유클리드 기하 개론 - 2.6 합동 공리군의 결과 (Part 3)

* 이 시리즈는 <유클리드 기하 개론>이라는 책을 정리하는 연재글로, 네이버 블로그에서 연재하다가 수식 입력이 불편해서 티스토리로 넘어온 연재입니다. 추후 블로그에 있던 글들을 옮길 예정이나, 일단은 이어 연재할 생각입니다.

블로그 주소는 https://blog.naver.com/inducedsubgraph 입니다.

 

 

오늘은 어제에 이어 합동 공리군으로부터 도출되는 정리들을 살펴본다.

 

Part 1.

삼각형의 SAS 합동이 성립한다.

삼각형의 ASA 합동이 성립한다.

두 변이 같은 이등변삼각형의 밑각은 같다.

직각은 존재한다.

각의 덧셈/뺄셈은 잘 정의된다.

​

Part 2.

삼각형의 SSS 합동이 성립한다.

각의 합동은 전이적이다.

각의 크기 비교는 내부/외부 비교를 통해서 잘 정의된다.

모든 직각은 합동이다.

​

Part 3.

삼각형의 한 외각은 자신의 보각이 아닌 다른 어떤 내각보다도 크다.

삼각형의 큰 변의 맞각은 작은 변의 맞각보다 크고, 큰 각의 맞변은 작은 각의 맞변보다 크다.

두 각이 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.

모든 선분은 이등분될 수 있다.

 

 

우리가 살펴보는 모든 정리들은 평행선 공리가 성립하지 않는 비유클리드 기하학에서도 성립함에 유의하라.

삼각형의 외각정리로부터 시작한다. 

​

 

정리 2.6.14 (외각의 정리) 삼각형의 한 외각은 자신의 보각이 아닌 내각보다 크다.

증명.

$ \triangle ABC $에 대해, 점 C에서 시작하며 A로 뻗어가는 반직선의 반대편에 있는 점 A'를 잡는다.

우선 $\angle BCA' > \angle BAC$ 임을 보이고자 한다. 

귀류법을 사용하기 위하여 명제의 결론을 부정하고, $\angle BAC \geq \angle BCA'$ 라고 가정하자. 여기서 모순이 발생한다면 각의 크기 비교의 삼분법에 의하여 원하는 사실인 $\angle BCA' > \angle BAC$을 보일 수 있다.

만약 $\angle BCA' < \angle BAC$이라면, 정의 2.6.3에 의하여 각 BCA' 밖에 있으면서 C에서 방사하는 반직선 l이 존재할 것이고, 이 반직선은 각 BCA의 내부에 있어 선분 AB와 점 D에서 만날 것이다.

이제 삼각형 ACD의 외각 $\angle DCA$ 는 각 A와 크기가 같은데, 이로 인해 모순이 발생함을 보일 것이다.

선분 DC를 연장하여 직선 DC를 만든다. 이제 C에서 출발하여 D의 반대편에 있는 반직선 위의 점 D'을 잡되, 

선분 BD와 선분 CD'가 합동이 되도록 한다.

이제 맞꼭지각은 합동이므로 $\angle BCD' \equiv \angle DBC \equiv \angle A'CD$가 성립한다.

또한 선분 AC는 삼각형 ACD와 삼각형 ACD' 모두의 공통선분이고, 선분 AD와 선분 CD'은 합동이다.

따라서 SAS 합동에 의하여 삼각형 ACD와 삼각형 CAD'은 합동이고, 특히 

 

$\angle CAD' \equiv \angle ACD$

 

그런데 이 각은 각 CAD의 보각이므로, D'은 직선 AD위에 있어야 하고 이는 모순이다 (점 A,C,D는 한 직선 위에 있지 않은 세 점).

 

만약 $\angle BCA' \equiv \angle BAC$라면, D 대신 B를 집어넣으면 위의 논의가 그대로 성립한다.

 

이제 $\angle BCA' > \angle ABC$도 같은 논리를 통해 증명될 수 있다. (선분 AC를 연장하지 않고 선분 BC를 연장하면 점들끼리 명칭을 붙일 때의 대칭성에 의하여 위의 논리가 그대로 성립한다.)

$\square$

 

 

정리 2.6.15 한 삼각형의 큰 변의 맞각은 작은 변의 맞각보다 크고, 또 큰 각의 맞변은 작은 각의 맞변보다 크다.

증명전략.

다음 사실들을 이용한다:

i) 정리 2.6.14.

ii) 선분 AB가 선분 CD보다 '작다'는 것은, 선분 CD 위에 있는 점 E가 존재, 선분 CE와 선분 AB가 합동이 되도록 할 수 있다.

 

증명. 

(i) 큰 변의 맞각이 작은 변의 맞각보다 크다는 것을 증명하고자 한다.

$\triangle ABC$에 대하여 $AB > BC$ 라고 가정하자.

이제 $\angle C > \angle A$임을 보이고자 한다.

선분의 크기 비교의 정의에 의하여, 점 B에서 방사하고 점 C를 지나는 반직선 위에 점 D를 잡아, 선분 BD와 선분 AB가 합동이 되도록 한다. 이때 점 D는 선분 BC의 밖에 있다.

이제 $\angle ACB$는 $\triangle ACD$의 외각이고 $\angle D$는  $\angle ACB$의 보각이 아니므로 정리 2.6.14에 의하여

$\angle ACB > \angle D$

또한 $\triangle ABD$가 이등변삼각형이므로 $\angle BAD \equiv \angle BDA$

그런데 반직선 AD와 선분 BC의 교점이 없으므로 ($\because$ 반직선 AD와 직선 BC의 교점이 D이고 이는 선분 BC의 밖) 반직선 AD는 $\angle BAC$의 밖에 있고, 정의 2.6.3에 의해

$\angle BAC < \angle BAD$

 

따라서 정리하면

$\angle BAC < \angle BAD \equiv \angle BDA < \angle ACB $.

 

(ii) 이제 역으로 $\angle C > \angle A$ 가 성립하면 $ AB > BC $도 성립함을 보이고자 한다.

귀류법을 사용하기 위해 명제의 결론을 부정하자. 그렇다면 $ AB \equiv BC $ 이거나 $ AB < BC $이고 만약 둘이 합동이라면 이등변삼각형의 성질에 의해 $\angle C \equiv \angle A$이고 삼분법에 의해 이는 전제와 모순된다. 만약 $ AB < BC$이라면 (i) 에 의해 $ \angle C < \angle A$이고 마찬가지로 삼분법에 의해 이는 전제와 모순된다.

$\square$

 

이로써 정리 2.6.1 (이등변삼각형의 두 내각은 합동)의 역이 성립한다:

 

정리 2.6.16 두 각이 합동인 삼각형은 이등변삼각형이다.

(증명은 2.6.15로부터 바로 도출됨.)

 

 

정리 2.6.14와 SAS 합동정리로부터 다음의 확장된 SAS 합동정리가 얻어진다:

 

 

정리 2.6.17 두 삼각형 $\triangle ABC, \triangle A'B'C'$에 대하여 $AB\equiv A'B', \angle A \equiv \angle A', \angle C \equiv \angle C'$이면 $\triangle ABC \equiv \triangle A'B'C'$이다.

증명전략. 이미 삼각형의 ASA 합동정리는 보였으므로, 각 B와 각 B'이 합동임을 보이면 그만이다. 이를 위해 정리 2.6.14를 사용하자.

증명. 귀류법을 사용하여 각 B와 각 B'이 합동이 아니라 하자. 각의 삼분법에 의하여 $\angle B > \angle B'$이거나 $\angle B' > \angle B$인데, 일반성을 잃지 않고 전자가 성립한다 가정하자. 이제 점 B에서 방사하며 점 C가 있는 반평면쪽으로 방사하는 반직선 l을 잡아, 반직선 l과 반직선 BA에 의해 만들어지는 각이 각 B'과 합동이 되도록 할 수 있다.

또한 반직선 l은 선분 AC와 교점을 가지는데 이 교점을 C"이라 하자.

$\triangle ABC" \equiv \triangle A'B'C'$이다 (ASA 합동)

따라서 $\angle AC"B \equiv \angle A'C'B' \equiv \angle ACB$인데, 이는 삼각형의 외각 정리 (2.6.14)에 모순된다. $\square$

 

 

정리 2.6.18 모든 선분은 2등분될 수 있다.

증명. 공리 1.3에 의하여 직선 AB 위에 있지 않은 한 점 C가 있다.

이제 다음이 성립하도록 점 D를 잡는다:

(i) $\angle CAB \equiv \angle ABD $

(ii) $AC \equiv BD$

(iii) 점 C와 점 D는 직선 AB에 의해 나누어지는 두 반평면의 반대편에 있다.

 

C와 D는 반대편 반평면에 있으므로 선분 CD와 직선 AB는 교점을 가진다. 이 점을 E라 하자.

이제 점 E가 선분 AB 위에 있음을 보이고자 한다:

 

귀류법을 사용한다. 명제의 결론을 부정하면, AEB가 아니므로 ABE이거나 BAE인데, 일반성을 잃지 않고 전자라 가정하자.

이제 $  \angle CAE \equiv \angle AED > \angle AED > \angle CAE $가 성립하는데 이는 삼분법에 의해 모순이다.

 

따라서 AEB가 성립한다.

이제 $\triangle ACE \equiv \triangle BDE$임을 보이는 것은 정리 2.6.17 의해 성립한다.

 

 

여기까지는 선분, 각의 합동 공리로부터 삼각형의 합동에 대해 살펴보았다. 이제 합동을 임의의 도형으로 확장한다.

 

 

정의 2.6.6 $A_1 , A_2 , ..., A_n $과 $ B_1, B_2 ,..., B_n$은 각각 평면 $\pi, \pi'$에 배열된 점으로써 임의의 서로 대응되는 선분들이 합동이라 하면, 이 배열된 점들은 서로 합동이라 한다.

또한 합동으로 배열된 이 점들의 각각의 점들 $A_i ,B_i $를 서로 대응되는 점이라 한다.

 

 

정의 2.6.7 유한 개의 점들의 집합을 도형이라 하고, 한 도형의 점들이 한 평면에 있을때 평면도형이라 한다.

두 도형의 대응되는 점들이 쌍으로 순서가 주어지고 대응되는 모든 선분들과 각들이 서로 합동일 때 이 두 도형이 합동이라 한다.

 

 

 

평면과 공간에 대한 일반적인 합동정리들은 다음과 같다(증명은 생략):

 

정리 2.6.20 평면 $\pi $ 상의 도형 (A,B,C,...,L)과 평면 $\pi'$ 상의 도형 (A',B',...,L')은 합동인 평면 도형들이라 하자. P가 $\pi$ 상의 한 점이라면 $\pi'$ 상에서도 (A,B,C,...,L,P)와 (A',...,L',P')가 합동이 되도록 한 점 P'를 찾을 수 있다. 특히 도형이 일직선상에 있지 않은 적어도 세 개의 점이 있다면 P'의 선택은 유일하다.

 

정리 2.6.21 (A,B,C,...,L)과 (A',B',...,L')은 합동인 도형들이고 P가 한 점이라면 한 점 P'을 찾아서 (A,B,...,L,P)와 (A',B',...,L',P')가 합동이 되도록 할 수 있다. 특히 도형이 한 평면에 있지 않은 네 점을 가지고 있다면 P'의 선택은 유일하다.

 

사실 증명하라 하면 잘 못할 것 같다. 삼각형으로 도형을 쪼개는 작업이 들어갈 것 같다는 느낌만 든다. 그냥 그렇구나...합동에 관한 일반적 상식이 평행선 공리 없이도 성립하는구나... 하고 넘어갔다.

 

 

다음 포스팅에서는 드디어 유명한 평행선 공리로 들어간다. 이 공리는 매우 강력해서, 갑자기 전통적인 유클리드 기하학으로 분위기가 확 전환될 것으로 예상한다. 평행선 공리를 이용하여 삼각형 내각 합의 크기, '원'의 존재성, 유일성 등을 증명할 것이다.