선형대수학 - 쌍선형 형식과 행렬표현

* 2022.09.25 수업의 복습입니다.*

 

100만년 만에 쓰는 복습글인 것 같다.  지난번에는 연습문제를 풀겠다고 공언했지만 음...계획이 바뀌었다.

최근에 좀 나태해진 것 같은데, 다시 꾸준히 글을 올리는 루틴을 되찾아가도록 해야겠다.

 

 

오늘은 Friedberg의 6.8 Bilinear and Quadratic Forms의 내용을 다루도록 하겠다.

이번 글부터는 일목요연한 정리를 위해 목차를 만들기로 했는데, 목차는 다음과 같다:

 

 

<목차>

1. 쌍선형 형식의 소개

  1-1. 쌍선형 형식의 정의는 무엇인가?

  1-2. 쌍선형 형식의 예시로는 무엇이 있는가?

 

2. 쌍선형 형식들의 집합에 대한 분석

  2-1. 쌍선형 형식은 벡터공간을 이루는가?

  2-2. 쌍선형 형식과 행렬공간은 어떤 관계를 가지는가?

 

3. 쌍선형 형식의 표현들과 합동 (congruence)관계

  3-1. 하나의 쌍선형 형식을 서로 다른 기저로 표현한 행렬의 관계는 무엇인가?

  3-2. 합동관계를 만족하는 서로 다른 행렬은 같은 쌍선형 형식의 다른 기저표현인가?

 

 

1. 쌍선형 형식의 소개

1-1. 쌍선형 형식의 정의는 무엇인가?

정의. (쌍선형 형식)

벡터공간 $(V,\mathbb{F})$가 주어져 있다고 하자. 이제 $H: V \times V \to \mathbb{F}$가 다음을 만족한다 하자:

$x_{1},x_{2},y_{1}, y_{2} \in V, c \in \mathbb{F}$일 때, 

$$i) H(cx_{1}+x_{2}, y_{1}) = c H(x_{1}, y)+ H(x_{2}, y_{1}) \\ ii) H(x_{1}, cy_{1}+y_{2}) = cH(x_{1}, y_{1})+H(x_{1}, y_{2})$$이다.

 

이제 $H$를 (V에서 정의된) 쌍선형 형식이라 한다.

 

 

쌍선형 형식은 내적공간에서 정의될 필요가 없음에 주목하라. 또한, 복소공간에서 정의된 내적의 경우 둘째 항에 대해 내적이 선형이 아니라 켤레선형이므로 쌍선형 형식이 아님에도 주목하라.

 

1-2. 쌍선형 형식의 예시로는 무엇이 있는가?

예1.

$ V = \mathbb{R}^{2}, \mathbb{F} = \mathbb{R}$이라 하자.

이제 $x = (x_{1}, x_{2}), y = (y_{1}, y_{2})$라 할 때, $H : V \times V \to \mathbb{R}, H(x,y) = 4x_{1}y_{1} + 2x_{1}y_{2} - 3x_{2}y_{1} + x_{2}y_{2}$라 하자.

 

$H$가 쌍선형 형식인가? 

직접 정의를 따져가면서 증명하는 방법도 있고, 다음의 사실을 이용할 수 있다:

 

$$A = \begin{bmatrix} 4 \space\space 2 \\ -3 \space\space 1 \end{bmatrix}$$라 하자. 

이제 $H(x,y) = x^{T}Ay$라는 사실을 행렬 곱셈의 정의로부터 쉽게 알 수 있다.

따라서 $x,y,z\in \mathbb{R}^{2}, a \in \mathbb{R}$이라 하면 다음이 성립한다:

 

$$ H(ax+z,y) = (ax+z)^{T}Ay = (ax+z)^{T}(Ay) = a(x^{T}Ay) + z^{T}Ay = aH(x,y)+H(z,y)$$

이 사실은 행렬곱셈과 덧셈이 분배하며, 전치연산자가 선형이기 때문에 성립한다.

 

마찬가지로 $H$가 둘째 항에 대해서 선형이라는 사실을 보일 수 있다.

 

 

2. 쌍선형 형식들의 집합에 대한 분석

2-1. 쌍선형 형식은 벡터공간을 이루는가?

이제 벡터공간 $(V, \mathbb{F})$가 주어질 때, 이 공간에서 정의된 모든 쌍선형 형식들의 집합을 정의할 수 있다. 이 집합을 $$ \mathcal{B}(V)$$로 표시하자.

 

이제 $V$서 정의된 모든 쌍선형 형식들의 집합 $\mathcal{B}(V)$를 선형대수학의 용어로 분석하고자 한다. 따라서 이 집합이 벡터공간이냐고 묻는 것은 매우 자연스러운 질문이다. 조금 뜬금없는 질문이라고 생각할 법한 사람도 있겠다. 그러나 우리가 선형대수학을 다루는 이상 이러한 질문을 던지지 않으면 솔직히 할 수 있는 것이 제한적이다.

 

우리가 정의하는 덧셈과 스칼라곱은 함수의 경우와 동일하다:

 

$ B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}(V), c\in\mathbb{R}$이라 하자. 이제 $B_{1}+B_{2}, cB_{1}$는 다음과 같이 정의한다:

 

$$ B_{1}+B_{2}: V \times V \to \mathbb{F}, (B_{1}+B_{2})(x,y) = B_{1}(x,y)+B_{2}(x,y) \\ (cB_{1}): V \times V \to \mathbb{F}, (cB_{1})(x,y) = c(B_{1}(x,y)) $$

 

 

이제 집합 $\mathcal{B}(V)$와 이렇게 정의한 연산이 함께 벡터공간을 이루는지가 문제된다.

벡터공간의 정의를 상기하면 다음과 같다:

 

$(V,\mathbb{F})$가 벡터공간이라는 것은 다음이 모두 성립함을 의미한다:

 

i) 이항연산 $+$가 존재하여 $(V,+)$가 가환군이다. (덧셈에 대해 닫혀있음, 교환법칙, 결합법칙 성립, 항등원, 역원 존재)

ii) 스칼라곱 연산 $\bullet: \mathbb{F}\times V \to V$가 존재한다.

iii) $(ab)\bullet v = a(b\bullet v)$가 성립한다. (스칼라곱과 체의 곱셈이 결합법칙 만족)

iv) 체의 항등원을 $1$이라 표기할 때 $1\bullet v = v$이다. (항등원은 스칼라곱에서도 항등원)

v) $(a+b)\bullet v = a\bullet v + b \bullet v$이다. (스칼라곱과 체의 덧셈이 분배법칙 만족)

 

여기서 모든 성질을 보이는 것은 매우 귀찮은 일이므로, 특별히 연산에 대해 닫혀있다는 성질을 증명하고, 나머지는 시간이 나면 보충하도록 하겠다. 

 

주장. $(\mathcal{B}(V),+,\bullet)$은 연산에 대해 닫혀있다.

증명.

Part 1. $\mathcal{B}(V)$는 덧셈에 대해 닫혀있다.

$B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}(V)$라 하자. 

이제 $B_{1} + B_{2}\in \mathcal{B}(V)$임을 보이고자 한다.

임의의 $y \in V$를 고정하고, $x_{1}, x_{2} \in V, a \in \mathbb{F}$라 하자.

이제

$$(B_{1}+B_{2})(ax_{1}+x_{2},y) = B_{1}(ax_{1}+x_{2},y) + B_{2}(ax_{1}+x_{2},y) \\ = aB_{1}(x_{1},y)+B_{1}(x_{2},y)+aB_{2}(x_{1},y)+B_{2}(x_{2},y) \\ = B_{1}(x_{1},y)+B_{2}(x_{1},y) + aB_{1}(x_{2},y)+aB_{2}(x_{2},y) \\ a(B_{1}+B_{2})(x_{1},y)+(B_{1}+B_{2})(x_{2},y)$$

이다.

둘째 항에 대한 선형성도 유사하게 보일 수 있다.

 

 

Part 2. $\mathcal{B}(V)$는 스칼라곱에 대해 닫혀있다.

$B \in \mathcal{B}(V), c \in \mathbb{F}$라 하자. 이제 $(cB)$가 쌍선형형식임을 보여야 한다.

$y \in V$를 고정하고, $x_{1}, x_{2} \in V, a\in \mathbb{F}$라 하자.

이제

$$ (cB)(ax_{1}+x_{2},y) = c(B(ax_{1}+x_{2},y) \\ = c(aB(x_{1},y)+B(x_{2},y)) \\ = c(aB(x_{1},y)) + c(B(x_{2},y)) \\ = a(cB)(x_{1},y) + (cB)(x_{2},y)$$

이다.

둘째 항에 대한 선형성도 유사하게 보일 수 있다.

 

 

나머지 성질들도 증명이 그리 어렵지는 않다. 앞으로는 $\mathcal{B}(V)$가 벡터공간이라는 사실을 적극적으로 활용할 것이다.

 

2-2. 쌍선형 형식과 행렬공간은 어떤 관계를 가지는가?

$(V,\mathbb{F})$가 이제는 $n$차원 유한차원 벡터공간이라고 가정하자.

우리는 앞서 살펴본 예시로부터 다음의 명제를 증명할 방법을 쉽게 착안할 수 있다:

 

명제. $A \in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$라 하자.

이제 다음의 함수는 $\mathbb{F}^{n}$에서 정의된 쌍선형 형식이다:

 

$$ H: \mathbb{F}^{n} \times \mathbb{F}^{n} \to \mathbb{F}, H(x,y) = x^{T}Ay$$

 

증명.

둘째 항을 $y$로 고정하고 첫 항에 $x$를 입력으로 받는 함수 $R_{y}: \mathbb{F}^{n} \to \mathbb{F}, R_{y}(x) = H(x,y)$를 생각해 보자.

$c \in \mathbb{F}, x_{1},x_{2} \in \mathbb{F}^{n}$이면 $R_{y}(cx_{1}+x_{2}) = (cx_{1}+x_{2})^{T}Ay = c(x_{1}^{T}Ay)+(x_{2}^{T}Ay) = cR_{y}(x_{1}) + R_{y}(x_{2})$여서, $R_{y}$는 선형변환임을 알 수 있다. 특히 여기서 $y$에 대한 제한이 없었으므로, $H$는 첫 항에 대해 선형임을 알 수 있다.

 

둘째 항의 선형성을 증명하기 위해서는 첫 항을 $x$로 고정하고 둘째 항 $y$를 입력으로 받는 함수 $L_{x}: \mathbb{F}^{n} \to \mathbb{F}, L_{x}(y) = H(x,y)$를 생각하고 이것이 선형임을 보이면 충분한데, 행렬 곱셈의 성질에 의해 위와 같이 쉽게 보일 수 있다. $\square$

 

따라서 하나의 행렬 $A \in \mathcal{M}_{n\times n}$은 $(\mathbb{F}^{n}, \mathbb{F})$서 하나의 쌍선형 형식을 정의한다.

 

 

이제 역이 성립하는지가 큰 관심사이다. 선형변환의 경우를 생각해 보면, 하나의 행렬이 행렬 곱셈을 통해 하나의 선형변환을 정의했고, 역으로 선형변환의 경우 기저가 주어지면 하나의 행렬로 표현되었다는 사실을 상기하자.

쌍선형 형식의 경우에도 유사한 말을 할 수 있다. $H \in \mathcal{B}(V)$라 하고, $\beta = \{v_{1}, ... , v_{n} \}$이 $V$의 순서가 있는 기저라 하자.

 

정의.

쌍선형 형식 $H \in \mathcal{B}(V)$와 기저 $\beta$가 주어져 있을 때, 성분들이 다음과 같이 주어지는 행렬을 정의하자:

$$ A \in \mathcal{M}_{n\times n}, A_{ij} = H(v_{i}, v_{j})$$

이제 $A$는 기저 $\beta$에 대한 $H$의 행렬표현이라 하고, $A = \psi_{\beta}(H)$로 표시한다.

 

 

따라서 유한차원 벡터공간 $(V,\mathbb{F})$서 정의된 쌍선형 형식과 순서가 있는 기저가 주어지면, 쌍선형 형식을 행렬로 표현할 수 있음을 안다.

그러나 이 표현이 유일한지는 아직 알지 못하는데, 표현의 유일성은 다음의 정리에서 나타난다:

 

정리 6.32

$(V,\mathbb{F})$가 $n$차원 벡터공간이라 하고 순서가 있는 기저 $\beta$가 주어졌다 하자. 이제 다음과 같이 정의되는 함수 

$$ \psi_{\beta}: \mathcal{B}(V) \to \mathcal{M}_{n\times n}$$

는 동형사상이다.

 

증명.

세 부분으로 나누어서 증명을 진행한다.

Part 1. $\psi_{\beta}$가 선형사상임을 보인다.

$B_{1}, B_{2} \in \mathcal{B}(V), c\in \mathbb{F}$라 하자.

이제 $\psi_{\beta}(cB_{1}+B_{2})$는 하나의 행렬로, 그 $ij$성분은 다음과 같이 정의된다:

 

$$ \psi_{\beta}(cB_{1}+B_{2})_{ij} = (cB_{1}+B_{2})(v_{i}, v_{j}) \\ = c(B_{1})(v_{i},v_{j}) + B_{2}(v_{i}, v_{j}) \\ = c \psi_{\beta}(B_{1})_{ij} + \psi_{\beta}(B_{2})_{ij} \\ = (c \psi_{\beta}(B_{1})_{ij} + \psi_{\beta}(B_{2})_{ij}$$

모든 성분에 대해서 이 논의가 성립하므로, $\psi_{\beta}(cB_{1}+B_{2}) = c \psi_{\beta}(B_{1})+\psi_{\beta}(B_{2})$이다.

 

 

Part 2. $\psi_{\beta}$가 단사임을 보인다.

어떤 $B \in \mathcal{B}(V)$에 대해, $\psi_{\beta}(B) = 0$이라 가정하자.

영행렬의 정의에 의해 $1 \leq i,j \leq n \Rightarrow B(v_{i}, v_{j}) = 0$이다.

이제 $x,y \in V \Rightarrow B(x,y) = 0$임을 보이면 족할 것이다.

$\beta$는 기저이므로, $x = \Sigma_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}, y = \Sigma_{j=1}^{n} b_{j}v_{j}$인 체의 원소들 $a_{1},..., a_{n}, b_{1},...,b_{n}$이 유일하게 존재한다.

 

따라서

$$B(x,y) = B(\Sigma_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}, \Sigma_{j=1}^{n} b_{j}v_{j}) = \\ \Sigma_{i=1}^{n} \Sigma_{j=1}^{n} a_{i}b_{j} B(v_{i},v_{j}) = 0$$이다.

 

이제 $\mathcal{B}(V)$의 영벡터만이 영공간에 포함되어 있으므로 사상이 단사임을 보였다.

 

 

Part 3. $\psi_{\beta}$가 전사임을 보인다.

$A \in \mathcal{M}_{n \times n}$이라 가정하자. 이제 어떤 $B \in \mathcal{B}(V)$가 존재하여 $\psi_{\beta}(B) = A$가 될 수 있는지가 문제된다.

 

그런데 이는 다음과 같이 답을 낼 수 있다. 다음과 같은 함수를 정의한다:

$$B: V\times V \to \mathbb{F}, B(x,y) = [x]_{\beta}^{T}A[y]_{\beta}$$

여기서 $[x]_{\beta}$는, $x = \Sigma_{i=1}^{n} a_{i}v_{i}$이면 $[x]_{\beta} = \Sigma_{i=1}^{n} a_{i}e_{i}$로 주어지는 좌표지정 변환의 함숫값이다.

좌표 지정 변환은 선형이고 행렬곱 역시 선형이므로 $B$는 쌍선형 형식이다.

 

또한, $B(v_{i},v_{j}) = [v_{i}]_{\beta}^{T} A [v_{j}]_{\beta} = e_{i}^{T}Ae_{j} = A_{ij}$이므로, $\psi_{\beta}(B) = A$이다. 따라서 사상이 전사임을 보였다. $\square$

 

이로써, $n$차원 벡터공간에서는 기저가 주어지면 쌍선형 형식과 $n\times n$ 행렬의 집합이 같음을 보였다.

또한, 특히 $\mathbb{F}^{n}$에서 정의되는 모든 쌍선형 형식은 (표준기저를 잡음으로써) $H(x,y) = x^{T}Ay$의 형식으로 주어짐을 알 수 있다.

 

 

3. 쌍선형 형식의 표현들과 합동 (congruence)관계

3-1. 하나의 쌍선형 형식을 서로 다른 기저로 표현한 행렬의 관계는 무엇인가?

우리는 2-2에서 $(V,\mathbb{F})$의 순서가 있는 기저가 주어지면 쌍선형 형식과 행렬집합이 $\psi_{\beta}$로 연결됨을 살펴보았다. 그런데 다음의 질문이 떠오를 수 있다:

 

 

$H \in \mathcal{B}(V)$이고 $\beta,\gamma$는 $V$의 서로 다른 순서가 있는 기저일 때, $\psi_{\beta}(H)$와 $\psi_{\gamma}(H)$의 관계는 무엇일까?

 

 

선형변환의 경우, $T: V \to V$가 선형변환이고 $\beta, \gamma$가 서로 다른 기저일 때, 가역행렬 $Q$가 존재하여 다음이 성립했었다:

$$[T]_{\beta} = Q^{-1}[T]_{\gamma}Q$$

특히, $Q = [I_{V}]_{\beta}^{\gamma}$로, 좌표계 변환 행렬이었음을 상기하라.

 

따라서 쌍선형 형식의 행렬표현에 있어서도 좌표계 변환 행렬이 중요하게 작용할 것임을 직감할 수 있다.

이는 다음의 정리를 통해 표현된다:

 

정리 6.33

$(V,\mathbb{F})$는 $n$차원 벡터공간이고, $\beta = \{v_{1}, ... , v_{n} \}, \gamma = \{w_{1}, ... , w_{n} \}$은 서로 다른 순서가 있는 기저이고, $Q$는 다음과 같이 정의된 행렬이라 하자:

 

$$ w_{j} = \Sigma_{i=1}^{n} = Q_{ij}v_{i}$$

즉, $Q$는 $\gamma$서 $\beta$로 좌표계를 변환하는 행렬이라 하자.

 

이제 임의의 쌍선형 형식 $H \in \mathcal{B}(V)$에 대해, $\psi_{\gamma}(H) = Q^{T}\psi_{\beta}(H)Q$이다.

 

 

증명.

$A = \psi_{\beta}(H), B = \psi_{\gamma}(H)$라 하자.

 

$$B_{ij} = H(w_{i},w_{j}) = H(\Sigma_{k=1}^{n}Q_{ki}v_{k}, w_{j}) \\ = \Sigma_{k=1}^{n} Q_{ki} H(v_{k}, w_{j}) \\ = \Sigma_{k=1}^{n} Q_{ki} \Sigma_{r=1}^{n} Q_{rj} H(v_{k}, v_{r}) \\ = \Sigma_{k=1}^{n}\Sigma_{r=1}^{n} (Q^{T})_{ik} A_{kr} Q_{rj} \\ = (Q^{T}AQ)_{ij}$$

 

이제 $Q$는 좌표계 변환 행렬이므로 가역이라는 사실을 안다. 따라서, 한 쌍선형 형식을 다른 기저로 표현한 행렬 $A,B$ 사이에는, 가역행렬 $Q$가 존재하여 $B = Q^{T}AQ$가 성립한다. $\square$

 

 

이러한 관계를 합동관계라 정의한다:

 

정의. (합동관계)

행렬 $A,B\in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$에 대해, 가역행렬 $Q$가 존재하여

$$B = Q^{T}AQ$$가 존재하면, $A,B$는 합동관계에 있다(congruent)고 한다.

 

 

합동관계는 유사관계처럼 동치관계를 정의한다.

 

3-2. 합동관계를 만족하는 서로 다른 행렬은 같은 쌍선형 형식의 다른 기저표현인가?

이제 역이 성립하는지가 문제된다. 정리 6.33의 다음 따름정리를 보면 이해가 더 잘 될 것이다:

 

따름정리.

두 행렬 $A,B \in \mathcal{M}_{n\times n}(\mathbb{F})$가 서로 합동관계에 있고, $n$차원 벡터공간 $(V,\mathbb{F})$와 어떤 순서가 있는 기저 $\beta$, 그리고 쌍선형 형식 $H \in \mathcal{B}(V)$이 존재하여 $\psi_{\beta}(H) = A$라 하자.

이제  어떤 순서가 있는 기저 $\gamma$가 존재하여 다음이 성립한다:

 

i) $\psi_{\gamma}(H) = B$

ii) $B = Q^{T}\psi_{\beta}(H) Q$, $Q$는 가역일 때, $Q$는 좌표계를 $\gamma$에서 $\beta$로 변환하는 좌표계 변환 행렬이다.

 

증명.

$A,B$가 합동 관계에 있으므로 어떤 가역행렬 $Q$가 존재하여 $B = Q^{T}\psi_{\beta}(H)Q$가 성립한다.

이제 다음과 같이 새로운 기저 $\gamma$를 정의한다:

 

$w_{j} = \Sigma_{i=1}^{n} Q_{ij}v_{i}$

 

$Q$는 가역행렬이므로 $\gamma$는 실제로 기저이고, 따라서 $Q$는 정의상 좌표계를 $\gamma$에서 $\beta$로 바꾸는 변환행렬이다. 이제 정리 6.33와 $B$의 구성에 의해

 

$$ B = Q^{T}\psi_{\beta}(H)Q = \psi_{\gamma}(H)$$이다. $\square$