8.6 (증명) 소수의 제곱근의 유한한 합은 항상 무리수이다.

이 문제를 가장 먼저 접했던 것은 <대수, 기초해석, 조합의 탐구문제들 (상)>에서였고 이번에 다시 한번 증명하고 정리해야겠다고 생각했다.

안타깝게도 필자의 능력이 부족하여 이것이 한나절을 잡아먹는 바람에 오늘 연재글을 올릴 수 있을지가 미지수가 되었다...

 

이 결과를 조금만 다듬으면 소수의 제곱근들의 모든 유리수체에 대한 선형결합이 무리수임을 보일 수 있다.

 

정리.

$p_1, p_2, ... , p_n$은 서로 다른 소수라고 하자.

이제 $\Sigma_{i=1}^{n} \sqrt{p_k}$은 모든 자연수 $n$에 대해 무리수이다.

 

증명.

증명에 앞서 다음의 다항식들을 정의한다.

$p_1, ... p_n$이 주어져 있을 때

 

$$ P_{n}(x) := \Pi (x \pm \sqrt{p_1} \pm \sqrt{p_2} \pm ... \pm \sqrt{p_n}) \\ Q_{n}(x) := \Pi (x + \sqrt{p_1} \pm \sqrt{p_2} \pm ... \pm \sqrt{p_n})$$

으로 정의한다.

 

예컨대 $p_1 = 2, p_2 = 3$이라 하면

 

$$ P_{2}(x) = (x + \sqrt{2} + \sqrt{3})(x - \sqrt{2} + \sqrt{3})(x + \sqrt{2} - \sqrt{3})(x - \sqrt{2} - \sqrt{3}) \\ Q_{2}(x) = (x + \sqrt{2} + \sqrt{3})(x + \sqrt{2} - \sqrt{3}) $$

으로 주어진다.

 

여기서 앞의 $\Pi$는 가능한 모든 $+,-$의 배열에 대해서 주어지는 항들을 곱한다는 것이다.

 

 

 

 

이제 다음의 보조정리를 증명하고자 한다.

 

보조정리.

$p_1, p_2, ..., p_n, n \geq 2$가 서로 다른 소수로 주어져 있다고 하자.

이제 유리수 계수 다항식 $R_{n}(x), S_{n}(x) \in \mathbb{Q} [x]$가 존재하여,

$$(i) Q_{n}(x) = R_{n}(x^{2}) + S_{n}(x^{2})x \sqrt{p_{1}} \\ (ii) P_{n}(x) = R_{n}^{2}(x^{2}) - S_{n}^{2}(x^{2})x^{2} p_{1} $$ 가 성립한다.

 

 

증명.

귀납법에 의하여 증명한다.

우선 Base case로 $n=2$를 고려한다.

 

Proof of (i) (base case)

$$ Q_{2}(x) = (x + \sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}})(x + \sqrt{p_{1}} - \sqrt{p_{2}}) \\ = (x^{2} + p_{1} - p_{2}) - 2x \sqrt{p_{1}} $$이다. 따라서 $R_{2}(x) = x + (p_{1} - p_{2}), S_{2}(x) = 2$ 가 유리수 계수 다항식으로 존재한다.

 

Proof of (ii) (base case)

 

$$ Q_{2}(-x) = (-x + \sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}})(-x + \sqrt{p_{1}} - \sqrt{p_{2}}) \\ = (x - \sqrt{p_{1}} - \sqrt{p_{2}})(x - \sqrt{p_{1}} + \sqrt{p_{2}}) $$

 

임에 주목하라. Base case of (i)에 의해 $Q_{2}(-x) = R_{2}(x^{2}) - S_{2}(x^{2}) x \sqrt{p_{1}}$이고, $P_{2}$의 정의에 의해 $P_{2}(x) = Q_{2}(x)Q_{2}(-x)$이므로

 

$$P_{2}(x) = (R_{2}(x^{2}) + S_{2}(x^{2}) x \sqrt{p_{1}})(R_{2}(x^{2}) - S_{2}(x^{2}) x \sqrt{p_{1}}) \\ = R_{2}^{2}(x^{2}) - S_{2}^{2}(x^{2}) p_{1} x^{2} $$이다.

 

  

Proof of (i) (inductive case)

$n = k$에 대해 증명이 완료되었다고 가정한다. 이제 $n=k+1$에 대해 증명을 진행하고자 한다.

 

$$Q_{k+1} (x) = \Pi (x+\sqrt{p_{1}} \pm ... \pm \sqrt{p_{k+1}}) = \Pi ((x+\sqrt{p_{1}} \pm \sqrt{p_{2}} \pm ... \pm \sqrt{p_{k+1}}) $$이고, 이제 $$ x' := x+\sqrt{p_{1}}$$라 두면 $n=k$의 (ii)가 다루는 경우에 해당되어 $x'$에 대해서 어떤 유리계수 다항식들을 $R_{n}, S_{n}$을 만들어낼 수 있어 다음이 성립한다:

 

$$Q_{k+1}(x) = R_{k}^{2} ((x+\sqrt{p_{1}})^{2}) - S_{k}^{2} ((x+\sqrt{p_{1}})^{2})(x+\sqrt{p_{1}})^{2} p_{1}$$

 

이제 $ R_{k}^{2} (x^{2}) = \Sigma_{i=0}^{N} a_{i} x^{2i} $라 하면 이항정리와 동류항 연산을 통해 유리수 계수 다항식 $U,V$가 존재하여

$$R_{k}^{2} ((x+\sqrt{p_{1}})^{2}) = U(x^{2}) + V(x^{2})x \sqrt{p_{1}}$$

가 성립함을 알 수 있다.

 

마찬가지 논리로 유리수 계수 다항식 $Y,Z$가 존재하여

 

$$S_{k}^{2} ((x+\sqrt{p_{1}})^{2}) = Y(x^{2}) + Z(x^{2})x \sqrt{p_{1}} $$가 성립한다.

 

따라서

 

$$S_{k}^{2} ((x+\sqrt{p_{1}})^{2})(x+\sqrt{p_{1}})^{2} p_{1} \\ = (x^{2} Y(x^{2}) + 2x^{2} p_{1} Z(x^{2})) + (2 Y(x^{2}) + p_{1} Z(x^{2}) \sqrt{p_{1}} $$

이고,

 

$$\exists R_{k+1}, S_{k+1} \in \mathbb{Q}[x], s.t. \\ Q_{k+1}(x) = R_{k}^{2} ((x+\sqrt{p_{1}})^{2}) - S_{k}^{2} ((x+\sqrt{p_{1}})^{2})(x+\sqrt{p_{1}})^{2} p_{1} = R_{k+1} (x^{2}) + S_{k+1}(x^{2}) x \sqrt{p_{1}} $$

 

임을 안다.

 

Proof of (ii) (Inductive case)

이 부분은 base case와 완전히 동일하다.

 

$$Q_{k+1} (-x) = R_{k+1}(x^{2}) - S_{k+1}(x^{2}) x \sqrt{p_{1}} \\ = \Pi (x - \sqrt{p_{1}} \pm \sqrt{p_{2}} \pm ... \pm \sqrt{p_{k+1}})$$

 

이므로

 

$$P_{k+1} (x) = Q_{k+1} (x) Q_{k+1}(-x) = R_{k+1}^{2}(x^{2}) - S_{k+1}^{2} (x^{2}) x^{2} p_{1} $$

이다. $\square$

 

 

다시 본 정리의 증명으로 돌아간다.

 

귀류법을 사용하여 $p_1, ... ,p_n$이 서로 다른 소수이며 $\Sigma_{i=1}^{n} \sqrt{p_{i}} \in \mathbb{Q}$라 하자.

보조정리를 사용하여,

 

$$ Q_{n} (x) = \Pi (x + \sqrt{p_{1}} \pm \sqrt{p_{2}} \pm ... \pm \sqrt{p_{n}}) \\ = R_{n}(x^{2}) + S_{n}(x^{2}) x \sqrt{p_{1}}$$

이 되는 $R_{n}, S_{n} \in \mathbb{Q}[x]$를 잡는다.

 

이제 $q := \Sigma_{i=1}^{n} \sqrt{p_{i}}$라 하자.

그러면

 

$$ Q_{n} (-q) = 0 \\ = R_{n}(q^{2}) - S_{n}(q^{2}) q \sqrt{p_{1}} $$임을 안다.

그런데 $q \in \mathbb{Q}$이므로 $R_{n}(q^{2}), S_{n}(q^{2}) \in \mathbb{Q}$이라는 사실도 안다.

따라서 ($\sqrt{p_{1}} \notin \mathbb{Q}$를 이용하면) $R_{n}(q^{2}) = 0, S_{n}(q^{2}) = 0$을 도출할 수 있다.

 

이제 마지막으로

$$Q_{n} (q) = R_{n}(q^{2}) + S_{n}(q^{2}) q \sqrt{p_{1}}$$라는 식을 살펴본다.

 

앞서 정의에 의해 이 값은 0이어야 한다.

그런데

$$Q_{n} (q) = \Pi (q + \sqrt{p_{1}} \pm ... \pm \sqrt{p_{n}}) \\ = \Pi (2 \sqrt{p_{1}} + (1 \pm 1) \sqrt{p_{2}} + (1 \pm 1) \sqrt{p_{3}} + ... + (1 \pm 1) \sqrt{p_{n}}) \\ = 0$$

이므로, 어떤 +와 -의 배열이 존재해서 그 배열이 정의하는 항 $(2 \sqrt{p_{1}} + \Sigma_{i \geq 2} (1 \pm 1) \sqrt{p_{i}})$은 0이어야 한다.

그런데 ㄱ모든 항이 $2 \sqrt{p_{1}}$보다 작지 않은 양수이므로 이는 모순이다. $\square$

 

 

#주석.

이 증명을 일반적인 자연수로 확장할 수 없는 이유가 무엇인가?

=> 우리가 증명의 거의 막바지에서 $\sqrt{p_{1}}$가 자연수가 아니라는 사실을 이용했기 때문이다. 즉, 소수 제곱근의 유리수 선형결합에 대해서 이 증명을 바로 적용할 수 있다.

 

#주석2.

우리는 소수 $p$에 대해서 $\sqrt{p}$가 무리수임은 가정하였다.

이는 고등학교 수학 시간에서 $\sqrt{2}$가 무리수라는 증명을 그대로 본따면 되므로 별도로 증명하지는 않겠다.