07.26 해석적 함수를 이용하여 무한대에서의 해 구성하기

거창하게 써놨지만, 아이디어는 매우 간단하다:

t=0 에서의 해를 내가 알고 있을 때, 이를 t=h로 연장하는 방법이 없을까?

이 고민을 하게 된 이유는 곰곰히 생각해보니 "traveling waves connecting equilibria"가 정말로 성립하는지 즉시 답이 떠오르지 않아서였다.

 

 

아주 부분적인 결과의 절반에 그쳤지만 일단 기록하고자 한다.

 

 

 

정리 1.1. 다음의 IVP를 고려하자:

$$u_{tt} - \lambda^{2}u_{xx} + u_{x}+u_{t} = 0 \\ u(x,0) = f(x), u_{t}(x,0) = g(x)$$

 

다음이 성립한다 가정하자:

(i) $f,g$는 해석적이다.

(ii) $\exists M,A,B>0 \text{s.t.} x \in [M,+\infty), k \geq 0 \Rightarrow |f^{(k)}(x)|, |g^{(k)}(x)| \leq Ae^{-Bx}$

 

이제 $(x,t) \in [M,+\infty) \times [0, \frac{1}{2}]$에 대해 다음이 성립한다:

 

(i) $u(x,t), u_{t}(x,t)$는 x에 대해 해석적인 함수이다.

(ii) $\exists A' > 0, |\partial^{k}_{x} \partial^{j}_{t}u(x,t)| \leq (\lambda^{2}+2)^{j}A' e^{-Bx}$

 

특히, $t = \frac{1}{2}$를 대입하면, 새로운 초기조건을 넣은 IVP가 다시 조건들을 만족하므로, 원래 IVP의 해를 모든 양수 t에 대해 연장할 수 있다는 결론에 도달한다.

 

 

불완전한 증명.

우선 $u$가 $C^{\infty}$임을 보이자.

$\partial_{x}^{i}\partial_{t}^{j}u(x,0)$를 순서쌍 $(i,j)$로 표기하자.

이제 위에서 가정한 편미분방정식

$$u_{tt} = \lambda^{2}u_{xx} - u_{x} - u_{t}$$에 의해,

$$(i,j) = \lambda^{2}(i+2,j-2) - (i+1,j-2) - (i,j-1)...(*)$$이 성립한다. 이제 j에 대해 귀납적으로 정의를 하면, $u$의 모든 편미분계수가 존재하고 연속임을 알 수 있다.

 

이제 u가 해석적임을 보여야 하는데, 이 부분은 아직 완성을 못했다. 아마도 f+ig가 복소평면 위 어떤 띠에서 복소해석적인 함수라고 가정하면 증명할 수 있을 것 같다.

일단은 u가 해석적이고, 게다가 더 강력한 성질이 성립한다 가정하자:

$$\exists h>0 \text{s.t.} \forall x \in [M,+\infty), u(x,h) = \Sigma_{k=0}^{\infty} \frac{\partial_{t}^{k}u(x,0)}{k!}h^{k}$$

 

 

 

보조정리 1.2.

$|(i,j)| \leq (\lambda^{2}+2)^{j}(Ae^{-Bx})$

 

증명.

j=0, j=1에 대해서는 가정 (ii)에 의해 성립한다. 특히, $(\lambda^{2}+2) > 1$임에 주목하라.

 

Inductive step의 경우,

$$|(i,j)| \leq \lambda^{2} |(i+2,j-2)| + |(i+1,j-2)| + |(i,j-1)| \leq (\lambda^{2}+2) (\lambda^{2}+2)^{j-1} Ae^{-Bx}$$

에 의해 성립한다. $\square$

 

 

이제 $|u(x,h)|$의 편미분계수들에 상한을 주자.

$$|\partial_{t}^{i}\partial_{x}^{j}u(x,h)| \leq \Sigma_{k=0}^{\infty} |\frac{(j,i+k)}{k!}||h|^{k} \\ = (\lambda^{2}+2)^{i} \Sigma_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda^{2}+2)^{k}|h|^{k}}{k!} Ae^{-Bx} = (\lambda^{2}+2)^{i} * e^{(\lambda^{2}+2)|h|}* Ae^{-Bx} \leq (\lambda^{2}+2)^{i} A' e^{-Bx}$$

 

이는 $x \geq M, h \in [0, \frac{1}{2}]$이면 항상 성립한다.

 

 

 

..근데 꼭 해석적인걸 증명해야 하나? 그냥 u를 저 멱급수로 정의해버리면 안되나?

-> 되는 것 같다. 내일 올려보도록 하겠다.