07.28 해석적 함수를 이용하여 무한대에서의 해 구성하기 3

오늘은 어제 한 내용을 컨볼루션이 들어간 Xin-Jin model

$$u_{tt} - \lambda^{2}u_{xx} + u_{x} + K * u_{t} = 0 \\ u(x,0) = f(x), u_{t}(x,0) = g(x)$$

으로 확장하겠다. 생각보다 확장이 어렵지 않았는데, 오히려 그래서 불길하다. (아이디어가 뭔가 문제 전체를 풀기에 부적합했나? 싶기도 하다)

 

 

우선, 커널에 가정을 하자. 컨볼루션은 공간변수 x에 진행되어,

$$[K*u](x,t) := \int_{-\infty}^{\infty} K(\tau) u(x-\tau ,t)d\tau$$

로 정의한다. 또한, 가장 단순한 상황을 위해 커널이 compact support (say, $[-M,M]$)를 지니고,

$$\int_{-\infty}^{\infty} |K(\tau)| d\tau = 1$$

이라 하자.

 

 

이전과 마찬가지로 편미분방정식을 일종의 점화식으로 바라보고, 수열을 구성하고자 한다.

이전과 달리, 우리는 정의할 때부터 공간변수 x를 명시할 것이다 (컨볼루션이 있기 때문)

 

$$(i,0)(x) := f^{(i)}(x), (i,1)(x):= g^{(i)}(x) \\ (i,j)(x) := \lambda^{2} (i+2,j-2)(x) - (i+1,j-2)(x) + \int_{-M}^{M} K(\tau) \cdot (i, j-1)(x-\tau) d\tau$$

 

 

이전과 마찬가지로 $M>>1$에 대해 양수 A,B가 있어 $|(i,0)(x)|, |(i,1)(x)| \leq Ae^{-Bx}$를 만족한다 하자.

이제 다음을 주장하고자 한다.

 

명제 1.2.

$x \geq M$에 대해

$$|(i,j)(x)| \leq ((\lambda^{2}+1+e^{MB})^{j}Ae^{-Bx}$$

가 성립한다.

 

증명.

j=0, 1일 때는 가정에 의해 성립한다.

귀납 단계에서는,

$$|(i,j)(x)| \leq \lambda^{2} |(i+2,j-2)(x)| + |(i+1,j-2)(x)| + \int_{-M}^{M} |K(\tau)| |(i,j-1)(x-\tau)| d\tau \\ \leq \lambda^{2} (\lambda^{2}+1+e^{MB})^{j-1}Ae^{-Bx} + (\lambda^{2}+1+e^{MB})^{j}Ae^{-Bx} + |(i,j-1)(x-M)| \int_{-M}^{M} |K(\tau)|d\tau \\ \leq \lambda^{2} (\lambda^{2}+1+e^{MB})^{j-1}Ae^{-Bx} +(\lambda^{2}+1+e^{MB})^{j-1}Ae^{-Bx} + e^{MB} (\lambda^{2}+1e^{MB})^{j-1}Ae^{-Bx} = (\lambda^{2}+1+e^{MB})^{j}Ae^{-Bx} \square$$ 

에 의해 성립한다.

 

 

이러면 이전의 단계들을 모두 그대로 거칠 수 있다. 다만 수렴반경이 $\frac{1}{\lambda^{2}+1+e^{MB}}$로 줄어들고, 주어진 x에 대해 u의 상한이 증가하는 속도가 $e^{(\lambda^{2}+2)t}$에서 $e^{(\lambda^{2}+1+e^{MB})t}$로 증가한다는 단점이 있겠다.