L| \leq |\int_{a}^{x_{n}} f(t)dt - L| + |\int_{x_{n}}^{x} f(t)dt| \leq \frac{\epsilon}{2} * 2 = \epsilon$이 성립하여 원하던 바를 증명하게 된다. $\square$

오...내일 해개연2 중간고사다...큰일났다...

큰일났지만 지금와서 할 수 있는 것은 복습밖에 없으므로 그리 하도록 하겠다.

과제 문제들은 내일 마지막으로 다시 풀어보는걸로 하고, 오늘은 정리들의 내용과 흐름을 일목요연하게 정리하는 과정을 거치도록 하겠다. 어차피 정리들이 뇌리에 잘 박혀 있어야 써먹을 생각을 하기 때문에...

<The Big Picture>

우리의 가장 큰 목표는 우리가 잘 아는 함수들로 잘 모르는 함수들을 설명하는 것이다.

이 문장을 잘 째려보면 세 가지 의문점이 들 것이다.

1) '잘 아는 함수'란 무엇인가?

2) '잘 모르는 함수'란 무엇인가?

3) '설명한다'는 것이 무엇인가?

1)에 대한 대답: 다항함수는 우리에게 가장 잘 알려져 있는 함수이다. 다항함수의 대표적인 특징으로는 무한히 미분가능하다는 것이 있고, 유한 개의 항으로 함수 전체가 설명된다는 특징이 있다. 

2)에 대한 대답: 예컨대 연속함수나 폐구간 [a,b]서 리만적분가능 함수는 너무 넓어서 우리가 시각화할 수 없는 것들이 많다. 대표적인 예시로 모든 곳에서 연속이나 어디에서도 미분가능하지 않은 바이어슈트라스 함수가 존재한다. 이런 함수는 우리의 직관에 굉장히 반하는 기이한 함수이다. 연속이라는 개념이 생각보다 약한 개념이기에, 우리가 당장 상상할 수 있는 것보다 다양한 함수가 존재하고 우리가 이것을 모두 설명하지 못하는 상황이다.

3)에 대한 대답: 일단, 다항함수만으로 모든 연속함수가 도출되지는 않음이 분명하다. 다항함수가 아닌 연속함수가 있기 때문이다. 그렇다면 차선책으로는 다항함수로 연속함수를 '근사'하는 것이다. 따라서 이는 거리의 개념을 내포한다. 또한, 하나의 다항함수만을 이용하기보다는 다항함수열을 이용하여 점점 연속함수에 가까워지도록 근사하는 것이 더 합당할 것이다. 이는 수열의 개념을 내포한다. 따라서 함수들의 특징이 잘 드러나는 어떤 거리공간을 구성했을 때, 그 거리공간상으로 수렴하는 다항함수열을 찾는 것이 우리의 과업일 것이다. 

중간고사 시험범위인 푸리에 급수까지를 끝내면 다음과 같은 대표적인 정리들이 도출된다:

1) 폐구간에서 연속인 임의의 함수를 다항함수열로 근사할 수 있다. 또한 다항함수만이 아니라 SP and VNP를 만족하는 임의의 함수들의 집합에서도 같은 정리가 성립한다. (Stone-Weierstrass)

2) 2-norm에 의해서는 임의의 리만적분가능 함수를 자신의 푸리에 급수 함수열로 근사할 수 있다. (Parseval)

<7. Sequences and Series of Functions>

예컨대 임의의 연속함수를 다항함수로 근사할 수 있는지 고민하고 있다 하자. 그런데 내가 근사하고 싶은 연속함수가 예컨대 실수 전체에서 Lipschitz continuous하다 하자. 이제 직관적으로 질문할 수 있는 것은, 내가 1차함수들만을 고려해야 하는가이다. 왜냐하면 2차 이상의 다항함수들은 실수 전체에서는 Lipschitz continuous 하지 않기 때문이다.

그러나 우리는 이러한 보장이 없다. 예컨대 2차함수들로 만든 어떤 다항함수열이 어떤 '극한' 함수에 '수렴'한다 하자. 함수열의 각 항은 Lipschitz continuous하지 않다. 하지만 극한 함수 또한 Lipschitz continuous 하지 말라는 보장은 현재 없는 실정이다.

역으로, 1차함수들은 전역적으로 Lipschitz continuous하지만, 그 극한 함수 또한 Lipschizt continuous하다는 보장이 없는 상황이다. 예컨대 첫째, 둘째 명제가 성립한다면 우리는 1차함수들만을 고려하여 극한 함수를 구성하면 될 것이다. 반면 둘째 명제가 성립하지 않는다면 1차함수들로 이루어진 어떤 수열이 있을 때 그 극한함수가 실제로 L.C하다는 사실을 일일이 또 보여야 할 것이다.

이처럼 함수열이 어떤 '극한'으로 '수렴'할 때 함수열의 원래 항들이 지니던 특성이 계승되는지가 쟁점이 된다. 그러나 가장 먼저 떠올릴 법한 극한과 수렴의 개념으로는 계승되는 것이 아예 없다고 봐도 무방하다:

정의. (점별수렴)

$E$가 거리공간이고 $\{f_{n}\}$이 $E$서 정의된 함수열이라 하자. 이제 $x\in E \Rightarrow \exists lim_{n\to\infty} f_{n}(x)$가 성립하면, $f_{n}$이 어떤 극한함수 $f$로 점별수렴한다 하고, 다음과 같이 $f$를 정의한다:

$f(x) := lim_{n\to\infty} f_{n}(x), x\in E$

점별수렴에서는 다음의 사실이 성립한다:

1) 연속함수로 이루어진 함수열은 불연속함수로 점별수렴할 수 있다.

<=> $f_{n}(x) \to f_{n}(a)$ 후 $n \to \infty$를 취하는 것과, $n \to \infty$를 취한 후 $f(x) \to f(a)$를 취하는 것이 교환되지 않는다. 

eg. $f_{n}: [0,1] \to \mathbb{R}, f_{n}(x) = (1-x^{2})^{n}$

이 때 $f(x) = \begin{cases} 0 \space (0 \leq x < 1) \\ 1 \space (x=1) \end{cases}$

2) 미분가능함수로 이루어진 함수열은 미분불가능한 함수로 점별수렴할 수 있다. 

<=>

$t \to x$ 이후 $n \to infty$를 취하는 연산과, $n \to \infty$ 이후 $t \to x$를 취하는 연산과 교환되지 않는다.

eg. 뒤에서 살펴보겠지만 Stone-Weierstrass 정리에 의해 $E = [0,1]$에서 $f(x) = |x|$로 점별수렴하는 다항함수열이 존재한다. 그런데 각 다항함수는 무한번 미분가능하지만, $|x|$는 명백히 $x=0$서 미분불가능하다.

다른 예시로 $E = \mathbb{R}, f_{n}(x) = \frac{sin(nx)}{\sqrt{n}}$가 있다. $x=0$서 미분계수가 무한대로 발산해 버린다.

3) 리만적분 가능함수로 이루어진 함수열의 극한함수는 리만적분 불가능할 수 있다. (또는 적분값이 다른 값이 될 수 있다)

<=>

$\int$ 이후 $n \to infty$를 취하는 연산과, $n \to \infty$ 이후 $\int$를 취하는 연산이 교환되지 않는다.

eg. $E = [0,1], f(x) = x^{2} (1-x^{2})^{n}$를 보면, 적분 후 극한을 보내면 무한대로 발산하고, 극한 후 적분하면 0이 나온다.

4) 단조증가하는 함수열의 극한함수는 여전히 단조증가한다.

proof.

$x < y$라 하자. 이제 각 $n$에 대해 $f_{n}(x) \leq f_{n}(y)$이다. 양변에 극한을 취하면 $f(x) \leq f(y)$도 성립한다.

5) 유계인 함수열의 극한함수는 유계가 아닐 수 있다.

eg. $E = (0,1), f_{n}(x) = \begin{cases} n \space (0/< x < \frac{1}{n}) \\ \frac{1}{x} \space (\frac{1}{n} < x < 1) \end{cases}$

극한함수는 $f(x) = \frac{1}{x}$으로 유계가 아니다. 그러나 함수열의 $n$번째 항은 분명히 $n$에 의해 유계이다.

특별히 1)~3)에서 보듯이, 점별수렴만으로는 극한 과정을 교환할 수 없다. 따라서 극한 과정을 교환할 수 있는 어떤 함수열의 조건이 주어진다면, 1)~3)에 대한 문제가 해결될 것이라 예측할 수 있다.

그렇다면 언제 극한 과정이 교환될 수 있을까 하는 문제가 생긴다.

정의. (균등수렴)

$E$가 거리공간이고 함수열 $\{f_{n}\}$이 극한함수 $f$로 점별수렴한다 하자. 이제 특히 다음이 성립한다 하자:

$\forall \epsilon > 0, \exists N s.t. n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)| <\epsilon, \forall x\in E$

이제 $f_{n}$은 $f$에 균등수렴한다 하며, $f_{n} \rightarrow_{u} f $라 표시한다.

<8. Special functions>

-- 수정중 --

지난 시간에는 멱급수의 형태로 정의된 함수들을 살펴보았었다. 특히, 멱급수의 형태로 정의된 함수들은 수렴반경에서 실해석적이며 (점 근방에서 함수가 자신의 테일러 전개로 수렴) 수렴반경 내부의 임의의 구간에서 균등수렴한다는 사실이 중요했다.

이제 이번 시간에는 급수를 활용하기는 하지만 다른 방식으로 정의된 급수를 살펴볼 것이다. 이 급수는 다항식을 베이스로 한 멱급수와 달리 삼각함수를 베이스로 한 푸리에 급수이다. 마찬가지로 푸리에 급수가 언제 자기 자신으로 수렴하는지가 문제된다. 그러나 이 문제를 본격적으로 다루려면 르벡 적분을 알아야 하므로 현 시점에서는 비교적 약한 정리들만을 증명할 수 있음에 유념하라.

글의 순서는 다음과 같다:

<목차>

1. 함수공간에서의 정규직교집합

 1-1. 구체적 예시: 삼각함수, 지수함수

2. 삼각 다항식, 삼각급수, 푸리에 급수

 2-1. 삼각 다항식

 2-2. 삼각 급수

 2-3. 푸리에 급수

3. 푸리에 급수의 탐구

 3-1. 푸리에 급수 계수들의 상한: Bessel's Inequality

 3-2. 립시츠 연속은 점별수렴을 보장

 3-3. 푸리에 급수는 원함수에 "수렴": Parseval's Theorem

1. 함수공간에서의 정규직교집합

 함수공간의 적절한 부분집합을 잡으면 벡터공간이 만들어진다. 예컨대 $\mathcal{C}([a,b])$는 폐구간 $[a,b]$서 연속인 함수들의 집합이라 하자. 연속함수는 스칼라곱과 덧셈에 대해서도 연속함수이고 이것이 교환법칙, 결합법칙 등 연산의 좋은 성질들을 만족하므로, 이 집합은 벡터공간이다.

 더욱이, 리만적분 가능한 함수들만이 들어 있는 벡터공간에서는 내적이 정의된다. 예컨대 앞서 살펴본 $\mathcal{C}([a,b])$의 경우 다음과 같이 내적이 정의된다:

$$ f(t) \bullet g(t) = \int_{a}^{b} f(t) \overline{g(t)} dt$$

 이제 이런 적절히 선택한 내적공간에서 정규직교기저를 찾을 수 있다면 여러모로 좋다는 사실을 알 수 있다 (예컨대 정사영을 할 수 있을 것이다.) 그러나 우리는 현재 일반적인 함수공간에서 기저를 찾기란 사실상 이론상 가능하다는 사실만 안다. 따라서 우리는 차선책으로, 1) 정규직교집합을 찾은 다음에 2) 그 정규직교집합으로 '사실상 내적공간의 모든 함수들을 잘 설명할 수 있다'는 사실을 보이는 순서를 취할 것이다.

 현 시점부터는 내적공간을, 복소수 값을 가지는 실함수 중 리만적분 가능한 함수들 $V = \mathcal{R}([a,b])$로 잡도록 한다.

정의. (정규직교집합)

$V$에 속하는 함수들의 집합 $\{\phi_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$이 다음을 만족한다 하자:

$$ n \neq m \Rightarrow \int_{a}^{b} \phi_{n}(t) \overline{\phi_{m}(t)} dt = 0$$

이제 이 집합은 [a,b]서 정의된 함수들의 직교집합 (orthogonal system of functions)이다.

또한 $V$에 속하는 함수들의 집합이 추가로 다음을 만족한다 하자:

$$ \int_{a}^{b} |\phi_{n}(t)|^{2} dt = 1$$

이제 이 집합은 [a,b]서 정의된 함수들의 정규직교집합 (orthonormal system of functions)이다.

 1-1. 구체적 예시: 삼각함수, 지수함수

eg. $[a,b] = [0,2\pi]$라 하자. 이 구간 위에서 리만적분 가능한 다음 함수들을 살펴보자:

$\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{cos(x)}{\sqrt{2\pi}}, \frac{sin(x)}{\sqrt{2\pi}}, \frac{cos(2x)}{\sqrt{2\pi}}... \}$

이 함수들은 통상적인 함수 내적공간에서 정규직교집합을 이룬다. 

eg. $[a,b] = [0,2\pi]$라 하자. 마찬가지로

$\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{inx} | n \in \mathbb{Z}\}$는 통상적인 함수 내적공간에서 정규직교집합을 이룬다.

2. 삼각 다항식, 삼각급수, 푸리에 급수

 2-1. 삼각 다항식

 우리는 앞서 $\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx} | n \in \mathbb{Z} \}$가 함수들의 정규직교집합을 이룸을 살펴보았다. 이하에서는 이 집합을 기반으로 하여 내용을 전개하도록 한다.

정의. (삼각다항식)

$a_{n}, b_{n} \in \mathbb{C}$라 하자. 이제 다음의 유한합을 (n차) 삼각다항식이라 한다:

$$ f(x) = a_{0} + \Sigma_{n=1}^{N} a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx) ...(*)$$

오일러 등식 $e^{ix} = cos(x) + i*sin(x)$에 의해 (*)꼴의 삼각 다항식은 다음과 같이도 표현할 수 있음을 안다:

$$ \Sigma_{-N}^{N} c_{n} e^{inx}, c_{n} \in \mathbb{C} ...(**)$$

이러한 꼴의 식 역시 (n차) 삼각다항식이라 부른다.

사실 합의 개념에서는 상당히 생소한, $-N$에서 $N$까지 합한다는 개념이 갑자기 등장하지만, 유한합의 경우 합의 순서가 전혀 상관이 없으므로 그저 $\{-N,-N+1,...,N-1,N\}$에서 $\{1,...,2N+1\}$로 가는 임의의 전단사로 새로 index를 매긴 후 이것을 유한합하였다 보면 될 것이다.

만약 어떤 삼각다항식 $f(x) = \Sigma_{-N}^{N} c_{n} e^{inx}$이 주어져 있으면, 다음이 성립한다:

$$\int_{-\pi}^{\pi} (\frac{1}{\sqrt{2\pi}}f(x))(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-imx}) dx = \begin{cases} c_{m} \space\space (|m| \leq N) \\ 0 \space\space (o.w) \end{cases}$$

여기서 $\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{imx} | -N \leq m \leq N \}$는 정규직교집합임에 주목하라. 우리가 하고 있는 곱한 후 적분하는 과정은 일종의 (추상적인 벡터공간에서) 정사영이고, 이 정사영의 과정으로 얻어지는 정보로 원래 함수를 복원할 수 있는지를 알고 싶다. 이제 삼각다항식으로 표현되는 함수들의 경우, 정사영을 통해 함수 전체를 복원할 수 있다는 결과를 얻는다는 점이 중요하다.

 2-2. 삼각 급수

정의. (삼각급수)

다음의 식을 삼각 급수라 부른다:

$$f(x) = \Sigma_{-\infty}^{\infty} c_{n} e^{inx}, c_{n} \in \mathbb{C}$$

여기서는 일단 $\Sigma_{\infty}^{\infty}$가 무엇을 의미하는지 알야아 한다. 어떤 $x$에서 $f(x)$가 존재한다는 것은, $lim_{N\to\infty} \Sigma_{-N}^{N} c_{n}e^{inx}$가 존재한다는 것을 의미한다. 

따라서 $f$는 일종의 무한차 삼각다항식이라고 볼 수 있다. 엄밀히 말해서는 $f$가 존재하는 $x$에 대해서만 저 식을 삼각급수라 불러야 하나, 이 책에서는 이를 별도로 언급하고 넘어가지 않고 있다. 따라서 앞으로는 $c_{n}$과 관련된 조작을 할 때 $f$가 수렴하는 범위에서 그런 조작을 한다고 이해하면 될 것 같다.

이 때 우리가 $\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx$를 통해 계수를 복원하고 싶다. 허나 우리는 균등수렴에 관한 정리가 이 상태에서는 없으므로 이 조작을 할 수 없다는 점에 유의하라.

 2-3. 푸리에 급수

 $f$가 $[-\pi, \pi]$서 리만적분 가능한 함수라고 하자. 이제 다음의 복소수는 모든 정수 $n$에 대해 존재한다:

$$c_{n} = \int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx} dx$$

이제 이렇게 정의된 계수로 만든 삼각급수 $\Sigma_{-\infty}^{\infty} c_{n} e^{inx}$를 $f$의 푸리에 급수라 하고, 표기법상으로 $$f ~ \Sigma_{-\infty}^{\infty} c_{n} e^{inx}$$라 표기한다 (이 표기는 삼각급수가 $f$로부터 유도될 뿐이고, 실제 $f$로 수렴하는지는 모르기 때문에 사용한다).

이제 핵심적인 문제는 다음과 같다:

$f$를 바탕으로 어떤 삼각급수를 만들었다 하자. $f$가 어떤 성질을 가지면 그 삼각급수가 원함수로 수렴할까?  

3. 푸리에 급수의 탐구

 3-1. 푸리에 급수 계수들의 상한: Bessel's Inequality

푸리에 급수가 원래 함수에 수렴하는지에 대해서는 보장이 가능하지 않다. 그러나, 푸리에 급수의 부분합은 어떤 의미에서는 "같은 차수 이하의 삼각 다항식 중에서는" 가장 좋은 근사라고 할 수 있는데, 이것이 다음의 정리를 통해 나타난다:

정리 8.11

우리가 고려하는 함수공간의 원소들은 $[a,b]$서 리만적분 가능하다 하고, $\{\phi_{n}\}$이 함수들의 정규직교 집합이라 하자. 이제 $c_{m} = \int_{a}^{b} f(x) \overline{\phi_{m}}(x)dx$의 작업을 통해 $f$의 푸리에 급수를 유도할 수 있다. 이제 푸리에 급수의 $m$차 부분합을 $s_{m} = \Sigma_{n=1}^{m} c_{n} \phi_{n}$이라 하자.

이제 $t_{m} = \Sigma_{n=1}^{m} \gamma_{n} \phi_{n}$이라 할 때, 다음이 성립한다:

$$ \int_{a}^{b} |f(x) - s_{m}(x)|^{2} dx \leq \int_{a}^{b} |f(x) - t_{m}(x)|^{2}dx$$

#주석. 여기서 $\phi_{m}$들의 함수들이 통상적으로 사용하는 지수함수 $e^{imx}$이라면, 푸리에 급수의 부분합이 같은 차수 이하의 삼각다항식들 중 최고의 근사라는 의미를 정리가 내포함을 안다.

또한, 정리가 말하는 "최고의 근사"라는 것은 적분에 의해 정의되는 노름임에 유의하라. 예컨대 함수공간에서의 sup norm과는 다른 형태이다.

증명.

다음의 사실에 주목하자:

$$\int_{a}^{b} f(t) \overline{t}_{m}(t) dt \\ = \Sigma_{n=1}^{m} \overline{\gamma}_{m} \int_{a}^{b} f(t) \overline{\phi}_{n}(t) dt \\ = \Sigma_{n=1}^{m} c_{n} \overline{\gamma}_{n}$$

따라서, 다음이 성립한다:

$$ \int_{a}^{b} (f(x) - t_{m}(x))(\overline{f}(x) - \overline{t}_{m}(x)) dx \\ = \int_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx - \int_{a}^{b} f(x) \overline{t}_{m}(x) dx - \int_{a}^{b} \overline{f}(x) t_{m}(x) + \int_{a}^{b} |t_{m}(x)|^{2} dx \\ = \int_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx - \Sigma_{n=1}^{m} c_{n} \overline{\gamma}_{n} - \Sigma_{n=1}^{m} \overline{c}_{n} \gamma_{n} + \Sigma_{n=1}^{m} |\gamma_{n}|^{2} \\ = \int_{a}^{b} |f(x)|^{2}dx - \Sigma_{n=1}^{m} |c_{n}|^{2} + \Sigma_{n=1}^{m} |c_{n} - \gamma_{n}|^{2}$$

이제 이 수량이 최소가 되기 위한 필요충분조건이 $c_{n} = \gamma_{n}$이라는 것을 알 수 있다.

이 식으로부터 다음의 사실을 알 수 있다:

$$ \int_{a}^{b} |f(x) - s_{m}(x)|^{2} dx = \int_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx - \Sigma_{n=1}^{m} |c_{n}|^{2} \geq 0 \\ \Rightarrow \int_{a}^{b} |f(x)|^{2} dx \geq \Sigma_{n=1}^{m} |c_{n}|^{2}$$

여기서 $m \to \infty$에도 여전히 부등식이 성립한다:

따름정리. (Bessel's Inequality)

$$ \Sigma_{n=1}^{\infty} |c_{n}|^{2} \leq \int_{a}^{b} |f(x)|^{2}$$

특히 만약 $\phi_{n}$이 $e^{inx}$의 꼴이고, 삼각다항식이 $s_{N}(x) = \Sigma_{n=1}^{N} c_{n} e^{inx}$로 주어지면, 부등식은 $ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |s_{N}(x)|^{2}dx = \Sigma_{-\infty}^{\infty} |c_{n}|^{2} \leq \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^{2}dx$로 주어진다.

 3-2. 립시츠 연속은 점별수렴을 보장

푸리에 급수가 원함수에 점별수렴하도록 보장하는 약한 조건들이 있다면 참 좋을 것이다. 일단은 립시츠 연속이라는 매우 강력한 조건을 이용하여 점별수렴을 보장하도록 한다.

정리 8.14 (립시츠 연속은 점별수렴을 보장)

$f$는 $[-\pi, \pi]$서 리만적분 가능한 함수이고 $2\pi$의 주기를 가진 함수라 하자. 또한, 어떤 점 $x\in [-\pi, \pi]$에서 다음이 성립한다 하자:

$$ \exists \delta > 0 , M > 0 \space\space s.t. |x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < M|x-y|$$

이제 함수 $f$와 점 $x$로부터 유도한 푸리에 급수의 $n$차 부분합을 $s_{n}(f;x) = \Sigma_{-n}^{n} c_{k}e^{ikx}$이라 하면, 다음이 성립한다:

$$lim_{n \to \infty} s_{n}(f;x) = f(x)$$

증명.

$f$는 $2\pi$ 주기 함수이고 $[\pi, \pi]$서 리만적분 가능하다. 따라서 푸리에 급수의 계수를 정의할 수 있는데, 우리는 정규직교 함수들의 집합으로 지수함수를 택하기로 한다.

이 경우

$$c_{n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int} dt$$

이고, 따라서

$$ c_{n} e^{inx} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{in(t-x)}dt \\ = \frac{1]{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t)e^{int} dt$$

이다. 여기서 둘째 등식은 변수 치환을 한 후, 주기성에 의해 적분구간을 옮길 수 있음을 이용한 것이다.

표기법상의 편의를 위해 다음과 같이 디리클레 커널을 정의한다:

$$D_{N}(x) = \Sigma_{n=-N}^{N} e^{inx}$$

이 경우

$$s_{N}(f;x) = \Sigma_{n=-N}^{N} c_{n}e^{inx} \\ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) \Sigma_{n=-N}^{N} e^{int}dt \\ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) D_{N}(t)dt$$

또한, $\int_{-\pi}^{\pi} D_{N}(t)dt = 1$이므로 $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)D_{N}(t) dt = f(x)$임에 주목하라.

이제 마지막으로, 디리클레 커널을 계산해 보면,

$$ D_{N}(x) = \begin{cases} \frac{sin((N+\frac{1}{2})x)}{sin(\frac{1}{2}x)} \space\space x \neq 0 \\ 2N \space\space x = 0 \end{cases}$$

이 성립한다.

구간에서의 리만적분의 경우 한 점을 변화시킨다고 적분값이 달라지지는 않는다. 따라서 다음의 함수를 정의한다:

$$ g(t) = \begin{cases} \frac{f(x-t)-f(x)}{sin(\frac{1}{2}x)} \space\space x \neq 0 \\ 0 \space\space x = 0 \end{cases}$$

이제 다음이 성립한다:

$$ s_{N}(f;x) - f(x) =  \int_{-\pi}^{\pi} g(t) sin((N+\frac{1}{2})t) dt \\ = \int_{-\pi}^{\pi} [g(t) sin(\frac{1}{2}t)] cos(Nt) dt + \int_{-\pi}^{\pi} [g(t) cos(\frac{1}{2}t)] sin(Nt) dt $$

그런데 $f$가 립시츠 연속이므로 $g$는 유계이고, 더욱이 $g * sin(\frac{1}{2}t), g * cos(\frac{1}{2}t)$는 리만적분 가능한 함수와 유계함수의 곱이므로 리만적분 가능하다. 따라서 저 값들은 결국 새로운 정규직교 집합을 $\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{sin(t)}{\sqrt{\pi}}, \frac{cos(t)}{\sqrt{\pi}}, ... \}$으로 세웠을 때의 푸리에 계수들이고, Bessel's inequality에 의해 $n\to\infty$에서의 극한값은 모두 0이다. 이로써 증명이 마무리된다.  $\square$  

따름정리.

$f(x) = 0$이 어떤 열린 구간 $J$서 성립한다 하자. 이제 $x\in J \Rightarrow lim_{N\to\infty} s_{N}(f;x) = 0$이다.

증명.

$J$서 $f$는 상수함수이므로 립시츠 연속이다. 따라서 푸리에 급수의 부분합이 원함수로 점별수렴한다. 그런데 원함수가 0이므로, 푸리에 급수도 0으로 점별수렴한다. $\square$

 3-3. 푸리에 급수는 원함수에 "수렴": Parseval's Theorem

$f,g$가 $2\pi$의 주기를 가지고 $[-\pi, \pi]$서 리만적분 가능하다 하자. 이제 특히 연속함수에 대해서는 앞서 배운 Stone-Weierstrass 정리를 활용할 수 있다:

정리 8.15 (연속함수는 삼각다항식으로 근사가능)

$f$는 $2\pi$의 주기를 가지고 $[-\pi. \pi]$서 연속이라 하자.

이제 임의의 $\epsilon>0$에 대해 어떤 삼각다항식 ($f$의 푸리에 급수라는 보장은 없다) $P$가 존재하여,

$$||f - P|| < \epsilon$$이 성립한다.

증명.

$g: \mathbb{R} \to \mathbb{C}, g(x) = e^{ix}$라고 정의하면, $[0,2\pi)$서 정의된 삼각다항식 $f(x) = \Sigma_{-N}^{N} c_{n} e^{inx}$을 복소평면 위의 단위원 $T$에서 정의된 함수로 생각할 수 있다. 이제 다음이 성립한다:

i) $T$에서 정의된 삼각다항식의 집합 $\mathcal{A}$는 self-adjoint algebra이다:

$\overline{f}(x) = \Sigma_{-N}^{N} \overline{c_{n}} e^{-inx} = \Sigma_{-N}^{N} \overline{c_{-n}} e^{inx}$

ii) $\mathcal{A}$는 SP와 VNP를 만족한다.

VNP: $f(x) = c_{0}, c_{0} \neq 0$은 VNP를 만족시키기에 충분하다.

SP: $x_{1} \neq x_{2}$라 하자. $f(x) = e^{ix}$를 $T$상에서 바라본 함수 $g(z) = z$는 이미 SP를 만족시키기에 충분하다. ($x_{1}, x_{2}$는 $T$ 상의 다른 점이기 때문)

iii) $f$는 $[-\pi, \pi]$서 연속이므로 $\mathcal{b}(T, \mathbb{C})$의 원소이다.

정리 7.33에 의해서, $\overline{\mathcal{A}}^{U} = \mathcal{b}(T,\mathbb{C})$이고, 따라서 $f$ 역시 $\overline{\mathcal{A}}^{U}$의 원소이고 이것이 정리를 증명한다. $\square$

이제 연속성이 성립되지 않는다면 어떤 말을 할 수 있는지가 문제된다. 그런데 Parseval's Theorem은 푸리에 급수의 부분합이 "적분상으로는" 원함수에 수렴한다는 이야기를 한다. 이를 위해서는 6단원 연습문제 12번 (임의의 적분가능함수에 대해, "적분상으로"는 원하는 만큼 가까운 연속함수가 있다)를 활용한다:

정리 8.16 (Parseval's theorem)

$f,g$는 주기 $2\pi$를 가진 리만적분 가능함수라 하자. 또한, $f(x) \sim \Sigma_{-\infty}^{\infty} c_{n} e^{inx},  g(x) \sim \Sigma_{-\infty}^{\infty} \gamma_{n}e^{inx}$의 꼴로 푸리에 급수가 주어진다 하자.

이제 다음의 사실들이 성립한다:

a) $$ lim_{N \to \infty} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x) - s_{N}(f;x)| ^{2} dx  = 0$$

b) $$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)} dx = \Sigma_{-\infty}^{\infty} c_{n} \overline{\gamma}_{n}$$

c) $$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^{2} dx = \Sigma_{-\infty}^{\infty} |c_{n}|^{2}$$

증명.

a)

첫째, 구간 $[a,b]$서 리만적분 가능한 함수들에 대해 다음의 노름을 정의할 수 있음을 상기하라:

$$ ||f-g||_{2} := (\int_{a}^{b} |f-g|^{2} dx)^{\frac{1}{2}}$$

특히, 삼각부등식은 통상적인 코시-슈바르츠 부등식의 증명과정과 유사하게 증명된다.

둘째, 임의의 적분가능 함수는 그 구간에서 연속함수로 "적분 노름상" 잘 근사될 수 있다는 점을 상기하라.

셋째, 정리 8.15에 의해 임의의 연속함수는 어떤 삼각다항식에 의해 "점별로" 잘 근사될 수 있다는 점을 상기하라.

넷째, 정리 8.11에 의해 푸리에 급수의 부분합은 차수가 같거나 낮은 삼각다항식 중에서는 "적분상" 최선의 근사가 됨을 기억하라.

마지막으로, Bessel's inequality에 의해 푸리에 급수의 계수들의 합이 적분에 의해 주어지는 상한에 의해 유계임을 상기하라.

$\epsilon > 0$을 잡는다. 이제 $||f-h||_{2} < \frac{\epsilon}{3}$가 되는 연속함수 $h$를 잡을 수 있다.

둘째로, 정리 8.15에 의해 $h$에 점별로 충분히 가까워서, $||h-P||_{2} < \frac{\epsilon}{3}$가 성립하는 삼각다항식 $P$를 잡을 수 있다.

이제 $P$가 $M$차 삼각다항식이라 하자. 그렇다면, $N \geq M$인 모든 $N$에 대해, $||h- s_{N}(h)|| \leq ||h - P||_{2} < \frac{\epsilon}{3}$가 성립할 것이다.

또한, Bessel's inequality에 의해 $||s_{N}(f) - s_{N}(h)||_{2}  =||s_{N}(f-h)||_{2} \leq ||f-h||_{2}$가 성립한다.

따라서, 삼각부등식에 의해 $N \geq M$인 모든 자연수 $N$에 대해,

$$ ||f-s_{N}(f)||_{2} \leq ||f - h||_{2} + ||h - s_{N}(h)||_{2} + ||s_{N}(h) - s_{N}(f)||_{2} < \frac{\epsilon}{3} * 3 = \epsilon$$이 성립하고 이것이 정리를 증명한다.

b) $$|\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \overline{g(x)} dx - \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} s_{N}(f;x) \overline{g(x)} dx|  \\ \leq \frac{1}{2\pi} (\int_{-\pi}^{\pi} |f(x) - s_{N}(f;x)|^{2} dx)^{\frac{1}{2}} (\int_{-\pi}^{\pi} |g(x)|^{2}dx)^{\frac{1}{2}}$$

이다. 따라서, $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)} dx = lim_{N\to\infty} \Sigma_{-N}^{N} c_{n} \int_{-\pi}^{\pi} \overline{g(x)} \phi_{n}(x) dx \\ = lim_{N\to\infty} \Sigma_{-N}^{N} c_{n} \overline{\gamma_{n}}$$이다.

여기서 수열의 수렴성은, Schwarz inequality를 쓴 후 Bessel's inequality를 사용하면 (리만 적분 가능성에 의해) 유도된다.

c) b)에 $g = f$를 대입하면 바로 증명된다. $\square$

이로써 중간범위가 끝났다. 다음 시간에는 감마 함수를 나갈 듯한데, 일단 다음주가 중간이므로 중간고사를 보고 복습을 올리도록 하겠다.

*사실 원래 진도대로라면 Stone-Weierstrass 정리를 먼저 다룬 후 (유계 닫힌 구간에서는, 다항식들로 임의의 연속함수를 "잘 근사"할 수 있다), 이러한 근사가 가능하게 되는 함수집합의 조건이 Separating points와 Non-vanishing at every point이라는 사실을 살펴보아야 한다. 그러나 8장의 진도와 크게 관련이 없으며 필자가 그 부분을 복습하기에 시간이 오래 걸릴 것으로 예상하는 바, 일단은 8장 진도를 먼저 복습하기로 하였다.

이전 미적분학 시간이나 해석개론 1 시간에서, 우리는 $k$번 미분 가능한 함수는 근방에서 $k$차 다항식으로 근사할 수 있으며, 무한 번 미분가능한 함수는 주어진 점 근방의 함수를 테일러 급수로 표현할 수 있음을 보았다.

따라서 우리는 다음과 같은 "테일러 급수"의 (사실은 real-anlaytic) 함수들에 관심이 있다:

$$ f(x) = \Sigma_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}, c_{n} \in \mathbb{R}$$

여기서 당장 문제되는 것들이 눈에 보인다. 이러한 문제의식을 파고 들어감으로써, 언제 이런 급수 형태의 함수들을 잘 다룰 수 있는지를 알게 될 것이다.

i) $f$는 무한급수의 형태로 표현된다. 허나 일반적으로 무한급수는 존재한다는 보장이 없다.

ii) 예컨대 $f$가 어떤 점 근방에서 정의된다고 하자. 그런데 우리는 $f$가 미분가능한지 알고 싶다고 하자. 유한 차 다항식은 항상 무한히 미분 가능하지만, $f$는 유한 차 다항식이 아니다.

iii) $f$가 무한히 미분 가능하다 하자. 그렇다면 $f$는 일종의 "테일러 급수"이므로, $f$의 테일러 전개를 하면 계수들이 그대로 얻어질 것으로 기대할 수 있다. 그러나 무한히 미분 가능한 함수라고 해서 테일러 전개가 원래 함수에 수렴한다는 보장은 없다. (이러한 성질이 성립하는 함수는 real-analytic function이라 한다.) 언제 이러한 성질이 성립하는가?

수렴반경과 관련한 다음의 결과를 상기하라:

보조정리.

멱급수 $\Sigma_{n=0}^{\infty} c_{n}x^{n}$를 고려하자. 이제 $R = \frac{1}{limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_{n}|}}$이라 하자. (단, limsup = 0이면 $R = \infty$로 약속한다.)

이제 $|x| < R$이면, $\Sigma_{n=0}^{\infty} c_{n}x^{n}$은 절대수렴한다. 또한, $|x|>R$이면, $\Sigma_{n=0}^{\infty} c_{n}x^{n}$은 발산한다. 이러한 $R$을 멱급수 $\Sigma_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}$의 수렴반경이라 부른다.

증명.

$limsup = 0$인 경우는 독자에게 맡긴다.

$limsup \neq 0$인 경우를 살펴본다. $|x|<R$이라 하자. 이제 우리는 $\Sigma_{n=0}^{\infty} |c_{n}||x^{n}|$의 수렴성을 판별하고 싶다. 이를 위해 n-th root test를 활용한다.

$$ \sqrt[n]{|c_{n}||x^{n}|} = \sqrt[n]{|c_{n}|} |x| = R*\sqrt[n]{|c_{n}|} (\frac{|x|}{R}) \\ limsup_{n\to\infty} (R*\sqrt[n]{|c_{n}|})(\frac{|x|}{R}) = \frac{|x|}{R} < 1$$이므로, n-th root test에 의해 이 급수는 절대수렴한다는 사실을 안다.

한편 $|x|>R$이면,

$$\exists \delta >0, n_{k} \space s.t. \space \sqrt[n]{|c_{n_{k}}|}|x| > 1+\delta \\ \Rightarrow |c_{n_{k}}||x|^{n_{k}} > (1+\delta)^{n_{k}} \\ \Rightarrow lim_{n\to\infty}|c_{n}||x^{n}| \neq 0$$이므로 급수가 수렴하지 않는다. $\square$

이제 멱급수꼴 함수에 대한 다음의 정리를 주장할 수 있다:

정리 8.1

$f(x) = \Sigma_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}$이 수렴반경 $R$을 가지고 있다 하자. 이제 다음의 사실들이 성립한다:

i) $\epsilon >0$에 대해 $f$는 $[-R+\epsilon, R-\epsilon]$에서 균등수렴한다. (만약 $R  = \infty$라면, 임의의 상수 $M>0$에 대해 $[-M,M]$서 균등수렴한다.)

ii) $f$는 $(-R,R)$서 미분가능하다.

iii) $x\in (-R,R) \Rightarrow f'(x) = \Sigma_{n=1}^{\infty} nc_{n}x^{n-1}$

i)의 증명.

$\epsilon > 0$이 주어졌다 하자. 우리는 Weierstrass의 M-test를 이용하여 (Thm 7.10) 균등수렴성을 보일 것이다. $g_{n}(x) = c_{n}x^{n}$이라 하면, $y=x^{n}$은 증가함수이므로 $|g_{n}(x)| = |c_{n}||x^{n}| \leq |c_{n}|(R-\epsilon)^{n}$이다. 또한, $\Sigma_{n=0}^{\infty} |c_{n}|(R-\epsilon)^{n}$은 $R-\epsilon \in (-R,R)$이므로 보조정리에 의해 유한하다. 따라서, Weierstrass M-test에 의해 $f$는 $[-R+\epsilon, R-\epsilon]$에서 균등수렴한다. 

iii)의 증명.

iii)을 보이면 ii)는 (미분계수가 존재한다는 의미이므로) 자동으로 따라온다.

$x\in (-R,R)$을 고정하자. $N_{\delta}(x) \subset [-R+\epsilon , R-\epsilon]$을 만족하도록 어떤 근방과 $\epsilon>0$을 잡는다. 이제 다음의 사실들에 주목하라:

a. 부분합 $g_{n}(x) = \Sigma_{k=1}^{n} kc_{k}x^{k-1}$은 $g(x) = \Sigma_{k=1}^{\infty} kc_{k}x^{k-1}$에 $[-R+\epsilon, R-\epsilon]$에서 균등수렴한다. 

b. $f_{n}(x) = \Sigma_{k=0}^{n} c_{k}x^{k}$라 하면, $(f_{n})'(x) = g_{n}(x) \space\space (x\in [-R+\epsilon, R-\epsilon])$이다.

따라서 정리 7.17에 의해, $f$는 $x$서 미분가능하고, $f'(x) = g(x)$이다. 이제 이 과정을 $(-R,R)$의 모든 점에서 반복할 수 있으므로 증명이 완료된다. $\square$.

따름정리. 정리 8.1의 조건들이 성립하면, $f$는 $(-R,R)$에서 무한히 미분가능하며, 또한 미분계수들은

$$ f^{(k)} (x) =\Sigma_{n=k}^{\infty} n(n-1)...(n-k+1)c_{n}x^{n-k}$$

로 주어진다.

특히, $f^{(k)}(0) = k! c_{k}$이다.

증명.

귀납법을 이용하여, 위의 정리와 함께 $f^{(k}}(x)$의 수렴반경 역시 $R$이라는 사실을 증명할 것이다.

Case 1. $k=1$

정리 8.1에 의해 $f$는 $(-R,R)$에서 미분가능하며, 미분계수는

$$ f'(x) = \Sigma_{n=1}^{\infty} nc_{n}x^{n-1}$$로 주어진다.

또한 $lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n} = 1$을 이용하면 $f'$의 수렴반경 역시 $R$임을 안다.

Case 2. $k=m \Rightarrow k=m+1$

$b_{m} = n(n-1)...(n-m+1)c_{n}$이라 하자.

이제 귀납법 가정에 의해 $f^{(m)}(x) = \Sigma_{n=m}^{\infty} b_{m}x^{n-m}$이다.

또한 이 경우 수렴반경이 $R$이므로, $f^{(m)}(x)$는 $(-R,R)$에서 미분가능하며,

$f^{(m+1)}(x) = \Sigma_{n=m+1}^{\infty} (n-m)b_{m}x^{n-m}$이다.

그런데 $b_{m}(n-m) = n(n-1)...(n-m)c_{n}$이므로, 계수들이 보조정리에서 주장하는 바와 동일하게 나타난다.

또한 $lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n-m} = 1$이므로 $f^{(m+1)}$의 수렴반경 역시 $R$이다.

따라서 귀납 단계가 성립하며 증명이 완료된다. $\square$

수렴반경은 내부에서는 절대수렴, 외부에서는 발산을 보장한다. 그러나 정확히 $x=R, x=-R$인 경우에 급수가 어떻게 행동하는지에 대해서는 말이 없다. 다음의 정리는 끝점을 넣었을 때 $f$가 수렴하는 경우 $f$가 연속이라는 사실을 보인다 (일반성을 잃지 않고 $R=1$인 경우를 고려한다:)

정리 8.2

$f(x) = \Sigma_{n=0}^{\infty} c_{n}x^{n}, \space (-1<x<1)$이라 하고 $\Sigma_{n=0}^{\infty} c_{n}$이 수렴한다 하자.

이제 다음이 성립한다:

$$ lim_{x\to 1} f(x) = \Sigma_{n=0}^{\infty} c_{n}$$

증명.

$s_{n} = \Sigma_{k=0}^{n} c_{k}$라 하자. 우리는 $s_{n} \to s$라는 사실을 아므로, $\epsilon > 0$이 주어질 때 $\exists N, n\geq N \Rightarrow |s_{n} - s| < \frac{\epsilon}{2}$가 성립한다.

이제 $s_{-1} = 0$이라 정의하면, 주어진 $x \in (-1,1)$에 대해

$$f(x) = \Sigma_{n=0}^{\infty} (s_{n} - s_{n-1})x^{n} \\ = lim_{n\to\infty} s_{n}x^{n} + \Sigma_{k=0}^{n-1} s_{k}x^{k}(1-x) \\ = lim_{n\to\infty} \Sigma_{k=0}^{n-1} s_{k}x^{k} (1-x) \\ = (1-x) \Sigma_{n=0}^{\infty} s_{n}x^{n}$$

가 성립한다.

이제 다음의 식을 보자:

$$ |f(x) - s| = |(1-x) \Sigma_{n=0}^{\infty} (s_{n} - s) x^{n}| \leq |(1-x)\Sigma_{n=0}^{N} (s_{n} -s)x^{n}| + |(1-x)\Sigma_{n=N+1}^{\infty} (s_{n}-s) x^{n}| \leq |1-x|2M(N+1) + \frac{\epsilon}{2}$$

여기서 $N,\epsilon$은 위에서 주어진 수들이다. 또한, 전개에서 $(1-x)\Sigma_{n=0}^{\infty} x^{n} = 1$이라는 사실을 이용하였다.

이제 $\delta = \frac{\epsilon}{4M(N+1)}$이라 하면, $1-\delta < x < 1 \Rightarrow |f(x)-s|< \epsilon$이 성립하므로 증명이 끝난다. $\square$

정리 8.2의 따름정리로써 이전에 증명한 아벨의 정리를 증명할 수 있다:

따름정리. (아벨)

$\Sigma_{n} a_{n} = A, \Sigma_{n} b_{n} = B, \Sigma_{n} c_{n} = C, c_{n} = \Sigma_{k=0}^{n} a_{k}b_{n-k}$라 하자.

이제 $C = AB$가 성립한다.

증명.

$f(x) = \Sigma_{n} a_{n} x^{n}, g(x) = \Sigma_{n} b_{n} x^{n}, h(x) = \Sigma_{n} c_{n}$이라 하자.

우선, $f(1), g(1), h(1)$이 존재하므로 세 멱급수 모두 수렴반경이 최소 1이고, 따라서 $0 \leq x < 1$에서 세 멱급수 모두 절대수렴한다는 사실을 안다.

따라서, $0 \leq x < 1$에서 $f(x)g(x) = \Sigma_{n} a_{n}x^{n} \Sigma_{m} b_{m}x^{m}$을 재배열하여도 수렴에 영향이 없으며, $f(x)g(x) = h(x)$라는 사실을 알 수 있다. 

마지막으로, 정리 8.2에 의해

$ lim_{x\to 1-} f(x) = A, lim_{x\to 1-} g(x) = B, lim_{x \to 1-} h(x) = C$라는 사실을 안다.

따라서

$AB = lim_{x\to 1-} f(x) lim_{x\to 1-}g(x) = lim_{x \to 1-} f(x)g(x) = lim_{x\to 1-} h(x) = C$이다. $\square$

우리가 살펴보는 함수 $f(x) = \Sigma_{n=0}^{\infty} c_{n}x^{n}$은 어떤 수렴반경 $(-R,R)$에서 멱급수의 형태로 나타낸 함수였고, 우리는 이 함수가 real-analytic이라는 주장을 하였다. 그러나 우리가 여태껏 보인 것은 무한번 미분가능하다는 사실뿐이지, 어떤 점에서 실제로 테일러 전개를 했을 때 원함수에 수렴한다는 주장은 아니었다. 이제 그 주장을 실제로 하고 싶으나, 그 전에 무한급수를 교환할 수 있는 조건을 다루는 Foubini 정리를 증명하여야 한다.

정리 8.3 (Foubini)

이중수열 $\{a_{ij}\}$가 주어져 있다고 하자. 이제 $\Sigma_{j} |a_{ij}| = b_{i}$로 수렴하고, 또 $\Sigma_{i} b_{i}$가 수렴한다 하자.

이제 다음이 성립한다:

$$ \Sigma_{i}\Sigma_{j} a_{ij} = \Sigma_{j}\Sigma_{i} a_{ij}$$

증명.

우선, $\Sigma_{i} |\Sigma_{j} a_{ij}| \leq \Sigma_{i} b_{i} < \infty$이므로 좌변이 절대수렴한다는 사실은 알 수 있다.

이제 우변이 좌변과 같은 값으로 수렴한다는 사실을 보이기 위해서는 다음의 함수를 정의한다:

$E = \{0 \} \cup \{\frac{1}{n}| n \in \mathbb{N}\}$이라 하자. $E$는 가산집합임이 분명하다.

우리가 만약 $\Sigma_{i}\Sigma_{j} a_{ij} = lim_{n\to\infty} \Sigma_{i}\Sigma_{j=1}^{n} a_{ij}$라는 것을 보일 수 있다면, 각 $j$에 대해 $\Sigma_{i} a_{ij}$가 존재할 것이므로 호환이 가능할 것이고, 따라서 결과가 성립할 것이다. 이것을 염두에 두고 다음의 함수들을 정의한다:

$$f_{i}: E \to \mathbb{R}, f_{i}(\frac{1}{n}) = \Sigma_{j=1}^{n} a_{ij}, f_{i}(0) = \Sigma_{j} a_{ij} \\ g(\frac{1}{n}) = \Sigma_{i} f_{i}(\frac{1}{n}), g(0) = \Sigma_{i} f_{i}(0)$$

이제 다음의 사실들을 살펴보자:

i) 주어진 임의의 $i \in \mathbb{N}$에 대해, $lim_{n\to\infty} f_{i}(\frac{1}{n}) = f_{i}(0)$이므로, $f_{i}$는 $x=0$에서 연속이다.

ii) $|f_{i}(x)| \leq \Sigma_{j=1}^{\infty} |a_{ij}| = b_{i} < \infty, \Sigma_{i} b_{i} < \infty$이므로 Weierstrass M-test에 의해 집합 $E$에서 $f_{i} \to_{u} g$이다.

iii) 따라서, $g$ 역시 $x=0$에서 연속이고, $lim_{n\to\infty} \Sigma_{i} \Sigma_{j=1}^{n} a_{ij} = lim_{n\to\infty} g(\frac{1}{n}) = g(0) = \Sigma_{i}\Sigma_{i} a_{ij}$이 성립한다. 따라서 증명이 완료된다. $\square$

이제 모든 멱급수 형태의 함수는 수렴반경 내에서 real-analytic하다는 사실을 보일 것이다:

정리 8.4 (멱급수는 실해석적)

$f(x) = \Sigma_{n} c_{n}x^{n}$이라 하고, 수렴반경이 $R$로 주어져 있다 하자. 이제 $a \in (-R,R)$에 대해, $|x-a| < R - |a|$에서는 다음의 등식이 성립한다:

$$ f(x) = \Sigma_{n} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}$$

즉, $f$는 자신의 테일러 전개로 표현되고, 따라서 $f$는 실해석적이다.

증명.

$f(x)  = \Sigma_{n} c_{n} x^{n}$의 형태로 주어져 있다는 사실을 어떻게든 이용해야 한다. 이를 위해서 다음의 분해를 고려한다:

$$ f(x) = \Sigma_{n} c_{n} ((x-a)+a)^{n} = \Sigma_{n} c_{n} \Sigma_{m=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} a^{n-m}(x-a)^{m}$$

이제 이항계수를 $\begin{pmatrix} n \\ m \end{\pmatrix} = 0 \space if \space m > n$으로 확장하여 정의하면,

$$f(x) = \Sigma_{n} \Sigma_{m} c_{n} \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} a^{n-m}(x-a)^{m}$$이다.

이제 Foubini 정리를 이용하여 합의 순서를 바꿀 수 있는지를 알고 싶다. 이를 위해서는 항들의 절댓값의 합이 수렴한다는 것을 보이면 족하다:

$$\Sigma_{n} \Sigma_{m} |c_{n} \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} a^{n-m}(x-a)^{m}| \\ = \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} |a|^{n-m}|x-a|^{m} \\ = \Sigma_{n} |c_{n}| (|x-a|+|a|)^{n}$$

그런데 계수가 $|c_{n}|$인 멱급수와 $c_{n}$인 멱급수의 수렴반경은 동일하므로, $|x-a|< R- |a|$인 $x$에 대해서 이 멱급수가 수렴한다는 사실을 알 수 있고, 푸비니 정리를 적용할 수 있다.

이제

$$ f(x) = \Sigma_{m} (\Sigma_{n} c_{n} \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} a^{n-m})(x-a)^{m} \\ = \Sigma_{m} (\Sigma_{n \geq m} c_{n} \begin{pmatrix} n \\ m \end{pmatrix} a^{n-m})(x-a)^{m}$$

인데, 괄호 안의 형태는 정확히 $\frac{f^{(m)}(a)}{m!}$이다. 따라서

$$ f(x) = \Sigma_{m} \frac{f^{(m)}(a)}{m!} (x-a)^{m}$$이므로, 증명이 끝난다. $\square$

마지막으로 두 멱급수로 정의된 함수가 같아지는 조건을 알아보고자 한다. 두 멱급수가 같다는 사실이 유지되면서, 수렴하는 수열이 존재하면 두 멱급수는 아예 같다는 것이 골자이다. 

정리 8.5 (멱급수의 일치 조건)

$f(x) = \Sigma_{n} a_{n} x^{n}, g(x) = \Sigma_{n} b_{n}x^{n}$ 모두 $S = (-R,R)$에서 잘 정의된다 하자 (따라서 수렴반경이 최소한 $R$이다.) 이제 $E := \{x \in S | f(x) = g(x) \}$로 정의하자. $E$에 집적점이 존재하면 $E = S$이다.

증명.

$h(x) = \Sigma_{n} (a_{n}- b_{n}) x^{n}$이라 정의하자.

$A := E'$는 $E$의 집적점들의 집합이라 하자. 이 집합은 항상 $S$에서 닫혀 있으므로, $B = S - A$는 열린 집합이다.

이제 $A$가 열린 집합이라고 하자. 그러면 $(-R,R) = A \sqcup B$이고 $A,B$ 모두 열린 집합인데 $S$는 연결집합이므로 $A,B$중 하나는 공집합이고, $A$는 가정에 의해 공집합이 아니므로 $B$가 공집합이다. 그런데 $f$는 $S$에서 연속이므로, $E$는 닫힌 집합이어서 $A \subset E$이고, 따라서 $E = S$이다.

이제 $A$가 열린집합임을 보이자.

$h$는 $(-R,R)$에서 잘 정의된다는 사실에 주목하라. 이제 $x_{0} \in A$라 하자. 정리 8.4에 의해 $h$를 $x = x_{0}$ 를 중심으로 테일러 전개할 수 있으며, 최소한 $|x-x_{0}| < R - |x_{0}|$에서 수렴한다. 계수들을 편의상 $d_{n}$이라 하면,

$$ h(x) = \Sigma_{n} d_{n} (x -x_{0})^{n}, \space\space |x-x_{0}| < R - |x_{0}|$$가 성립한다.

이제 우리는 모든 $d_{n} = 0$이라는 것을 보이고자 한다. 그렇지 않다고 가정하면 $d_{k} \neq 0$인 가장 작은 음이 아닌 정수 $k$가 존재한다. 따라서 $h(x) = (x-x_{0})^{k} \Sigma_{n} d_{n+k} (x-x_{0})^{n}$이다.

이제 $p(x) = \Sigma_{n} d_{n+k} (x-x_{0})^{n}$ 또한 멱급수이므로, $|x-x_{0}| < R - |x_{0}|$서 연속이다. 그런데 $g(x_{0}) \neq 0$이므로 어떤 $\delta> 0$에 대해서 $x \in N_{\delta}(x_{0}) \Rightarrow p(x) \neq 0$이다.

따라서 $0< |x-x_{0}| < \delta \Rightarrow h(x) = (x-x_{0})^{k} p(x) \neq 0$인데 이는 $x_{0} \ in A$에 모순된다. $\square$

다음 복습은 두 가지 가능성이 있는데, i) 우리가 흔히 쓰는 지로삼 함수를 멱급수로부터 정의하는 작업을 하거나, ii) FTC와 푸리에 급수를 배울 것이다.

* 2022.09.13, 2022.09.15 수업의 복습입니다.*

#주석.

함수열의 연속과 관련한 단어들이 둘이다 보니 (uniformly continuous / equicontinuous) 이제는 번역을 어떻게 해야 할지 모르겠다. 앞으로는 그냥 영어 표현을 있는 대로 쓰겠다.

해개연 1 범위에서 배운 다음의 사실을 상기하자:

실수/복소수로 만들어진 수열 $(x_n)_{n\geq 1}$이 유계라 하자. 즉 어떤 실수 $R >0$이 존재하여 $\forall n\in\mathbb{N}, |x_{n}| < R$가 성립한다 하자.

우리는 이 수열에는 항상 수렴하는 부분수열이 있다는 사실을 배웠다. 

이제 함수열과 관련하여 유사한 질문들을 던지고자 한다. 특히, 함수열이 "유계"일 때, 균등수렴(uniformly converge)하는 부분수열이 존재하는지가 큰 관심의 대상이 될 것이다. 점별수렴이 아니라 균등수렴을 다루는 이유는, 함수공간 자체를 하나의 거리공간으로 볼 때 수렴의 자연스러운 개념이 균등수렴이기 때문이다.

이제 "유계"에 대해 더 곰곰히 생각할 필요가 있다. 어떤 복소수열 $(x_{n})_{n\geq 1}$이 유계라는 것은 어떤 수 $M \in \mathbb{R}$이 존재하여 $n \in \mathbb{N} \Rightarrow |x_{n}| < M$이 성립하는 것이었다. 유계인 함수는 그 자체에 노름을 줄 수 있었음을 상기하면, 어떤 함수열 $(f_{n})_{n \geq 1}$이 유계라는 것 역시, 어떤 수 $M \in \mathbb{R}$이 존재하여 $n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||f_{n}|| < M$이 성립하는 것이라 할 수 있다. 즉, $$sup_{n \in \mathbb{N}} sup_{x \in E} |f_{n}(x)| \leq M$$이 성립하는 수 $M$이 존재하는 것이다. 이 성질을 만족하는 함수열 $f_{n}$은 균등유계 (uniformly bounded)인 함수열이라 부른다.

이에 반해, $sup_{x \in E}$ 조건을 제외하고, 각 $x\in E$에 대해서 복소수열 $(f_{n}(x))_{n \geq 1}$이 수렴하면, 이 함수열은 점별유계 (pointwise bounded)인 함수열이라 부른다. 점별유계는 어찌보면 생각해내기 더 쉬운 개념이지만, 함수공간 자체를 분석하는 데에는 균등유계 개념이 더 유용하다고 할 수 있겠다.

이제 본 질문으로 돌아가서, 함수열 $f_{n}: (X,d) \supset E \to \mathbb{C}$이 균등유계/ 점별유계라 하자. $f_{n}$의 부분수열 $f_{n_{k}}$가 존재하여 $f_{n_{k}}$가 $E$서 정의된 어떤 함수로 점별수렴할 수 있는가?

우선 살펴볼 것은, $E$가 한 점에 불과할 때에는 $(f_{n})_{n \geq 1}$이 수열과 다름이 없어져서, 이미 해석개론 1 범위에서 살펴본 Heine-Borel 정리에 의해 수렴하는 부분수열이 존재할 것이다.

비슷한 논리로, $E$의 원소의 유한할 때에도 이러한 부분수열을 항상 잡을 수 있을 것이다. 그렇다면 $E$의 원소가 "너무 많아지는" 시점은 언제인가? 다음의 정리는 "가산일 때는 괜찮다"라는 부분적인 답을 준다:

정리 7.23

$E$는 가산집합 (countably infinite)이고, 함수열 $f_{n}: (X,d) \supset E \to \mathbb{C}$가 점별유계라 하자.

이제 $f_{n}$의 부분수열 $f_{n_{k}}$가 존재하여, 어떤 함수 $f: E \to \mathbb{C}$로 점별수렴한다.

증명.

$E$가 가산이므로, 수열 $(x_{i})_{i \geq 1}$로 $E$의 원소들을 모두 나열할 수 있다. 따라서 앞으로는 일반성을 잃지 않고 $E = \{x_{1}, x_{2}, ... \}$이라 하자.

$x_{1}$을 고정하자. 이제 $(f_{n}(x_{1}))_{n \geq 1}$은 유계인 복소수열이므로, Heine-Borel 정리에 의해 수렴하는 부분수열을 가진다. 이 부분수열을 $(g^{1}_{k})_{k \geq 1}$이라 하자.

이제 $x_{2}$를 고정하자. 이제 $(f_{n}(x_{2}))_{n \geq 1}$은 유계인 복소수열이므로, $(g^{1}_{k}(x_{2}))_{k \geq 1}$ 역시 유계인 복소수열이고, 따라서 수렴하는 부분수열을 가진다. 이 부분수열을 $(g^{2}_{k})_{k \geq 1}$이라 하자.

마찬가지로 부분수열들 $g^{1}_{k}, g^{2}_{k}, ... , g^{i}_{k}$가 위의 과정을 거쳐서 만들어졌다 하자. 이제 $(g^{i}_{k}(x_{i+1}))_{k \geq 1}$은 유계인 복소수열이므로 수렴하는 부분수열 $g^{i+1}_{k}$를 가진다. 이럴 수 있는 것은 Heine-Borel 정리 덕분이다.

특히, 부분수열의 모든 항들은 원래 수열에서의 아래첨자가 오름차순으로 오도록 정렬한다 하자. 예컨대 $\{g^{1}_{k}\}_{k \geq 1} = \{f_{1}, f_{3}, f_{5}, ... \}$이라 하면, $g^{1}_{k} = f_{2k-1}$이 되도록 하는 식이다. 이는 단순히 부분수열을 원래 함수열로 치환할 때 아래첨자가 오름차순으로 오도록 하기 위함이다. 

이제 모든 부분수열의 항들 $g^{i}_{k}$를 하나의 2차원 배열로 나열해보자:

이제 다음과 같이 대각선 성분들만을 택한다 하자:

$h_{k} := g^{k}_{k}$

이 $h_{k}$는 $(f_{n})_{n\geq 1}$의 부분수열임은 명백하다. 이제 이것이 점별수렴함을 보일 것이다.

$x_{i} \in E$를 고정하자.

우리는 $(g^{i}_{k}(x_{i}))_{k \geq 1}$이 수렴함을 알기 때문에 다음의 사실도 안다:

$$ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \space s.t. \space n,m \geq N \Rightarrow |g^{i}_{N}(x_{i}) - g^{i}_{M}(x_{i})| < \epsilon$$

이제 $\epsilon >0$을 고정하자. 위에서 구해진 $N$을 생각해보자.

$$n,m \geq N \Rightarrow |h_{n}(x_{i}) - h_{m}(x_{i})| = |g_{n}^{n}(x_{i}) - g_{m}^{m}(x_{i})|  \\ \leq |g_{n}^{n}(x_{i}) - g_{n}^{m}(x_{i})| + |g_{n}^{m}(x_{i}) - g_{m}^{m}(x_{i})| \\ \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

임을 안다.

여기서 마지막 부등식이 성립하는 이유를 설명하고자 한다.

앞서 $n,m \geq N$이라 했으므로 $g_{n}^{m}, g_{n}^{n}, g_{m}^{m}$ 모두 $(g^{N}_{k})_{k \geq 1}$의 어떤 항일 것이다. 특히, 아랫첨자가 무조건 오름차순으로 오도록 정렬하기로 하였으므로, $g^{n}_{n} = g^{N}_{k}$인 $k$가 존재하며, 더군다나 $k \geq n \geq N$이다. 마찬가지 논리로 $g^{n}_{m} = g^{N}_{k}$인 $k$가 존재하며 더군다나 $k \geq m \geq N$이다. 이제 $(g^{N}_{k})_{k\geq 1}$가 코시라는 점으로부터 원하는 부등식이 유도된다.

이제 함수열의 수렴하는 부분수열과 관련하여 다음의 큰 질문 두 가지를 던져볼 수 있다:

질문 1. 균등유계인 함수열이 존재할 때, 점별수렴하는 부분수열이 있는가?

반례. $f_{n}: [0,2\pi] \to \mathbb{R}, f_{n}(x) = sin(nx)$라 하자. 이 함수열은 균등유계이면서 ($sup_{x\in [0,2\pi]) sup_{n\in\mathbb{N}} |f_{n}(x)| \leq 1$) 옹골집합에서 정의된 연속함수열이다.

그러나 이 함수열에서 점별수렴하는 부분수열이 없음을 보이고자 한다. 이를 위해서 11단원에서 배우는 정리를 하나 이용하고자 한다.

귀류법을 사용하여 증명을 한다. 점별수렴하는 부분수열 $f_{n_{k}}$가 존재한다 가정하자. 이제 이 부분수열은 코시일 것이므로,

$$ \lim_{k \to \infty} sin(n_{k}x) - sin(n_{k+1}x) = 0$$

이고

따라서 $$ \int_{0}^{2\pi}\lim_{k \to \infty}((sin(n_{k}x) - sin(n_{k+1}x))^{2}) dx \\ = \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} (sin(n_{k}x) - sin(n_{k+1}x))^{2} dx = 0$$일 것이다. 여기서 극한을 적분기호 안으로 넣는 데에 11장의 정리가 사용되었다.

그런데 $n,m\in\mathbb{N}, n\neq m \Rightarrow \int_{0}^{2\pi} (sin(nx) - sin(mx))^{2} dx =2\pi$임을 알기 때문에 이것은 모순이다.

질문 2. 균등유계인 함수열이 존재하며 이 함수열이 점별수렴할 때, 균등수렴하는 부분수열이 있는가?

반례. $f_{n}: [0,1] \to \mathbb{R}, f_{n}(x) = \frac{x^{2}}{x^{2} +(1-nx)^{2}}$이라 하자.

$f_{n}$은 균등유계이며 (모든 $n,x$에 대해 $|f_{n}(x)| \leq 1$이다) $x=0$이면 $f_{n}(0) = 0$이고, $0 < x \leq 1$을 고정하면 $\lim_{n \to \infty} f_{n}(x) = 0$이므로 $f \equiv 0$으로 점별수렴한다.

또한 $f_{n}$은 옹골집합에서 정의된 연속함수열이다.

그러나 $f_{n}$에는 균등수렴하는 부분수열이 존재할 수 없다. 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해, $f_{n}(\frac{1}{n}) = 1$임에 주목하라. 따라서 정리 7.9?에 의해 이 함수열의 임의의 부분수열은 0으로 균등수렴할 수 없다.

사실 이러한 (직관적으로는 성립할 법한) 정리들이 무너지는 이유는 $E$의 원소들이 "너무 많기" 때문이다. 즉, 함수열 $f_{n}$이 균등유계다 하더라도 결국 위의 예시들에서 살펴보았듯 비가산 개의 함수값들을 비가산 개의 점에서 택할 수 있으므로, 가산개의 항을 가지는 수열에서 점별수렴/균등수렴하는 부분수열을 택할 수 없는 것이다.

연속은 한 점의 근방에서 함수가 취할 수 있는 값들에 제한을 가했다. 균등연속은 한 가지 함수가 전역적으로 변할 수 있는 범위를 제한했다. 위의 반례들에서는 함수열이 모두 균등연속이지만, 이것으로는 불충분함을 알 수 있다. 따라서 다음의 개념을 정의한다:

정의 7.22 (Equicontinuity)

$\mathcal{F}$은 $E \subset (X,d) \to \mathbb{C}$인 함수들의 집합이라 하자.

이제 $\mathcal{F}$가 equicontinuous하다는 것은 다음을 의미한다:

$$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 s.t. \forall x \in E \space and \space f \in \mathcal{F}, d(x,y) < \delta \Rightarrow  |f(x) - f(y)| < \epsilon$$

정리 7.24

$f_{n} : E \to\mathbb{C}$가 다음을 만족한다 하자:

1) $E$는 옹골집합이다.

2) $f_{n}$은 각각 유계이고 연속이다.

3) $f_{n} \rightarrow_{u} f$인 $f$가 존재한다.

이제 $\mathcal{F} := \{f_{n} | n \in \mathbb{N} \}$은 equicontinuous하다.

증명.

$\epsilon > 0$을 잡는다.

$f_{n} \rightarrow_{u} f$이므로 $\exists N\in\mathbb{N} \space s.t. \space n \geq N \Rightarrow ||f_{n} - f|| < \ frac{epsilon}{3}$이다.

또한, 정리 7.12에 의해 $f$는 연속이고, $E$는 옹골집합이므로 $f$는 균등연속이다.

따라서 $\exists \delta >0, \space s.t. \space \forall x \in E, d(x,y)<\delta \Rightarrow  |f(x) - f(y)| < \frac{epsilon}{3}$.

이제 $d(x,y)<\delta, n \geq N$이라 하자. $|f_{n}(x) - f_{n}(y)| < |f_{n}(x) - f(x)| + |f(x) - f(y)| + |f(y) - f_{n}(y)| < \epsilon$이다.

이제 $n < N$인 경우는, 각 $f_{n}$이 균등연속이므로, $\exists \delta_{n} > 0 \space s.t. \space \forall x\in E, d(x,y)<\delta_{n} \Rightarrow |f_{n}(x) - f_{n}(y)| < \epsilon$이다.

따라서 $\delta^{*} := min\{ \delta_{1}, ... , \delta_{N-1}, \delta\}$이라 두면,

$$ \forall x \in E, \forall n \in \mathbb{N}, d(x,y)< \delta \Rightarrow |f_{n}(x) - f_{n}(y)| < \epsilon$$

이 성립하므로 $\mathcal{F}$이 equicontinuous하다. $\square$

정리 7.25

$f_{n} : E \to \mathbb{C}$가 다음을 만족한다 하자:

1) $E$는 옹골집합이다.

2) $f_{n}$은 점별유계이다.

3) $\mathcal{F} = \{f_{n} | n \in \mathbb{N} \}$은 equicontinuous하다.

이제 $f_{n}$은 균등수렴하는 부분수열이 존재한다.

증명.

$E$는 옹골집합이므로, 연습문제 2.25에 의해 조밀하면서 가산인 부분집합 $E'$이 존재한다. ($\delta_{n} = \frac{1}{n}$인 근방들로 $E$를 덮고 거기서 여전히 $E$를 덮는 유한 개를 택할 수 있다; 이 과정을 모든 자연수 $n$에 대해 반복하면 된다.)

이제 정리 7.23에 의해, $E'$서 점별수렴하는 부분수열 $f_{n_{k}}$가 존재한다. 편의상 $g_{k} := f_{n_{k}}$라 하자.

$\epsilon > 0$을 잡는다. equicontinuity에 의해 $\exists \delta > 0 \space s.t. \space n \in \mathbb{N}, x \in E \Rightarrow |f_{n}(x) - f_{n}(y)| < \epsilon$이다. 이 조건에 부합하는 $\delta >0$을 잡는다.

이제 $E'$에서 유한 개의 원소들 $\{v_{1}, ... , v_{s}\}$를 택해, $x \in E \Rightarrow \exists 1 \leq i \leq s, d(x,v_{i}) < \delta$가 되도록 잡는다. (이는 $E$의 옹골성과 $E'$의 조밀성에 의해 가능하다)

이제 $g_{k}$는 유한 개의 원소들에서 점별수렴하므로, $\exists N \in \mathbb{N}, n,m \geq N \Rightarrow sup_{x \in \{v_{1}, ... , v_{s}\} |g_{n}(x) - g_{m}(x)| < \epsilon$이다.

이제 $g_{k}$가 균등수렴함을 보일 것이다. 이를 위해 $g_{k}$가 균등코시임을 보이면 족하다.

위에서 잡은 $\epsilon > 0$을 고려한다. 아무 $x\in E$를 잡는다. 특히 $d(x, v_{i}) < \delta$가 된다고 하자 (이것이 항상 존재함은 위에서 보였다.)

이제

$$n,m \geq N \Rightarrow |g_{n}(x) - g_{m}(x)| \\ \leq |g_{n}(x) - g_{n}(v_{i})|+|g_{n}(v_{i}) - g_{m}(v_{i})| + |g_{m}(v_{i}) - g_{m}(x)| \\ \leq 3\epsilon$$

가 성립한다.

첫 항과 셋째 항은 함수열의 equicontinuity에 의해 통제된다. 둘째 항은 유한집합 $\{v_{1}, ... , v_{s}\}$에서 $g_{k}$가 균등코시이기 때문에 통제된다.

따라서 우리는 $\epsilon$에 대응되는 $N$을 잡아서 부분함수열 $g_{k}$이 균등코시가 됨을 보였으므로 $g_{k}$가 균등수렴함을 보였다. $\square$

다음 글에서는 Stone-Weierstrass theorem과 그 일반화를 살펴볼 것이다. 이것의 motivation은 결국, "모든 연속 실함수를 우리가 잘 아는 함수들로 근사할 수 없을까?"에 대한 질문의 대답이다. 특히, Stone-Weierstrass Theorem은 구간서 정의된 연속 실함수는 다항함수열로 근사할 수 있음을 알려줄 것이다.

지난 시간에는 균등수렴이 보장되는 함수열은 (대강 말하자면) 극한 둘의 순서를 바꾸어도 상관 없음을 살펴보았고, 이 정리의 따름정리로 연속인 함수열이 균등수렴하면 극한함수도 연속임을 보았다. 또한 균등수렴은 결국 함수공간의 sup norm에 대한 함수열의 수렴임을 살펴보았다.

이번 시간에는 1) 지난 시간 정의한 함수들의 거리공간이 완비공간임을 보이고, 2) 균등수렴하는 미분가능한 함수열과 그 미분계수로 만든 수열의 관계, 3) 구간 [a,b]서 균등수렴하는 적분가능한 함수열과 리만-스틸체스 정적분값의 관계를 살펴본다. 해석개론 1을 배운 순서가 연속 -> 미분과 미분계수 -> 리만-스틸체스 적분이었음을 상기하면 매우 자연스러운 전개라고 할 수 있다.

1. $\mathcal{C}(X, \mathbb{C})$의 완비성

지난 시간에 한 내용을 상기하자면, $\mathcal{C}(X,\mathbb{C})$는 $f: X \rightarrow \mathbb{C}$인 유계 연속함수들의 집합이다. 이 공간에서 어떤 노름 $||\bullet||$을 다음과 같이 정의할 수 있다:

$$ ||f|| = sup_{x \in X} |f(x)|$$

이제 노름에 의해 거리함수 $$d(f,g) := ||f-g||$$가 유도된다는 사실을 살펴보았고, 특히 함수열의 균등수렴은 이렇게 새로 정의한 거리에 대한 수렴임을 살펴보았다. (물론 둘이 완전히 동치는 아닌 것이, 현재 다루고 있는 거리공간은 유계 연속함수들의 집합이다. 그러나 균등수렴의 정의 자체는 불연속하거나 유계가 아닌 함수들에 대해서도 정의할 수 있다. 말하자면 함수열과 극한함수의 "거리"가 무한대로 벌어지는 일이 없는 집합에서 살펴본다면, 둘은 동치이다. 그렇지 않다면, 균등수렴의 정의가 적용대상에 대해서 더 일반적이다.)

이제 정리 7.12의 적용의 한 사례로 $\mathcal{C}(X, \mathbb{C})$가 완비성을 가진 공간임을 보일 것이다.

정리 7.15 (함수 거리공간의 완비성)

거리공간 $(\mathcal{C}(X, \mathbb{C}), d)$는 완비성을 만족한다.

증명.

$f_{n} \in \mathcal{C}(X, \mathbb{C})$가 코시수열이라 하자.

이는 $\{f_{n}\}_{n \geq 1}$이 균등코시임을 의미하고, 따라서 $f_{n} \rightarrow_{u} f$인 함수 $f: X \rightarrow \mathbb{C}$가 존재한다.

이제 우리는 $f \in \mathcal{C}(X, \mathbb{C})$임을 보이면 족할 것이다.

i) 연속성: 정리 7.12에 의해 성립한다.

ii) 유계: $\epsilon = 1$을 잡는다. 이제 $\exists N \in \mathbb{N} \space s.t. \space n \geq N \Rightarrow ||f_{n} - f|| \leq 1$가 성립한다. 그 $N$을 잡으면, $||f_{N} - f|| \leq 1 \Rightarrow ||f|| \leq ||f_{N}|| + 1$가 성립하고 $||f_{N}|| < \infty$이므로 $||f|| < \infty$이고, 이는 노름 $||\bullet||$을 정의한 방식에 의해 $f$가 유계라는 말과 동치이다.

$\square$

2. 균등수렴과 적분

앞서 소개한 순서와 실제 글을 쓰는 바뀌었는데, 이는 적분과 균등수렴의 관계가 더 깔끔하기 때문이다.

$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{C}$일 때 $f \in \mathcal{R}(\alpha, [a,b])$라 하자. 표기법을 상기하자면, 이는 $f$가 구간 $[a,b]$서 증가함수 $\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$에 대해 리만-스틸체스 적분 가능하다는 것을 의미한다.

정리 7.16 (균등수렴과 적분)

함수열 $f_{n} : [a,b] \rightarrow \mathbb{C}, f_{n} \in \mathcal{R}(\alpha, [a,b])$라 하고 $f_{n} \rightarrow_{u} f$라 하자. 

이제 다음이 성립한다:

i) $f \in \mathcal{R}(\alpha, [a,b])$

ii) $\lim_{n\rightarrow\infty} \int_{a}^{b} f_{n}d\alpha = \int_{a}^{b} fd\alpha$

사실 실함수의 경우만 증명하여도 복소함수의 경우를 증명하는 데에 무리가 없으므로, 일반성을 잃지 않고 실함수의 경우를 증명한다. (이 다리는 이후 다시 보충할 예정)

i)의 증명.

적분가능성의 정의에 의해, $f \in \mathcal{R}(\alpha, [a,b])$는 $f$의 상적분과 하적분이 같다는 말과 동치이다.

이제 우리는 $f$의 상적분과 하적분의 차에 어떤 상한을 둘 것이고, 그 상한이 0으로 수렴함을 보일 것이다.

$\epsilon > 0$을 잡는다. 이제 $f_{n} \rightarrow_{u} f$에 의해 $f$가 유계라는 사실을 알 수 있고 (정리 7.15서 유계 증명 부분을 그대로 차용하면 족하다), 특히 $\exists N\in\mathbb{N}\space s.t. \space n\geq N \Rightarrow sup_{x \in [a,b]} |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon$

따라서 모든 $x \in [a,b]$에 대해, $f_{n}(x) - \epsilon \leq f(x) \leq f_{n}(x) + \epsilon$이 성립한다.

그런데 이는 상적분과 하적분의 정의에 의해 $$n \geq N \Rightarrow \\ \int_{a}^{b} (f_{n}+\epsilon)d\alpha \leq \underline{\int}_{a}^{b} fd\alpha \leq \overline{\int}_{a}^{b} fd\alpha \leq \int_{a}^{b} (f_{n} +\epsilon)d\alpha$$를 의미한다.

따라서 $\overline{\int}_{a}^{b} fd\alpha - \underline{\int}_{a}^{b} fd\alpha \leq 2 \epsilon [\alpha(b)-\alpha(a)]$이고, $\epsilon$은 임의의 양수일 수 있으므로 정리가 증명된다. 

ii)의 증명.

이제 $f$가 적분가능하다는 사실까지 알기 때문에,

$$\int_{a}^{b} (f_{n} - \epsilon) d\alpha \leq \int_{a}^{b} fd\alpha \leq \int_{a}^{b} (f_{n}+\epsilon)d\alpha$$이고 따라서

$$n \geq N \Rightarrow |\int_{a}^{b} f_{n}d\alpha - \int_{a}^{b} fd\alpha| \leq \epsilon [\alpha(b)-\alpha(a)]$$이다. $\square$

3. 균등수렴과 미분

7단원 첫 글에서 살펴본 예시를 상기하면,

$f_{n}(x) = \frac{1}{\sqrt{n}} \sin(nx)$로 두면, $f_{n} \rightarrow_{u} f, f \equiv 0$가 성립하고, $f_{n}$은 모든 자연수 $n$과 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 미분가능함을 안다. 반면 $f'_{n}(x) = \sqrt{n} \cos(nx)$이고, 따라서 $\lim_{n \rightarrow \infty} f'_{n}(x) \neq 0 \equiv f'(x)$임을 살펴보았다. 따라서 미분가능한 함수열이 어떤 극한함수로 균등수렴하더라도, 그 도함수로 이루어진 함수열이 극한함수의 도함수로 점별수렴한다는 명제는 거짓이다.

그렇다면 미분가능한 함수열의 균등수렴과 도함수열의 균등수렴과는 어떤 관계가 있을까? 사실 평균값 정리 등을 살펴보면, 함숫값에 대한 통제보다 미분계수에 대한 통제가 더 강력할 것임을 짐작할 수도 있다 (나는 못한다. 하지만 직관력이 뛰어난 사람이라면 충분히 할 것 같다). 이러한 직관을 바탕으로 다음의 정리를 생각해볼 수 있다:

정리 7.17 (균등수렴과 미분)

$f_{n}: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$이 미분가능한 함수열이고 다음이 성립한다 하자:

i) $f_{n}^{'} \rightarrow_{u} g$인 함수 $g$가 $[a,b]$서 존재한다. 

ii) $\exists x_{0} \in [a,b] \space s.t. \space \exists L \in \mathbb{C}, $f_{n}(x_{0}) \rightarrow L$

이제 다음이 성립한다:

i) $f_{n} \rightarrow_{u} f$인 함수 $f$가 $[a,b]$서 존재한다.

ii) $f'(x) = g(x)$이다. 즉, $\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}^{'}(x) = f'(x)$이다.

i)의 증명.

우리는 $f_{n}$이 균등코시임을 보임으로써 $f_{n}$의 균등수렴성을 보일 것이다.

우선, $\epsilon>0$을 잡는다.

삼각부등식에 의해 모든 $n,m \in \mathbb{N}, x,t\in[a,b]$에 대해 다음이 성립함에 주목하라:

$$ |f_{n}(x) - f_{m}(x)| \leq |f_{n}(x)-f_{n}(t)-f_{m}(x)+f_{m}(t)| + |f_{n}(t) - f_{m}(t)|$$

$ t = x_{0}$이라 잡으면 $\exists N\in \mathbb{N} \space s.t. \space n,m \geq N \Rightarrow |f_{n}(x_{0}) - f_{m}(x_{0})| \leq \frac{\epsilon}{2}$

또한, $g(x) := f_{n}(x) - f_{m}(x)$으로 정의하면 $g_{n}$은 미분가능하므로 평균값 정리를 사용하고 $f_{n}^{'}$의 균등수렴을 이용하면 i) $\exists \xi \in [x,t] \space s.t. \space |f_{n}(x) - f_{n}(t) - f_{m}(x) + f_{m}(t)| = |g(x) - g(t)| = |t-x||f_{n}^{'}(\xi) - f_{m}^{'}(\xi)|$, ii) $\exists N \in \mathbb{N}, n,m \geq N \Rightarrow |g(x)-g(t)| \leq |b-a|frac{\epsilon}{2|b-a|}$

따라서 충분히 큰 $N$을 잡으면, $n,m \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f_{m}(x)| \leq \epsilon$이 모든 $x \in [a,b]$에 대해 성립함을 안다. 이로써 우리는 $f_{n}$이 균등코시임을 보여서 증명을 완료하였다.

ii)의 증명. 

$f_{n} \rightarrow_{u} f$인 함수 $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$이 있음을 안다.

이제 $\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}'(x) = f'(x)$임을 보여야 한다.

$x \in [a,b]$를 고정하고 다음의 함수열을 정의한다:

$$ g_{n} (t) := \frac{f_{n}(t) - f_{n}(x)}{t-x}$$

이 함수열의 정의역은 $t \neq x$일 것이다.

이제 $g_{n}$이 $g(t) := \frac{f(t)-f(x)}{t-x}$에 균등수렴함을 보이면, 정리 7.11에 의해서

$$\lim_{n\rightarrow \infty} f_{n}^{'}(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{t \rightarrow x} g_{n}(t) = \lim_{t \rightarrow x} \lim_{n \rightarrow \infty} g_{n}(t) = f'(x)$$가 성립할 것이다.

우리는 이미 점별로는 $g_{n} \rightarrow g$임을 알기 때문에, $g_{n}$이 균등코시여서 어떤 함수로 균등수렴함을 보이면 족하다.

$\epsilon > 0$을 고정한다.

i)의 증명을 다시 고려하면, $|g_{n}(t) - g_{m}(t)| = |f_{n}^{'}(\xi) - f_{m}^{'}(\xi)|$인 $\xi \in [x,t]$가 존재할 것이다. 그런데 $f_{n}^{'}$의 균등수렴 성질에 의해, 충분히 큰 $N\in\mathbb{N}$을 잡으면 $n,m \geq N \Rightarrow |g_{n}(t) - g_{m}(t)| <\epsilon, \forall t \in [a,b], t \neq x$가 성립하며 이것은 $g_{n}$이 균등코시임을 보인다. $\square$

마지막으로 "그거"를 할 차례이다. 교수님께서 좀 뜬금없이 등장한다 하셨는데 나도 그렇게 생각한다.

https://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function

정리 7.18 ("그거")

실수에서 연속이나 어느 점에서도 미분불가능한 함수가 존재한다.

증명의 직관.

내가 생각하기에 이건 도저히 인간이 생각해낼 수 없는 예시인 것 같다. 도대체 뭘 먹고 살기에 이런걸 생각하냐고 교수님께 물어봤다가 "한번 곱씹어보세요"라는 답을 받아서, 한번 곱씹어보기로 했다.

기본적인 증명의 직관은 다음과 같다. 함수 $$\phi(x) = |x|, x\in\mathbb{R}$$은 $$x=0$$에서 어떤 꺾인점을 갖는다. 만약 $$\phi(x) = |x|, x\in [-1,1], \phi(x+2) = phi(x)$$로 확장을 한다면 모든 정수에서 미분불가능한 점을 가질 것이다.

이제 $\phi(x) + \phi(2x)$를 생각해 보자. $\phi(2x)$는 $\{\frac{k}{2} | k \in \mathbb{Z} \}$에서 미분불가능하다. 또한 $\phi(x)$와 $\phi(2x)$ 모두 정수의 왼쪽에서는 기울기가 양수이고, 정수의 오른쪽에서는 기울기가 음수이므로 둘을 더한 함수 역시 정수에서 미분불가능할 것이다.

만약 우리가 모든 유리수에서 미분불가능한 함수를 원한다면, $\phi(x)+\phi(2x)+...$ 식의 무한급수를 고려해볼 수 있다. 그러나 이 경우 함수가 점별수렴하지 않고 발산하게 되는 문제가 생긴다. 이런 문제를 해결하기 위해 $\phi(nx)$ 앞에 함숫값의 크기를 충분히 줄여주는 요소 $g(n)$을 곱하여 $g_{n}(x) := \Sigma_{k=1}^{n} g(k)\phi(kx)$의 꼴로 생각해볼 수 있을 것이다. 

그러나 이러한 함수 역시 두 가지 문제에 맞닥뜨린다: 1) 함수열의 각 함수는 연속이라는 것이 보장되지만, 이것의 급수 역시 연속이라는 것은 점별수렴만으로 보장되지 않는다는 점, 2) 함수열의 각 함수는 유리수의 어느 부분집합에서만 미분불가능하다는 점.

1)은 균등수렴이 보장되면 해결될 문제이다. 따라서 $\lim_{n \rightarrow \infty} g(n) = 0$이 만족되는 $g(n)$을 잡으면 된다.

한편 2)는 조금 더 복잡하다. 가장 쉽게 미분불가능성을 보이는 방법은 $\frac{\Delta y}{\Delta x} \rightarrow \infty$가 되는 $\Delta x$들의 수열을 잡는 것이다. 만약 주어진 $\Delta x_{n}$에 대해 우리가 유한 개의 항의 미분계수만 고려할 수 있다면 이 과정이 덜 힘들 것이다. 그런 의미에서 $\phi(nx)$를 합치는 선택이 사실은 그리 좋은 선택이 아니라고 할 수 있겠다...

직관은 이쯤 다루고 증명으로 들어가보자.

증명.

함수 $$\phi_{1}: [-1,1] \rightarrow \mathbb{R}, \phi_{1}(x) = |x|$$를 주기 2인 주기함수로 확장하자. 즉, 다음과 같이 정의된 함수열의 점별 극한함수를 고려한다:

$$\phi_{n} : [-2n+1, 2n-1] \rightarrow \mathbb{R} \\ \phi_{n}(x) = \begin{cases} \phi_{n-1}(x) \space (x \in [-2n+3, 2n-3]) \\ |x-(2n-2)| \space (x \in [2n-3, 2n-1]) \\ |x-(-2n+2)| \space (x \in [-2n+1, -2n+3]) \end{cases}$$

이제 $\phi := \lim_{n \rightarrow\infty} \phi_{n}$으로 정의하면 $\phi: \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$이고 $\phi(x+2) = \phi(x)$가 성립한다.

다음과 같은 함수열을 고려한다:

$$ g_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\ g_{n}(x) := \Sigma_{k=1}^{n} (\frac{3}{4})^{n} \phi(4^{n}x)$$

이제 우리는 다음의 주장을 할 것이다:

주장 1) $g_{n} \rightarrow_{u} g$인 $g: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$이 존재한다.

주장 2) 이 $g$는 모든 실수에서 연속이다.

주장 3) 이 $g$는 모든 실수에서 미분불가능하다.

주장 1)의 증명.

정리 7.10 (Weierstrass M-test)를 상기하라:

함수열 $f_{n} : E \rightarrow \mathbb{C}, f_{n}(x) := \Sigma_{k=1}^{n} h_{k}(x)$에 대해서 $\forall x\in E, |h_{n}(x)| \leq M_{n}$인 실수 $M_{n}$이 모든 자연수 $n$에 대해 존재하고, $\Sigma_{n=1}^{\infty} M_{n} < \infty$라 하자. 이제 $f_{n}$은 어떤 함수로 균등수렴한다.

여기서 $f_{n}(x) = g_{n}(x), h_{n}(x) = (\frac{3}{4})^{n} \phi(4^{n}x)$라 두면, i) 주어진 자연수 $n$에 대해 $\forall x\in\mathbb{R}, |h_{n}(x)| \leq M_{n}$인 $M_{n} \in\mathbb{R}$을 찾고 ii) $\Sigma M_{n}$이 수렴하면 바이어슈트라스 M-test를 적용할 수 있다.

그런데 $0 \leq \phi(4^{n}x) \leq 1$이라는 사실을 상기하라. 따라서 $n \in \mathbb{N}$이 주어질 때 $\forall x\in \mathbb{R}, |h_{n}(x)| \leq (\frac{3}{4})^{n}$이 성립하고, $\Sigma_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4})^{n} < \infty$가 성립하므로 M-test의 적용이 가능하다. 

주장 2)의 증명.

우리는 함수열 $g_{n}$이 어떤 함수로 균등수렴한다는 사실을 주장 1)에 의하여 안다. 또한 주어진 자연수 $n$에 대해 $g_{n}$은 연속함수들의 유한합이므로 명백히 연속이므로, 정리 7.12에 의해 $g_{n} \rightarrow_{u} g$인 $g$ 역시 모든 실수에서 연속이다.

주장 3)의 증명.

$x \in \mathbb{R}$을 고정하자. $g_{n} \rightarrow_{u} g$인 연속 실함수 $g$에 대해서 $x$의 미분가능성을 살펴보기 위해서는 다음의 분수

$$ \frac{g(x+t) - g(x)}{t}$$

가 $t \rightarrow 0$에 따라 어떻게 행동하는지 알아야 한다. 그런데 이는 

$$ \frac{\Sigma_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4})^{n} [\phi(4^{n}(x+t)) - \phi(4^{n}(x)]}{t}$$

를 알아내는 것이므로, 무한급수를 다루어야 할 것이다.

우리의 목적은 1) 0으로 수렴하면서, 2) 위에서 구하고자 하는 분수가 무한대로 발산하고, 3) 주어진 자연수에서 무한급수를 계산할 필요 없이 유한개의 항만이 남는 수열 $t_{m}$을 구하는 것이다.

이를 위해 $t_{m}$을 다음과 같이 정의한다:

$4^{m}x \in [n, n+1)$을 만족하는 유일한 정수 $n$이 존재한다는 사실은 이미 안다. 이제 다음의 방식으로 $t_{m}$을 정의한다:

i) 열린 구간 $(4^{m}x, 4^{m}x + \frac{1}{2})$에 정수가 없다면, $t_{m} := \frac{1}{2} 4^{-m}$으로 정의한다.

ii) i)이 성립하지 않는다면 열린 구간 $(4^{m} - \frac{1}{2}, 4^{m}x)$에 정수가 있을 수 없는데, 이 때는 $t_{m} := - \frac{1}{2} 4^{-m}$으로 정의한다.

이제 주어진 자연수 $m$에 대해서 분수 $\frac{\Sigma_{n=0}^{\infty} (\frac{3}{4})^{n} [\phi(4^{n}(x+t_{m})) - \phi(4^{n}x)]}{t_{m}}$를 고려한다.

만약 $n > m$이라면, $4^{n} t_{m}$은 짝수인 양의 정수가 되므로, $\phi(4^{n}(x+t_{m}) - \phi(4^{n}x) = 0$이 된다.

만약 $n = m$이라면 $4^{m} t_{m} \in \pm \frac{1}{2}$이고, 특히 $4^{m} x$와 $4^{m} (x + t_{m})$ 사이에 정수가 존재하지 않으므로 이 두 점은 기울기 $4^{m}$의 선분으로 이어져 있으며, 따라서 $\phi(4^{m} (x+t_{m}) - \phi(4^{m}x) = 4^{m}t_{m}$이다.

만약 $n < m$이면 구체적인 값은 알 수 없지만, 두 점을 잇는 기울기가 아무리 커봤자 $4^{n}$이라는 사실을 아므로, $|\phi(4^{n}(x+t_{m}) - \phi(4^{n}x)| \leq  4^{n}t_{m}$임을 안다.

따라서, 다음이 성립한다:

$$|\frac{\Sigma_{n=1}^{\infty} (\frac{3}{4})^{n} [\phi(4^{n}(x+t_{m})) - \phi(4^{n})]}{t_{m}}| \\ \geq (\frac{3}{4})^{m} 4^{m} - \Sigma_{k=1}^{m-1} (\frac{3}{4})^{k} 4^{k} \\ = \frac{1}{2} (3^{m} + 1)$$

이제 모든 자연수 $m$에 대해 $t_{m}$을 정의할 수 있으며 $\lim_{m \rightarrow \infty} t_{m} = 0$이므로, $g$는 $x$서 미분불가능하다. $\square$

후...호흡이 긴 증명이다. 여러모로 쉽지 않은 것 같다.

다음 시간에는 유계와 관련한 논의를 진행하겠다.

* 2022. 09. 06 수업의 복습입니다.*

지난 시간에 우리는 함수열이 무엇인지 살펴보았고, 특히 거리공간 $(X,d)$에 대해 $f_{n}: (X,d) \supset E \rightarrow \mathbb{C}$인 함수열에 대해서 점별 수렴의 개념을 정의하였다. 특히 함수열 $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$가 $f$에 점별수렴하는 경우, 함수열의 항들이 가지는 해석학적 성질이 $f$의 해석학적 성질을 보장하지 못하는 것을 살펴보았다. (eg. 연속성, 미분가능성 및 미분계수의 일치여부, 리만 적분가능성 및 정적분값)

이러한 문제를 해결하기 위해 보다 강력한 개념인 균등수렴의 개념을 정의하였다: 

$f_{n} \rightarrow f \space unif.$ 

(정의)

<=> $\forall \epsilon > 0, \exists n \in \mathbb{N} s.t. n \geq N \Rightarrow |f(x) - f_{n}(x)| < \epsilon \forall x \in E$

(정리 7-1)

<=> $\forall \epsilon > 0, \exists n \in \mathbb{N} s.t. n \geq N \Rightarrow sup_{x \in E} |f(x) - f_{n}(x)| < \epsilon$

우리는 이 지점에서부터 시작한다.

정리 7.11 (균등수렴 함수열에 대한 극한의 교환)

$f_{n} : E \rightarrow \mathbb{C}$는 거리공간 $(E,d)$서 복소수로 가는 함수열이고, $f_{n} \rightarrow f \space unif.$라고 하자.

$E$의 집적점 $x$에 대해서 $\lim_{t \rightarrow x} f_{n}(t) = A_{n}$인 복소수 $A_{n}$이 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 존재한다 하자.

이제 다음이 성립한다:

i) $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$이 존재한다.

ii) $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n} = \lim_{t \rightarrow x} f(t)$

i)의 증명.

복소수 (또는 실수)는 완비성을 만족하는 거리공간이므로, 우리는 $A_{n}$이 코시임을 보이면 족하다.

$\epsilon > 0$을 고정하자. 이제 우리는 어떤 자연수 $N$을 찾아, $n,m \geq N \Rightarrow |A_{n} - A_{m}| < \epsilon$가 성립함을 보여야 한다.

이러한 문제들은 거의 항상 삼각부등식을 활용한다. 모든 $t\in E$에 대해

$$|A_{n} - A_{m}| \\ \leq |A_{n} - f_{n}(t)| + |f_{n}(t) - f_{m}(t)| + |f_{m}(t) - A_{m}|$$

가 성립함을 보아라.

함수열 $\{f_{n} \}_{n=1}^{\infty}$가 균등수렴하므로, 이 함수열은 균등 코시임을 안다: 즉 $\epsilon>0$이 주어질 때, 자연수 $N$이 존재하여 $n,m \geq N \Rightarrow sup_{t \in E} |f_{n}(t) - f_{m}(t)| < \epsilon$이 성립한다.

가장 처음 잡은 $\epsilon$에 대해 $\frac{\epsilon}{3}$을 생각하자; 이 숫자에 대응하는 $N$이 존재할 것이다.

이제 $t \in E$는 $|A_{n} - f_{n}(t)| , |A_{m} - f_{m}(t)| < \frac{\epsilon}{3}$이 성립하도록 $x$에 충분히 가깝게 잡는다.

그러면 $$n,m \geq N \Rightarrow |A_{n} - f_{n}(t)| + |f_{n}(t) - f_{m}(t)| + |f_{m}(t) - A_{m}| \\ < \frac{\epsilon}{3} * 3 = \epsilon$$이 성립하므로 $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty}$는 코시이고 i)의 증명이 완료되었다.

ii)의 증명.

i)에 의해 존재성이 보장되는 극한 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$을 $A$라고 부르자.

이제 우리는 $A = \lim_{t \rightarrow x} f(t)$임을 보여야 한다.

$\epsilon > 0$을 고정하자. 우리는 $t$가 $x$에 충분히 가까우면 $|f(t) - A| <\epsilon$이 됨을 보여야 한다 (정확히는 그것이 성립하는 거리 $\delta>0$을 찾아야 한다.)

역시 삼각부등식을 활용한다. 모든 자연수 $n$와 $t \in E$에 대해

$$|f(t) - A| \\ \leq |f(t) - f_{n}(t)| + |f_{n}(t) - A_{n}| + |A_{n} - A|$$

가 성립함을 보아라.

이제 다음이 성립하도록 하나의 $N \in \mathbb{N}$을 잡는다:

i) $|f(t) - f_{N}(t)| \leq \frac{\epsilon}{3}$ (이렇게 잡을 수 있는 것은, $f_{n}$이 $f$에 균등수렴하기 때문에 $t$를 모르는 것이 상관없기 때문이다.)

ii) $|A_{N} - A| \leq \frac{\epsilon}{3}$ ($\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n} = A$이기 때문이다)

이렇게 잡은 $n \in \mathbb{N}$이 주어질 때, $\lim_{t \rightarrow x} f_{N}(t) = A_{N}$임을 알기 때문에, $\delta >0$이 존재하여 $d(x,t) < \delta \Rightarrow |f_{N}(t) - A_{N}| < \frac{\epsilon}{3}$이다.

따라서 $d(x,t) < \delta \Rightarrow |f(t) - A| \leq \frac{\epsilon}{3} * 3 = \epsilon$이 성립하고 증명이 완료된다. $\square$

이 증명을 간략하게 표현하자면, 함수열의 균등수렴이 보장되면 극한과정을 바꿀 수 있다:

$$ \lim_{t \rightarrow x} \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(t) = \lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{t \rightarrow x} f_{n}(t) $$

특이한 점은, $x$는 $E$의 집적점이기만 하면 되고 $E$의 원소일 필요는 없다. 그래서 위의 증명을 자세히 보면 $f(x)$이라는 표현을 쓴 적이 없다.

이 증명의 따름정리는 특별히 중요하다:

따름정리 7.12 (연속성의 계승)

$f_{n} \rightarrow f \space unif.$라 하자. 또한 $f_{n}$은 $x \in E$에서 연속이라 하자. 이제 $f$ 역시 $x \in E$에서 연속이다.

증명.

Case 1. $x$가 $E$의 집적점이 아닌 경우

이 경우는 $f$나 $f_{n}$이나 자명히 $x$서 연속이다.

Case 2. $x$가 $E$의 집적점인 경우

이 경우 $\lim_{t \rightarrow x} f_{n}(t) = A_{n} = f_{n}(x)$가 존재하므로 정리 7.11의 조건들이 만족한다.

따라서 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n} = \lim_{t \rightarrow x} f(t)$임을 안다. 그런데 $\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = f(x)$는 (균등수렴 => 점별수렴) 관계에 의해 성립한다.

$\square$

이제 우리가 가지고 있는 정리 "균등수렴 + 각 함수항이 연속 => 극한함수가 연속"을 변형한 다른 명제들이 참인지를 알아보고자 한다.

Q. "균등수렴 + 극한함수가 연속 => 각 함수항이 연속?"

이는 참이 아니다.

다음의 함수열 $f_{n} : (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$을 고려하자:

$$ f_{n}(x) = \begin{cases} \frac{1}{n} \space\space (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 \space\space (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases}$$

이제 $f \equiv 0$에 대해 $f_{n} \rightarrow f unif.$임을 알고 극한함수는 명백히 연속이지만, 각 함수항은 어느 점에서도 연속이지 않다.

Q. "각 함수항이 연속 + 극한함수가 연속 => 균등수렴"?

여기서 극한함수가 존재한다는 것만으로 점별수렴이 보장됨에 유의하라.

이것 역시 참이 아니다. 다음의 함수열 $f_{n} : (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$을 고려하자:

$$ f_{n}(x) = \frac{1}{nx+1}$$

각 함수항은 연속이고 극한함수 $f \equiv 0$ 역시 연속이다. 그러나 $f_{n}(\frac{1}{n}) = \frac{1}{2}$이므로, 정리 7.9에 의해 균등수렴은 성립하지 않는다.

허나 아주 특수한 조건을 만족하는 경우에는 이 명제가 참인데, 이 조건들은 다음의 정리에서 드러난다:

정리 7.13

$f_{n} : K \rightarrow \mathbb{C}$는 연속이며 연속함수 $f: K \rightarrow \mathbb{C}$로 점별수렴한다 하자.

또한 다음의 조건들이 성립한다 하자:

i) $K$는 옹골집합이다.

ii) $\forall x \in K, f_{n}(x) \geq f_{n+1}(x)$

이제 $f_{n} \rightarrow f \space unif.$이다. 즉, 균등수렴이 성립한다.

증명.

$g_{n}: K \rightarrow \mathbb{C}$, $g_{n}(x) := f_{n}(x) - f(x)$라 하자.

이제 $g \equiv 0$에 대해, $g_{n}$는 $g$에 점별수렴하며, 단조감소한다.

$\epsilon > 0$을 고정한다. $g_{n}$은 모든 자연수 $n$에 대해 연속함수이므로, 

$K_{n} := g_{n}^{-1}([\epsilon, \infty))$는 옹골집합 $K$의 부분집합인 닫힌 집합이고 (정리 4.8) 따라서 옹골집합이다 (정리 2.35).

한편 $g_{n}$은 단조감소하므로 $K_{n} \supset K_{n+1}$이 성립하고, 마지막으로 모든 $x \in K$에 대해 $g_{n}(x) \rightarrow 0$이므로 $\cap_{n=1}^{\infty} K_{n} = \emptyset$이다.

그런데 정리 2.36에 의해 유한히 많은 자연수 $n_{1},..., n_{j}$가 존재하여 $\cap_{i=1}^{j}K_{n_{i}} = \emptyset$이고 따라서 어떤 자연수 $N$에 대해 $K_{N} = \emptyset$이다. 이는 곧 $x \in K \Rightarrow g_{N}(x) < \epsilon$을 의미하고 이것은 균등수렴의 정의가 함수열 $f_{n}$과 극한함수 $f$에 대해 성립함을 의미한다. $\square$

우리는 균등수렴의 개념이 충분히 강력하여 함수열의 항들이 가지는 연속성을 극한으로 계승시킨다는 것을 배웠다. 그렇다면 균등수렴이 뭐길래 점별수렴이 하지 못하는 것을 해내는 것일까?

이 질문에 대한 대답은 정리 7.9에 의해 정립했던 균등수렴의 두 번째 정의,

$f_{n} \rightarrow f \space unif. \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N, n \geq N \Rightarrow sup_{x \in E} |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon$

에서 나타난다. $sup~$의 항을 살펴보면 이것이 결국 함숫값이 아니라 함수 자체 사이의 거리를 재는 자연스러운 방법일 것이라는 느낌을 받는다.

(사실 나는 여기서도 hand-waving이 들어간다고 생각한다. 하지만 나보다 수학을 잘하는 사람들은 느낄 것 같다고 생각하긴 한다.)

이것을 명확히 나타내기 위해서는 i) 함수공간을 정의하고, ii) 이 "노름"이 실제로 노름임을 보여야 한다.

정의. (함수공간)

$\mathcal{C}(E. \mathbb{C})$는 정의역이 $E$이고 공역이 $\mathbb{C}$인 유계이고 연속인 함수이다.

마찬가지로 $\mathcal{C}(E, \mathbb{R})$는 정의역이 $E$이고 공역이 $\mathbb{R}$인 유계 연속함수이다.

이제 $f \in \mathcal{C}(E, \mathbb{C})$에 대해 다음의 "노름"을 정의한다:

$$ ||f|| := sup_{x \in E} |f(x)|$$

이것이 실제로 노름임을 보이자:

i) $f$는 유계이므로 모든 $\{|f(x)| | x \in E \}$는 유계인 집합이고 따라서 음이 아니면서 유한한 상한이 존재한다.

ii) $||f|| = 0 \Leftrightarrow \forall x \in E, f(x) = 0 \Leftrightarrow f = 0$

iii) $\lambda \in \mathbb{C}$에 대해, $||\lambda f|| = |\lambda| ||f||$

iv) $f,g \in \mathcal{C}(E, \mathbb{C})$라 하자.

$$||f+g|| = sup_{x \in E} |f(x)+g(x)| \\ \leq sup_{x \in E} |f(x)|+|g(x)| \\ \leq sup_{x \in E} |f(x)| + sup_{x \in E} |g(x)| \\ = ||f||+||g||$$

이므로 삼각부등식도 성립한다.

i)~iv)$에 의해 "노름"이 실제로 노름임을 확인하였다.

이제 $f_{n} \rightarrow f \space unif. \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} ||f_{n} - f|| = 0$이다. 즉, 균등수렴은 함수들의 노름공간에서 정의한 함수열의 수렴을 나타낸 개념이다.

다음 시간에는 균등수렴의 개념과 적분, 미분의 관계를 살펴본다.