7.31 탄젠트 함수를 이용한 급수

Cartesian 평면의 원점 (0,0)을 지나는 두 직선 $y = mx, y = m'x$가 이루는 각을 $\alpha$라 할 때,

$$ \tan \alpha = \pm \frac{m'-m}{1+mm'} $$

임을 안다 (이 증명은 닮은 삼각형을 이용하면 귀찮은 계산 끝에 얻을 수 있다.)  특히 부호는 각이 예각이면 +, 둔각이면 -를 택한다.

 

 

이제 $m, m' \in \mathbb{N}, m' = m+1$를 만족할 때 이 두 직선들이 이루는 각은 항상 예각임을 알고, 따라서 + 부호를 택할 수 있다는 사실을 안다.

 

이제 $y = nx, n \in \mathbb{N}$를 모두 그린다 생각하면, $y = nx, y= (n+1)x$가 이루는 각 $\alpha_{n}$ 의 탄젠트 값은

 

$$ \tan \alpha_{n} = \frac{1}{1+n(n+1)} = \frac{1}{n^{2}+ n + 1}$$

 

한편 $\alpha_{n}$이 예각임을 알기 때문에, $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$를 치역으로 가지는 $\arctan$ 함수를 양변에 적용할 수 있고

 

$$ \alpha_{n} = \arctan (\frac{1}{n^{2}+ n + 1})$$

 

 

그런데 $\Sigma_{i=0}^{n} \alpha_{n}$는 x축 $y = 0$ 과 직선 $y = nx$가 이루는 각의 크기이므로,

$$ \Sigma_{n=0}^{\infty} \arctan(\frac{1}{n^{2} + n + 1}) $$ 은 (극한에 가서는) x축과 y축이 이루는 각의 크기이며, 이는 $\frac{\pi}{2}$임을 안다.

 

오늘의 등식:

$$ \Sigma_{n=0}^{\infty} \arctan(\frac{1}{n^{2} + n + 1}) = \frac{\pi}{2} $$