[대수학] Module (가군) 정리 - part 1

이 연재 시리즈는 - 만약 계속된다면 - 겨울방학 동안 대수학 스터디에서 배웠던 내용을 복습하는 방식으로 이루어질 것이다. 교재는 Algebra (Hungerford)를 사용하였다.

 

특히 가군 부분이 잘 이해가 되지 않아 거기부터 시작하게 되었다. 사실 엄밀히 따지면 유한생성가환군의 기본정리부터 완벽히 이해하고 따라가진 못한 것 같지만...

 

 

이번 글에는 1) 모듈의 정의, 2) 모듈의 예시, 3) 모듈의 부분들을 살펴보자. 

 

 

 

Def 1 (모듈). R이 환이고 A가 아벨군이라 하자. 다음을 만족하는 함수 $f: R \times A \to R$가 존재하면 A를 left R-module (좌가군) 이라 하자: 

 

a) $s \circ (r \circ a) = sr \circ a$

b) $(s+r) \circ a = s \circ a + r \circ a$

c) $s \circ (a+b) = s \circ a + s \circ b$

 

여기에 R의 항등원이 존재한다 하자. 추가로 다음 조건을 만족하는 좌가군을 unitary (유니터리)라 하자:

 

d) $\forall a\in A, 1_{R} \circ a = a$

 

$R$이 나눗셈환이면 좌가군을 좌벡터공간이라 부른다.

 

 

중요한 사실은, 어떤 가군의 구조를 정확히 정의하려면 내재한 아벨군 $A$뿐만 아니라 Def 1에서 사용한 함수 $f$ 또한 명시되어야 한다는 것이다. 따라서 엄밀히 말하자면 집합과 함수의 쌍 $(A,f)$를 $R$-좌가군이라 불러야 할 것이다.

 

 

<모듈인 것>

eg 1. $R$이 임의의 환이라 하자. 이제 $R$은 $R$-좌가군인데, 다음과 같은 함수를 부여할 수 있다:

$$ f: R\times R \to R \\ f(r,x) := rx$$

우측의 표현은 단순한 $R$의 곱을 의미한다.

 

 

eg 2. $A$가 임의의 아벨군이라 하자. 이제 $A$는 유니터리 $\mathbb{Z}$-좌가군이다:

$$ f: \mathbb{Z} \times A \to A \\ f(n,a) := na$$

여기서 $na$는 $n$이 양수면 $a+ a + ... + a$, 음수면 $(-a) + (-a) + ... + (-a)$이다.

 

 

eg 3. $R$이 환이고, $I$가 $R$의 좌측 아이디얼 (left ideal)이라 하자.

Recall. $R$이 환일 때, 좌측 아이디얼 $I$는 $R$의 부분집합으로, 1) 아벨군으로써 $R$의 부분군이고, 2) 곱셈을 "먹는다": $r\in R, i\in I \Rightarrow ri \in I$. 아이디얼은 "정수에서 0의 역할을 일반화한 것"이다.

 

이제 $I$는 다음과 같은 함수에 의해 $R$-좌가군이다:

$$ f: R \times I \to I \\ f(r,i) := ri$$

 

 

eg 4. $R$이 환이고, $A = M_{n} (R)$은 $R$의 원소들을 성분으로 가지는 $n\times n$ 행렬들의 집합이라 하자. (연산은 행렬 덧셈으로 주어진다.)

이제 다음과 같은 방법에 의해 $A$는 $R$-좌가군이 된다:

$$ f : R \times A \to A \\ f(r,B) := rB, (rB)_{ij} = r(b_{ij})$$

(체 위를 생각하면 선형대수학에서 배우는 행렬의 스칼라곱과 일치한다.)

 

 

eg 5. $A = hom(G, \mathbb{R})$는 임의의 군 $G$에서 $\mathbb{R}$로 가는 군 준동형사상이라 하자 (연산은 사상의 덧셈으로 주어진다; $f,h\in A \Rightarrow (f+h)(g) = f(g) + h(g)$)

이제 $A$는 유니터리 $\mathbb{R}$-좌가군이 된다:

$$ f : \mathbb{R} \times A \to A \\ f(r,a) := ra, (ra)(g) = r(a(g))$$

 

 

eg 6. $R = M_{n} (\mathbb{R})$은 $n\times n$ 실행렬의 집합이고, $A = \mathbb{R}^{n}$은 열벡터의 집합이라 하자. 

$$f: R \times A \to A \\ f(r,a) = ra$$

로 정의하면, $A$는 행렬좌곱이 선형사상을 정의하고 행렬곱의 선형사상의 합성에 대응한다는 선형대수학의 정리에 의해 $R$-좌가군이 된다.

 

 

특이한 점 몇 가지를 관찰하자:

1) 다양하다. 군에서 실수로 가는 함수들의 집합, 임의의 환, 임의의 아벨군, 환을 성분으로 가지는 행렬 모두 "모듈"이다.

 이말인 즉슨 이 다양한 대상들을 통합하는 어떤 성질이 있음을 의미하는데, 그것을 포착한 정의가 Def 1이다.

 

2) $R$-좌가군은 $R$과 밀접하다. Group action on a set을 상기하면, action을 받는 집합이 임의의 집합일 수 없었다. 예컨대 p-group의 경우 stabilizer가 집합의 위수랑 modulo p 같아야 하는 식이었다. 마찬가지로 $R$ 위의 좌가군은 보통은 아무 아벨군일 수 없고, $R$과 어떤 관계를 지니는 아벨군이어야 한다. 그런 의미에서 모든 아벨군이 $\mathbb{Z}$-좌가군이라는 사실이 더욱 놀랍게 다가온다.

 

 

 

<모듈이 아닌 것>

ce 1. $R$이 가환환이고 $A = R[x]$는 $R$을 게수로 가지는 다항식환이라 하자. 다음과 같은 함수를 정의하자:

$$f:\mathbb{R} \times A \to A \\ f(r,g) = g(r)$$

아쉽게도 $A$는 $R$-좌가군이 아닌데, Def 1의 조건 b)가 성립하지 않는다. 예컨대 $R = \mathbb{R} , g(x) = x^{2}$이라 하면 $g(a+b) = (a+b)^{2}, g(a)+g(b) = a^{2} + b^{2}$로 둘은 일반적으로 다르다.