[번외] Geodesic curvature

지난 학기에 미기개 1을 수강하였지만, Gauss-Bonnet theorem을 잘 이해하지 못하고 넘어갔던 것을 보충하다가, geodesic curvature이 정리에 나타나지만 그 의미를 잘 이해하지 못했음을 깨닫고 geodesic curvature 단원을 다시 살펴보았다.

 

 

Motivation. Geodesic curvature은 곡면 위 곡선이 "곡면 위에서" 얼마나 휘어져 있는지를 나타내는 측도이다. 예컨대, 원기둥 위에서 원의 둘레를 따라가는 곡선은 곡면이 $\mathbb{R}^{3}$에 내재되어 있기 때문에 휘어져 보이지만, 전개도를 펼쳐보면 평면 위에서 직선으로 표현되기 때문에 "원기둥 위에서 휘어져 있지 않다"고 주장할 수 있다.

 

우리는 미기개1 수준에서, $\mathbb{R}^{3}$에 잠재된 2-다양체를 살펴본다.

 

 

정의. (Covariant derivative)

$S$는 $\mathbb{R}^{3}$에 잠재된 가향 정규곡면이고, $C \subset S$는 곡면 위에 놓인 곡선이라 하자. 또한, $\alpha: I \to S$가 $C$의 arclength parametrization이라 하자.

$\alpha'' = \frac{d\alpha'}{ds}$는 $\mathbb{R}^{3}$ 안에서 바라본 $\alpha$의 이계미분이다. 이제, $\frac{d\alpha'}{ds}$를 각 점에서의 접평면 $T_{p}S$에 사영한 벡터를 $\frac{D\alpha'}{ds}$라 표기하고, 속도벡터장의 covariant derivative라 부른다.

 

 

정의. (algebraic value of the covariant derivative; geodesic curvature)

매개화가 arclength에 대한 것이기 때문에, $|\alpha'| \equiv 1$이다. 따라서, $\langle \frac{d\alpha'}{ds}, \alpha' \rangle = 0$이 성립하고, 따라서 $\frac{D\alpha'}{ds} = \lambda (N \wedge \alpha')$를 만족하는 함수 $\lambda(s)$가 존재한다.

각 점에 대한 함숫값 $\lambda(s)$를 곡선의 geodesic curvature라 부르고, $[\frac{D\alpha'}{ds}]$ 또는 $k_{g}$라 표기한다. 만약 벡터장이 $\alpha'$이 아니라 일반적인 w면, $[\frac{Dw}{dt}]$를 algebraic value of the covariant derivative라 부른다.

 

 

이렇게 살펴보면 geodesic curvature과 covariant derivative는 가속도 벡터를 $\mathbb{R}^{3}$의 원소로 보고, 다시 접평면 $T_{p}S$에 사영한 후 크기를 잰 것이 되므로 전혀 내재적인 개념이 아닌 것처럼 보인다. 그러나 다양체를 어디에 잠재시켰는지에 무관하게 기하적 성질들을 살펴보고 싶기 때문에, 우리는 geodesic curvature이 내재적 개념임을 주장하고 싶다.

 

곰곰히 생각해보면 (처음 볼때는 전혀 감상하지 못했었지만), 이렇게 정의를 했음에도 불구하고 내재적 개념이 된다는 사실이 상당히 놀라울 따름이다.

 

 

geodesic curvature이 내재적 개념임을 보이는 긴 작업은 "양의 방향을 따라 벡터장이 이루는 각도를 미분가능하게 잴 수 있음"을 증명하면서 시작된다. 

 

두 (단위)벡터장 $v,w$가 있고, $w$가 $v$와 이루는 "양의 방향의 각도"를 재고 싶다고 하자. 가장 순진한 시도는, 접평면의 양의 기저가 되도록 $\{v, \bar{v}\}$를 잡고, $w(t) = \cos(\theta(t)) v + \sin(\theta(t)) \bar{v}$가 된다고 주장하는 것이다. 그러나 이 때 $\theta$가 미분가능하게 정의되는지가 문제된다. 아래에서 갑자기 ab'-ba' 항이 튀어나오는 것은, $a(t) = \cos(\varphi(t)), b(t) = \sin(\varphi(t))$가 성립한다고 가정해보고 계산을 진행하면 그냥 $\varphi'$가 나오기 때문이라고 보면 된다.

 

 

보조정리 1. $a,b: I \to \mathbb{R}$가 두 미분가능한 함수여서 $a^{2}+b^{2} = 1$을 만족한다 하자. 또한, $\varphi_{0}$가 존재하여 $a(t_{0}) = \cos(\varphi_{0}), b(t_{0}) = \sin(\varphi_{0})$가 성립한다 하자.

이제 함수

$$\varphi(t) := \varphi_{0} + \int_{t_{0}}^{t} (ab'-ba')dt$$

는 미분가능하며, $a(t) = \cos(\varphi(t)), b(t) = \sin(\varphi(t))$를 만족한다.

 

증명. 제곱합이 1이라는 조건에 의해 $aa'= - bb'$이 성립한다. 우리는

$$(a(t) - \cos(\varphi(t))^{2} + (b(t) - \sin(\varphi(t))^{2} = 0$$임을 보이고자 한다.

이는 다시

$$a \cos(\varphi) + b \sin(\varphi) = 1$$

임을 보이는 것과 같다.

미분계수를 생각하면

$$a' \cos(\varphi) - a \varphi' \sin(\varphi) + b' \sin(\varphi) + b \varphi' \cos(\varphi) = 0$$을 얻을 수 있고,

$t = t_{0}$을 대입하여 초기조건도 성립함을 확인할 수 있다. $\square$

 

 

이 지식을 바탕으로, 두 벡터장의 algebraic value의 차가 각도의 미분임을 보인다. 이를 평면에서 생각하면, 속도벡터의 미분의 차가 각도의 미분임을 주장하는 꼴인데, 속도벡터들이 단위원 위에만 있도록 제한을 하면 (각속도 같은 물리적인 고려를 통해) 성립함을 직관적으로 이해할 수 있다.

 

 

보조정리 2. $v,w$가 arclength로 매개화된 곡선 $\alpha$ 위의 두 벡터장이라 하자. 이제,

$$[\frac{Dv}{ds}] = [\frac{Dw}{ds}] + \frac{d\varphi}{ds}$$

 

증명.

S가 가향곡면이라 하면, $\bar{w}$를 잡아 $\{w,\bar{w}\}$가 항상 양의 방향의 정규직교기저가 되도록 만들 수 있다.

이제 보조정리 1에서 정의한 "v의 각도를 재는 함수" $\varphi$가 존재하여,

 

$$v = \cos(\varphi) w + \sin(\varphi) \bar{w}$$

가 항상 성립한다. 따라서, $\frac{dv}{ds} = - \varphi' \sin(\varphi) w + \cos(\varphi) \frac{dw}{ds} + \varphi' \cos(\varphi) \bar{w} + \sin(\varphi) \frac{d\bar{w}}{ds}$이다.

 

한편, $\bar{w} = N \wedge w$임을 알 수 있다. 유사하게 $\bar{v} = N \wedge v$라 하면,

$$\bar{v} = -\sin(\varphi) w + \cos(\varphi) \bar{w}$$

임을 알 수 있다.

 

정의에 의해 $[\frac{Dv}{ds}] = \langle \frac{dv}{ds}, \bar{v} \rangle$이므로, 전개를 한 후 내적의 성질과 $w, \bar{w}$가 직교임을 이용하여 항별로 정리를 하면

 

$$[\frac{Dv}{ds}] = \frac{d\varphi}{ds} + \cos^{2}(\varphi) \langle \frac{dw}{ds}, \bar{w} \rangle - \sin^{2}(\varphi) \langle\frac{d\bar{w}}{ds}, w\rangle$$

 

그런데 $ \langle w, \bar{w} \rangle \equiv 0$을 이용하면 $-sin^{2}$항의 내적을 $\cos^{2}$항의 내적으로 바꿀 수 있어서 결론이 성립한다. $\square$

 

 

이제 우리는 정말로 geodesic curvature이 intrinsic 한 개념임을 확인할 선행조건들을 갖추었다.

 

 

정리. $x(u,v)$가 직교매개화라 하자. 이제 다음의 식이 성립한다:

$$k_{g} = \frac{1}{2\sqrt{EG}}{G_{u} \frac{dv}{ds} - E_{v} \frac{du}{ds}} + \frac{d\varphi}{ds}$$

 

Rmk. 우변은 각도의 미분 (각도를 정하는 방식은 접평면만 필요하면 되는 것이었으므로, 내재적), FFF와 그 미분계수 (내재적), 그리고 $\frac{dv}{ds}, \frac{du}{ds}$ (chart하는 방식에 의존하지만 마찬가지로 어디에 잠재시키는지와는 무관하므로 내재적)만을 사용하므로, 다양체를 어디에 잠재시키는지와 무관한 내재적인 개념이다.

 

증명. 

증명의 아이디어는 방향을 하나 잡아버리는 데서 시작되며, 이 방향으로서 자연스러운 후보는 u 방향의 unit vector field $e_{1} = \frac{x_{u}}{\sqrt{E}}$이다. (향을 적절히 잡아서, $\{e_{1}, e_{2}\}$가 양의 기저가 되도록 하자.)

 

w는 $\alpha$ 위 임의의 단위벡터장이라 하자.

 

보조정리 2에 의해

$$[\frac{Dw}{dt}] = [\frac{De_{1}}{dt}] + \frac{d\varphi}{dt}$$

 

이제,

$$[\frac{De_{1}}{dt}] = \langle \frac{de_{1}}{dt}, N \wedge e_{1} \rangle =\langle\frac{de_{1}}{dt}, e_{2}\rangle \\ = \langle(e_{1})_{u},e_{2} \rangle\frac{du}{dt} + \langle(e_{1})_{v}, e_{2} \rangle \frac{dv}{dt}$$

 

또한, 직교매개화의 성질에 의해,

$$\langle x_{uu},x_{v} \rangle = -\frac{1}{2} E_{v}$$

 

따라서

$$(e_{1})_{u},e_{2} \rangle = \frac{1}{\sqrt{EG}} \langle x_{uu}, x_{v}\rangle= -\frac{E_{v}}{2\sqrt{EG}}$$이고, 유사한 방식으로 다른 항도 증명을 할 수 있다. $\square$