선형대수학 1 복습 (Part 2)

* 2022.09.06, 2022.09.11 수업의 복습입니다.*


4. 행렬식
체 $\mathbb{F}$의 원소들을 성분으로 가지는 행렬 $A$의 행렬식은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다:

i) $A = \begin{bmatrix} a \end{bmatrix}$인 경우, $det(A) := a$
ii) $\tilde{A}_{ij}$는 $i$행, $j$열을 삭제한 $(n-1) \times (n-1)$행렬이라 하자.
이제 $A \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{F})$인 경우, $det(A) := \Sigma_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} det(\tilde{A}_{1j})$이다.
이를 1행에 대한 cofactor expansion (여인수전개) 또는 Laplace expansion이라 한다.


행렬식에 대한 다음의 성질들은 모두 증명할 수 있다:
i) $det(A) = \Sigma_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} det(\tilde{A}_{ij}) = \Sigma_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} det(\tilde{A}_{ij})$
ii) $det(A) \neq 0 \Leftrightarrow A$는 가역
iii) $det(AB) = det(A)det(B)$

특히 ii)의 경우, 다음과 같이 adjoint matrix를 정의할 수 있다:

$$A \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{F}); (adj(A))_{ij} = (-1)^{i+j} det(\tilde{A}_{ji})$$

이러면 다음이 성립한다:

$$A(adj(A)) = det(A)I_{n}$$

여기서 $I_{n}$은 대각성분만 1이고 나머지 성분은 모두 0인 크기 $n$의 항등행렬이다.
이제 가역행렬의 정의에 의해 $det(A) \neq 0$이면 $A$가 가역이다. 한편 iii)에 의해 $det(A) = 0$이면 $A$가 비가역임을 안다.


5. Eigen everything
1) 각종 정의
공역과 정의역이 같은 선형변환 $T: (V,\mathbb{F}) \rightarrow (V, \mathbb{F})$가 주어졌다 하자. 어떤 0이 아닌 벡터 $v \in V$가 주어지고 어떤 체의 원소 $\lambda \in \mathbb{F}$에 대해,
$$ T(v) = \lambda v$$가 성립한다 하자.
이제 $v$는 $T$의 고유벡터, $\lambda$는 $T$의 고윳값이다.

한편 $T$의 고윳값 $\lambda$에 대해, $E(\lambda) := \{v \in V | T(v) = \lambda v \}$를 $\lambda$에 대응하는 고유공간이라 한다. 이것이 $V$의 부분공간임을 보이는 것은 자명하다.

정사각행렬 $A \in \mathcal{M}_{n \times n}$에 대해 $v \in \mathbb{F}^{n}$이 고윳값 $\lambda$에 대응되는 고유벡터라는 것은, 선형변환 $v$가 선형변환 $L_{A} : \mathbb{F}^{n} \rightarrow \mathbb{F}^{n}$의 ($\lambda$에 대응되는) 고유벡터임을 의미한다.

한편 $T \in \mathcal{L}(V)$에 대해 $\lambda$가 $T$의 고윳값이라면, $(T-\lambda I_{V}) \in \mathcal{L}(V)$라는 새로운 선형변환을 고려할 때 이것이 0이 아닌 kernel을 가짐을 알고, 따라서 $(T- \lambda I_{V})$는 비가역이다. (여기서 선형변환이 비가역이라는 말은 곧대로 받아들여도 되고, 동치명제로 $V$의 임의의 순서가 있는 기저 $\beta$에 대해서 $[T-\lambda I_{V}]_{\beta}$가 비가역이라는 말로 받아들여도 상관없다. 물론 상관없다는 증명은 해야 한다.)


이것과 관련하여 선형변환과 관련된 특성다항식을 정의할 수 있다:
$$P(t) := det(T - tI)$$ (여기서 "선형변환의 행렬식"은 임의의 순서가 있는 기저 $\beta$ 잡은 후 표현한 행렬의 행렬식이다)
는 $T$의 특성 다항식이며, $V$의 차원인 $n$차 다항식임을 알 수 있다. $P$의 근들이 곧 $T$의 고윳값들이다.


2) 선형변환의 대각화
이제 $T: V \rightarrow V$일 때, $V$의 순서가 있는 기저 $\beta = \{v_{1}, ... , v_{n} \}$을 잡아서 $T(v_{j}) = \lambda_{j} v_{j}$가 존재하는 기저와 체의 원소 $\lambda_{j}$들이 있는지 알고 싶다.

대각화 가능성에 관한 다음의 조건들은 모두 동치이다:
i) $T$는 대각화 가능하다.
ii) $\lambda_{1}, ... , \lambda_{k}$는 $T$의 특성다항식 $P$의 서로 다른 근들이라 하자 (따라서 $T$의 서로 다른 고윳값들이다; 이 외에 다른 고윳값들은 존재할 수 없음은 자명하다). 이제 고유공간 $E(\lambda_{i})$의 차원은 $P$에 $\lambda_{i}$의 대수적 중복도와 같다. (예컨대 $P(t) = (t -1)^{2}t$이면 1의 중복도는 2, 2의 중복도는 0이다.)
iii) $$V = E(\lambda_{1}) \oplus E(\lambda_{2}) \oplus ... \oplus E(\lambda_{k})$$
iv) 순서가 있는 기저 $\beta$가 존재하여 $[T]_{\beta}$가 대각행렬이다.

또한 $T$가 대각화 가능하면 특성다항식 $P$가 $\mathbb{F}$ 위에서 모두 일차식들로 분해되어야 한다. 허나 이것의 역은 성립하지 않는다.


3) 행렬의 대각화
정사각행렬 $A \in \mathcal{M}_{n \times n}(\mathbb{F})$가 대각화 가능하다는 것은, $L_{A} : \mathbb{F}^{n} \rightarrow \mathbb{F}^{n}$이 대각화가능함을 의미한다. 이는 다시 $[L_{A}]_{\beta} = D$가 대각행렬임을 의미한다.
그런데 $\beta'$을 표준 기저라고 하면, $[L_{A}]_{\beta'} = [I_{\mathbb{F}^{n}}]_{\beta}^{\beta'} [L_{A}]_{\beta} [I_{\mathbb{F}{n}}]_{\beta'}^{\beta}$이므로, $A = P^{-1} D P$인 대각행렬 $D$와 가역행렬 $P$가 존재한다.


한편 측도이론에 따르면 임의로 한 정사각행렬을 고를 때 그것이 대각화가능할 확률은 1이라고 한다. (잘 이해는 안 간다...수학과 4학년 때 배운다고 하니 안 배우고 졸업할지도.)

 

6. 내적공간

1) 내적공간의 정의

내적공간은 "각"을 일반화한 개념이다. 통상적인 $\mathbb{R}^{n}$ 벡터공간에서는 벡터가 원점을 시작점으로 가지는 화살표로 나타내지므로, 화살표 사이의 각 또한 잘 잴 수 있다. 내적공간은 이를 일반화한 개념인데, 첫 인상은 그렇지 않다는 것이 특기할 만한 점이다.

 

$(V, \mathbb{F})$가 벡터공간이라 하자. 여기서 $\mathbb{F} = \mathbb{R} \space or \space \mathbb{F} = \mathbb{C}$이다.

 

이제 다음을 만족하는 함수 $\bullet: V \times V \to \mathbb{F}$가 존재한다 하자:

1) $x,y \in V, c\in \mathbb{F} \Rightarrow (cx\bullet y) = c(x \bullet y)$

2) $x,y,z \in V \Rightarrow ((x+z)\bullet y) = (x \bullet y) + (z \bullet y)$

3) $x,y \in V \Rightarrow (x \bullet y) = \overline{(y \bullet x)}$

4) $x \in V \Rightarrow (x \bullet x) \geq 0$

5) $x \in V, (x \bullet x) = 0 \Rightarrow x = 0$

 

 

이제 $(V, \bullet)$을 내적공간 (inner product space)라 부른다.

 

 

2) 내적공간과 노름공간

우리는 노름공간이 거리공간을 유도한다는 사실을 안다. 이제 이와 유사하게, 내적공간이 노름공간을 유도함을 살펴볼 것이다.

 

어떤 벡터공간 $(V, \mathbb{F})$가 노름공간이 되기 위해서는 다음을 만족하는 함수 $||.||: V \to \mathbb{F}$가 존재해야 한다:

 

1) $x \in V \Rightarrow ||x|| \geq 0, ||x|| = 0 \Leftrightarrow x=0$

2) $x \in V, \lambda \in \mathbb{F} \Rightarrow ||\lambda x|| = |\lambda| ||x||$

3) $x,y \in V \Rightarrow ||x+y|| \leq ||x|| + ||y||$

 

 

주장. (내적은 노름을 유도)

$(V, \bullet)$가 내적공간이라 하자. 이제 다음의 방식으로 "노름"을 정의하자 (아직 노름임을 보이지 않았으므로 "노름"이라 쓴다):

$$||x|| = \sqrt{(x \bullet x)}$$

이제 $(V, ||.||)$는 노름공간이다.

 

증명.

성질 1). 내적공간의 성질 4), 5)에 의해 바로 증명된다.

성질 2). $||\lambda x|| = \sqrt{(\lambda x \bullet \lambda x)} = \sqrt{\lambda \bar{\lambda} (x \bullet x)} = \sqrt{|\lambda|^{2} (x \bullet x)} = |\lambda| \sqrt{(x \bullet x)}$

성질 3). 우선 우리가 정의한 "노름"과 내적의 관계를 표현하는 코시-슈바르츠 부등식을 증명해야 한다:

 

보조정리. (코시-슈바르츠 부등식)

$|(x \bullet y)| \leq ||x|| ||y||$

 

보조정리의 증명.

$y = 0$이면 보조정리가 명백히 성립하므로 $y \neq 0$이라 가정하자.

$x - \lambda y$는 모든 $\lambda \in \mathbb{F}$에 대해 $V$의 원소이다. 이때 특히 $\lambda = \frac{(x \bullet y)}{(y \bullet y)}$로 두자.

 

이제 "노름"이 성질 1을 만족하므로

$$ ||x - \lambda y||^{2} = ((x- \lambda y) \bullet (x - \lambda y)) \geq 0$$

따라서

 

$$ (x \bullet x) - 2 \lambda (y \bullet x) + |\lambda|^{2} (y \bullet y) \geq 0$$

이고, $\lambda$를 대입하여 정리하면

 

$$ (x \bullet x) \geq \frac{|x \bullet y|^{2}}{(y \bullet y)}$$

이다. 부등식의 양변에 양수인 $(y \bullet y)$를 곱하면 원하는 결론을 얻는다.

 

이제 다시 성질 3)의 증명으로 돌아온다.

$$ ||x+y||^{2} = ((x+y) \bullet (x+y)) \\ = (x \bullet x) + 2 Re (y \bullet x) + (y \bullet y) \\ \leq (x \bullet x) + 2 |(y \bullet x)| + (y \bullet y) \\ \leq ||x||^{2} + 2||x||||y|| + ||y||^{2} = (||x||+||y||)^{2}$$

이다. 특히, 둘째 부등식에서 코시-슈바르츠 정리를 사용하였음에 유의하라.

 

이제 노름은 항상 음이 아니므로 부등식의 양변에 제곱근을 씌우면 원하는 결과를 얻는다. $\square$

 

 

3) 내적의 예시와 Orthogonal everything

$\Gamma$가 임의의 집합이라 하자. 우리는 앞서 $\Gamma$의 양자화 $\mathbb{F}^{\Gamma}$가 벡터공간을 이룬다는 사실을 살펴보았다.

이제 $\Gamma$가 유한집합일 때 다음과 같이 $\mathbb{F}^{\Gamma}$ 위에서 내적을 정의할 수 있다:

$$x,y \in \mathbb{F}^{\Gamma}; x\bullet y := \Sigma_{i \in \Gamma} x(i)\overline{y(i)}$$

예컨대 $\Gamma = [n]$일 때, $x \bullet y = \Sigma_{i =1}^{n} x(i)\overline{y(i)}$로 통상적으로 가장 먼저 접하는 내적이 유도된다.

또 다른 예시로 $\Gamma = [m] \times [n]$일 때, $x \bullet y = \Sigma_{j=1}^{m} \Sigma_{i=1}^{n} x_{ij}\overline{y_{ij}} = tr(B^{*}A)$로, Frobenius inner product를 얻는다.

 

다른 예시로, $\mathcal{C}[0.2\pi]$는 폐구간 $[0, 2\pi]$에서 연속인 함수들의 집합이라 할 때,

$$f,g \in \mathcal{C}[0,2\pi]; f \bullet g = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(t)\overline{g(t)} dt$$ 역시 내적의 일종이다.

 

 

이제 내적이 정의되었으므로 직교의 개념 역시 정의될 수 있다.

 

 

정의. (Orthogonality)

$(V, \mathbb{F}, \bullet)$가 내적공간이라 하자. 이제 다음과 같이 정의를 내린다:

a. 벡터 $v \in V$가 벡터 $w \in W$와 직교한다 (v is orthogonal to w)는 것은 $v \bullet w = 0$임을 의미한다.

b.벡터 $v \in V$가 $W \subset V$와 직교한다 (v is orthogonal to W)는 것은 $w \in W \Rightarrow v \bullet w = 0$임을 의미한다.

c. $W \subset V$가 직교집합(W is an orthogonal set)이라는 것은 $v \neq w \in V \Rightarrow v \bullet w = 0$임을 의미한다.

d. $W \subset V$가 정규직교집합(W is an orthonormal set)이라는 것은 $W \subset V$가 직교집합이면서 $v \in W \Rightarrow v \bullet v = 1$임을 의미한다.

e. $W \subset V$의 직교여집합(orthogonal complement)는 $W^{\perp}$로 표시하고, $W$와 직교하는 모든 벡터들의 집합 $\{v \in V| w \in W \Rightarrow v\bullet w=0 \}$으로 정의한다.

 

 

4) ONB와 그람-슈미트 과정

유한차원 벡터공간 $(V, \mathbb{F})$가 있고 그 기저 $\beta = \{v_{1}, ... , v_{n} \}$가 주어질 때 우리는 $w \in V$를 기저들의 선형결합으로 유일하게 표현할 수 있음에 주목하라. 그런데 이것을 실제로 풀기 위해서는 다음의 연립방정식 체계를 풀어야 했다:

$$ a_{1} v_{1} + ... + a_{n} v_{n} = w$$

예컨대 $V = \mathbb{F}^{n}$이면 이는 $n$개의 식과 $n$개의 변수를 가진 선형 연립방정식 체계를 푸는 것과 동일하였다.

 

그런데 만약 $\beta$가 정규직교 기저라면 어떨까? 위에서 구한 등식의 양변을 $v_{1}$로 우측내적하자:

$$ (a_{1}v_{1} + ... + a_{n}v_{n}) \bullet v_{1} = w \bullet v_{1} \\ \Leftrightarrow a_{1} = w \bullet v_{1}$$

 

따라서 연립방정식 체계를 푸는 대신 내적을 계산하여 선형결합의 계수들을 구할 수 있게 된다. 이처럼 정규직교 기저를 찾는 것은 연산을 크게 단순화할 수 있다는 장점이 있다.

 

다행히도 Gram-Schmidt process는 유한차원 내적공간의 임의의 기저로부터 정규직교기저를 찾는 알고리즘을 준다. 핵심적인 아이디어는, 두 벡터 $v,w$가 있을 때 $v$ = ($w$에 평행한 부분) + ($w$에 수직인 부분)으로 표현된다는 것이다:

 

 

(Gram-Schmidt Process)

$(V,\mathbb{F}, \bullet)$가 유한차원 내적공간이고 $\beta = \{v_{1}, ... , v_{n} \}$는 $V$의 임의의 순서가 주어진 기저라 하자.

이제 다음의 방식으로 $u_{1}, ... , u_{n}$을 정의한다:

 

i) $u_{1} := \frac{v_{1}}{||v_{1}||}$

ii) $u_{2} := \frac{v_{2} - (v_{2} \bullet u_{1})u_{1}}{||v_{2} - (v_{2} \bullet u_{1})u_{1}||}$

iii) $u_{3} := \frac{v_{3} - (v_{3} \bullet u_{2})u_{2} - (v_{3} \bullet u_{1})u_{1}}{||...||}$

...

 

예컨대 $u_{i}$는 $\frac{v_{i} - a_{1}u_{1} - a_{2}u_{2} - ... - a_{i-1}u_{i-1}}{||...||}$의 형태를 띨 것인데, j번째로 빼는 항은 $u_{i}$와 $u_{j}$의 직교성을 보장하기 위함이고, 마지막에 나누는 항은 $||u_{i}|| = 1$을 보장하기 위함이다.

 

이러한 과정이 n번 반복되면 끝난다는 사실은 자명하고, 이 결과 나오는 집합 $\{u_{1},...,u_{n}\}$은 정규직교집합이므로 선형독립이고 따라서 $V$의 정규직교기저이다.

 

 

5) Adjoint operator과 특수한 선형변환

이제 내적의 정의를 바탕으로 $T \in \mathcal{V,W}$의 adjoint operator를 정의하도록 하겠다.

 

Adjoint operator을 정의하는 방법은 두 가지가 존재한다:

방법 1. 내적을 이용하여 정의

$(V, \mathbb{F}, \bullet)$가 내적공간이고 $T: V \to W$가 선형변환이라 하자.

이제 $T^{*}: W \to V$는 다음을 만족하는 선형변환이다:

 

$$ v \in V, w \in W \Rightarrow (Tv)\bullet w = v \bullet (T^{*}w)$$

 

두 질문들이 자연스럽게 떠오른다:

a. 이러한 $T^{*}$가 존재하는가? -> 존재한다.

b. 존재한다면, 유일한가? -> 유일하다.

 

a의 증명.

앞서 그람-슈미트 과정을 통해 임의의 유한차원 내적공간은 정규직교기저를 얻을 수 있음을 보았다.

따라서 $\beta = \{v_{1}, ... , v_{n}\}, \gamma = \{w_{1}, ..., w_{m} \}$이 각각 $V,W$의 정규직교기저라고 두어도 무방하다.

 

이제 $T \in \mathcal{L}(V,W)$를 순서가 있는 기저 $\beta, \gamma$에 대해 표현한 행렬 $[T]_{\beta}^{\gamma}$에 대해서, 행렬 $([T]_{\beta}^{\gamma})^{*} := \overline{[T]_{\beta}^{\gamma}}^{*}$를 고려해 보자. 첫 행렬을 편의상 $A$, 둘째 행렬을 편의상 $B$라 부르자.

 

 

--- 이 부분 수정해야 함 ---

다음을 주장하고자 한다:

$$ T^{*}(a_{1}v_{1} + ... + a_{n}v_{n}) = \Sigma_{i=1}^{n} (a_{1}A_{i1}+a_{2} A_{i2}+...+a_{n}A_{in})v_{i}$$

은 선형변환이며, 위에서 명시한 성질을 $V$의 모든 벡터에 대해 만족한다.

 

 

내적의 선형성에 의해 정규직교기저에 대해 이 성질이 만족한다는 것을 보이면 족하다.

$T^{*} \in \mathcal{L}(V)$이라는 사실은 명백하다. 또한 $v_{i} \bullet T^{*}v_{j} = v_{i} \bullet (\Sigma_{i=1}^{n} A_{ij}v_{j}) = \overline{A_{ij}}$이고,

 

$Tv_{i} \bullet v_{j} = (\Sigma_{k=1}^{n} B_{ki}v_{k}) \bullet v_{j} = B_{ji}$

이다.

 

그런데 $B_{ji} = \overline{A_{ij}}$이므로 $T^{*}$는 원하던 성질을 만족한다.

 

 

b의 증명.

$T^{*}, T^{**}$ 모두 위에서 명시한 성질을 만족한다 하자.

그렇다면

 

$$v,w\in V \Rightarrow (Tv \bullet w) = (v \bullet T^{*}w) = (v \bullet T^{**}w) \\ \Leftrightarrow \forall v,w \in V,(v \bullet (T^{*}-T^{**})w) = 0 \Rightarrow \forall w \in V, ((T^{*} - T^{**})w \bullet (T^{*} - T^{**})w)) = 0 \Rightarrow \forall w \in V, T^{*}w = T^{**}w$$

가 성립하므로 증명이 완료된다.

 

 -- 수정해야 하는 범위 끝 --

 

방법 2. 변환의 합성을 이용하여 직접 구성

$(V, \mathbb{F}, \bullet)$가 내적공간이라 하자. 이제 다음의 (선형은 아닌) 변환 $\Psi_{v}: V \to V^{*}$를 정의하자:

$$\Psi_{v}(x) =x^{*} \\ x^{*}: V \to \mathbb{F}, x^{*}(y) = (y \bullet x)$$

 

$\Psi_{v}$는 "거의" 선형변환이다: $\Psi_{v}(x+z) = \Psi_{v}(x)+\Psi_{v}(z), \Psi_{v}(cx) = \bar{c} \Psi_{v}(x)$

 

주장. $\Psi_{v}$는 일대일 대응이다.

증명.

a. (단사성)

$\Psi_{v}(x) = x^{*}$가 $V^{*}$의 영함수라 하자. 즉, $\forall y\in V, (y\bullet x)=0$이라 하자.

그렇다면 이는 $x \bullet x = 0 \Rightarrow x = 0$을 의미한다.

 

b. (전사성)

Gram-Schmidt 과정에 의해 $\beta = \{v_{1}, ... , v_{n} \}$가 $V$의 순서가 있는 정규직교기저라고 가정하여도 무방하다. 이제 $x \in V^{*}$는 $x(v_{1}), ... ,x(v_{n})$의 값들에 의해 유일하게 결정될 것이다.

이제 달성하고 싶은 $x(v_{1}) =  a_{1}, ... , x(v_{n}) = a_{n}$이 주어졌다 하자.

다음과 같이 벡터 $z$를 정의한다:

 

$$ z := \Sigma_{i=1}^{n} \overline{a_{i}}v_{i}$$

 

이제 $\Psi_{v}(z) = z^{*}$는 원하는 선형 범함수임을 보일 것이다.

 

$$z^{*}(v_{i}) = (v_{i} \bullet z) = (v_{i} \bullet \Sigma_{j=1}^{n} \overline{a_{j}}v_{j}) \\ = a_{i}$$

이고, $\beta$는 정규직교기저이므로 원하는 바를 보였다.

 

이제 $T \in \mathcal{L}(V,W)$일 때, 다음의 방식으로 adjoint operator를 정의한다:

 

$$T^{*} := \Psi_{v}^{-1} \circ T^{t} \circ \Psi_{w}$$

 

 

주장. 이렇게 정의한 $T^{*}$은 위에서 말한 성질을 만족한다.

증명.

$\forall v\in V, w\in W, (Tv \bullet w) = (v \bullet T^{*}w)$임을 보여야 한다.

 

정의에 의해

$$(Tv \bullet w) = (w^{*}T)(v) = \Psi_{V} (T^{*}w)(v) = (v \bullet T^{*}w)$$

이다.

 

 

5) ONB와 선형변환의 행렬표현

$\beta = \{v_{1}, ... ,v_{n}\}, \gamma = \{w_{1},... , w_{m} \}$가 각각 $V,W$의 순서가 있는 ONB라 하자.

이제 $T \in \mathcal{L}(V,W)$일 때, 다음의 사실이 성립한다:

 

$$ [T^{*}]_{\beta}^{\gamma} = ([T]_{\beta}^{\gamma})^{*}$$

 

 

6) 특수한 Operator와 대각화 가능성

$T \in \mathcal{L}(V)$라 하자.

 

$T^{*} = T$이면 $T$는 Hermitian / self-adjoint라 한다.

$T^{*} = T^{-1}$이고 $\mathbb{F} = \mathbb{C}$이면 $T$는 Unitary이라 한다. 한편 $\mathbb{F} = \mathbb{R}$이면 $T$는 orthogonal이라 한다.

$TT^{*} = T^{*}T$라 하면 $T$는 Normal이라 한다.

 

주장.

Self-adjoint operator $T$의 모든 고윳값은 실수이다.

증명.

$\lambda$가 고윳값이고 $v \neq 0$가 이에 대응되는 고유벡터라 하자.

이제 $\lambda (v\bullet v) = (Tv \bullet v) = (v \bullet T^{*}v) = (v \bullet Tv) = \overline{\lambda} (v \bullet v)$이므로, $\lambda$는 실수이다. $\square$

 

주장.

Unitary operator $T$의 모든 고윳값은 절댓값이 1인 복소수이다.

증명.

$\lambda$가 고윳값이고 $v \neq 0$이 이에 대응되는 고유벡터라 하자.

$|\lambda|^{2} (v \bullet v) = (\lambda v \bullet \lambda v) = (Tv \bullet Tv) = (T^{*}Tv \bullet v) = (v \bullet v)$이므로,

$|\lambda| = 1$이다. $\square$

 

 

특히 관심의 대상이 되는 것은 $T \in \mathcal{V}$에 대해 $T$를 대각화하는 ONB가 존재하냐는 것이다. 즉 $\beta$가 $V$의 ONB여서 $[T]_{\beta}$가 대각행렬이 되는 경우가 있느냐는 것이다.

 

 

이 경우 다음이 성립함을 안다:

 

$$ [TT^{*}]_{\beta} = [T]_{\beta} [T^{*}]_{\beta} = [T]_{\beta} ([T]_{\beta})^{*} = ([T]_{\beta})^{*} [T]_{\beta} = [T^{*}T]_{\beta}$$

 

따라서 $T$는 normal하다는 사실을 알 수 있다.

이제 그 역이 성립하는지가 문제가 된다. 이 논의는 곧 spectral theorem으로 이어진다.