1. 미분방정식의 소개 및 분류

* 2022.09.05 수업의 복습입니다. *

 

현재로서는 1) 시장설계의 이론 및 응용 과목을 제외한 네 과목을 모두 복습하고 2) 복습을 수업한 날 하는 것을 원칙으로 하였습니다. 얼마나 잘 지켜질지는 모르겠다만...

 

 

1. 미분방정식의 소개

독립변수 $x_{1}, ..., x_{n}$을 입력값으로 가지는 함수 $y_{1}, ... , y_{m}$이 있다고 하자.

이제 $y_{i}$와 $y_{i}$들의 (편)미분계수들을 포함하는 방정식을 미분방정식이라 한다.

 

특히 독립변수가 $t$ 하나이고 함수 또한 $y = y(t)$ 하나뿐일 때, 미분방정식을 다음과 같이 일반적인 형태로 나타낼 수 있다:

$$ \mathcal{F} (t, y, y^{(1)}, y^{(2)}, ... , y^{(k)}) = 0$$

 

 

이러한 미분방정식을 특별히 상미분방정식이라 하고, 둘 이상의 독립변수를 가지는 함수와 그 함수들의 편미분계수를 다루는 편미분방정식과 구별되어 이 수업에서 중점적으로 다룰 것이다.

 

 

미분방정식을 통해서 여러 자연 현상을 모형화할 수 있으며, 미분방정식을 풀 수 있다면 (모형화한) 자연현상을 예측하고 설명할 수 있을 것이다. 허나 대다수의 미분방정식은 손으로 풀 수 없고 수치적인 기법을 사용해야 한다.

 

 

$k$차 상미분방정식 $\mathcal{L}(t,y) = 0$에 대해서 $k$번 미분가능한 함수 $y = y(t)$가 미분방정식의 해라는 것은 단순히 방정식에 $y(t), y^{(1)}, ... , y^{(k)}$를 대입할 때 실제로 등식이 성립함을 의미한다.

 

 

2. 미분방정식의 분류 및 예시

앞서 미분방정식을 분류하는 한 가지 방법을 살펴보았고, 그것은 방정식에 등장하는 독립변수의 개수라는 사실임을 알았다. 특히 우리는 독립변수가 하나인 상미분방정식만을 다룰 것임을 선언하였다.

 

이제 상미분방정식들을 세분화하는 두 가지 기준을 살펴본다. 이후 미분방정식에 대해 더 배워나가면서 기준들이 점점 늘어갈 것이다.

 

1) 차수

상미분방정식 $\mathcal{F}(t, y, y^{(1)}, ... , y^{(k)}=0$가 주어지면, 여기에 나오는 최고차 미분계수는 $k$차이다. 이러한 미분방정식을 일반적으로 k차 미분방정식이라 부른다.

 

2) 선형 vs 비선형 (linear vs nonlinear)

상미분방정식 $\mathcal{F}(t, y, y^{(1)}, ... , y^{(k)} = 0$이 주어졌다 하자. 이제 $\mathcal{L}(t,y) := \mathcal{F}(t,y,y^{(1)}, ... , y^{(k)})$라 두자.

만약 미분연산자 $\mathcal{L}$가 둘째항에 대해 선형성을 만족하면 이 미분방정식을 선형이라 한다. 즉,

$$ \mathcal{L}(t, a_{1}y_{1} + a_{2}y_{2}) = a_{1} \mathcal{L}(t, y_{1}) + a_{2} \mathcal{L}(t, y_{2})$$

가 성립하는 미분방정식은 선형이다.

선형이지 않은 미분방정식은 비선형 미분방정식이라 한다.

 

 

3) 동차 vs 비동차 (homogenous vs inhomogenous)

#주석. 교수님께서 사용하신 슬라이드에서 나온 내용이 잘 이해되지 않아서 메일을 보내본 상태이다. 답변이 온다면 이 부분은 업데이트 할 생각이다. 현재로써는 mathstackexchange에 나온 답변을 바탕으로 서술하겠다. 

 

 

상미분방정식 $\mathcal{F}(t,y,y^{(1)}, ... , y^{(k)}= 0$이 주어졌다 하자. 이제 $y = y(t)$가 $\mathcal{F} = 0$의 해일 때 실수 $\lambda$에 대해 $\lambda y = \lambda * y(t)$ 역시 $\mathcal{F} = 0$의 해가 된다고 하면, 이 방정식을 동차 미분방정식이라 한다. 그렇지 않다면, 이 방정식을 비동차 미분방정식이라 한다.

 

 

특히 어떤 상미분방정식이 $k$차이고 선형이라면, 이런 미분방정식은 일반적으로 다음의 형태를 띤다:

$$ a_{k}(t)y^{(k)} + a_{k-1}(t)y^{(k-1)} + ... + a_{1}(t)y^{(1)} + a_{0}(t)y = g(t) $$

이제 $g(t) \equiv 0 $이면 이 미분방정식은 동차이고, $g(t) \not\equiv 0$이면 이 미분방정식은 비동차이다.

 

 

 

 

다음의 자연현상들을 미분방정식으로 모델링할 수 있다:

 

1) 자유낙하 중인 물체

뉴턴의 제 2 법칙 $F = ma$를 생각해 보자. 어떤 물체가 만유인력의 영향만을 받으면서 시간에 따라 낙하한다 하자. 시간에 따른 지표면으로부터 물체의 수직거리를 $y = y(t)$로 표현할 수 있고, 이 경우 물체에 적용하는 유일한 힘은 가정에 의해 $9.8 \frac{m}{s^{2}}$의 힘으로 작용하는 중력 $g$이다. 

따라서

$$ my^{''} = g$$

라는 미분방정식으로 시간에 따라 변화하는 이 물체의 위치를 표현할 수 있다.

 

이 (상/편)미분방정식은 (2차) (선형/ 비선형) (동차/비동차) 미분방정식이다.

 

 

2) 군체의 크기

2-1) Exponential growth model

시간에 따른 어떤 군체의 크기를 $P= P(t)$라 하자. 이제 인구집단의 증가율은 군체 크기의 어떤 상수 $\lambda$배라고 가정하자. 이 경우 시간에 따른 군체의 크기를 다음과 같은 미분방정식으로 나타낼 수 있다:

 

$$ P^{'} = \lambda P$$

 

이 (상/편)미분방정식은 (1차) (선형/ 비선형) (동차/비동차) 미분방정식이다.

 

2-2) Logistical growth model

이제 보다 현실적인 군체 크기의 모형화를 진행하고자 한다. 이전과 마찬가지로 군체의 번식률은 상수 $\lambda$로 모형화 한다. 허나 이제는 환경이 수용할 수 있는 최대 크기 $K$가 존재하여, 군체의 변화율이 다음과 같은 미분방정식으로 나타낼 수 있다:

 

$$ P^{'} = \lambda P(1-\frac{P}{K})$$

 

이 (상/편)미분방정식은 (1차) (선형/ 비선형) (동차/비동차) 미분방정식이다.

 

 

3) 줄에 매달린 진자

한 끝점이 고정된 줄에 매달려서 중력과 장력만의 영향을 받는 진자를 고려해 보자. 진자의 질량이 $m$, 중력가속도 상수가 $g$, 줄의 끝점과 진자(진자가 한 점이라고 가정한다)이 이루는 각을 라디안으로 $\theta$라 하자.

 

이제 마찰력을 무시한 진자의 운동은 다음의 미분방정식

 

$$ m \theta^{''} = -\frac{mg}{L} sin(\theta)$$

로 표현된다.

 

이 (상/편)미분방정식은 (2차) (선형/ 비선형) (동차/비동차) 미분방정식이다.

 

 

사실 이 외에도 여러 가지를 다루셨는데 (특히 SIR 모형이 인상 깊었다) 일단은 여기서 마무리짓고자 한다.

다음 복습에서는 1) Hadamard's well-posed problems, 2) Solving seperable first-order ODEs, 3) Solving by method of integrating factor (MIF), 4) Duhamel's principle for inhomogenous ODEs를 다룰 것이다.