연구인턴 - Weyl's Criterion

연구인턴을 하는 중에 다음의 명제를 증명해야 하는 상황에 부딪혔다:

 

만약 $x,y, \frac{x}{y} \in \mathbb{R} - \mathbb{Q}$이라면, 수열 $\{(nx,ny)\}$가 $\mathbb{R}/\mathbb{Z} \times \mathbb{R}/\mathbb{Z}$에서 조밀할까?

 

 

차원을 하나 낮춘다면, $x$가 무리수일 때 수열 $\{(nx)\}$는 확실히 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$서 조밀하고, 이는 무리수에 잘 근사되는 유리수들이 항상 존재한다는 사실에 의존한다. 따라서 이차원의 경우에서 (몇 가지 병리적 가능성을 제외하면) 직관적으로는 그럴 것 같은데 증명을 못해서 막혔다. 분명히 누군가 증명했을 법한 명제라서 책을 찾아봤는데 관련된 내용이 <Distributions Modulo One> (Yann Bugeaud)에서 튀어나왔다.

 

 

다음은 1차원에서 어떤 수열 $\{x_{n}\}$이 조밀할 필요충분조건이다:

(Weyl's criterion)

어떤 수열 $\{x_{n}\}$이 modulo 1 (즉 $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$서) 균일할 필요충분조건은, 연속이고 주기가 1인 임의의 복소함수 $f$에 대해서 $$\lim_{N\to +\infty} \frac{1}{N} \Sigma_{n=1}^{N} f(x_{n}) = \int_{0}^{1} f(x)dx$$인 것이다.

 

 

다차원에서는 다음의 형태로 나타난다:

 

(Weyl's criterion in multiple dimensions)

$\mathbb{R}^{d}$의 수열 $(x_{n})_{n \geq 1}$이 modulo 1에서 균일할 필요충분조건은, 주기 1이고 연속인 임의의 복소함수 $f$에 대해서 $$\lim_{N\to +\infty} \frac{1}{N} \Sigma_{n=1}^{N} f(x_{n}) = \int_{[0,1]^d} f(x) dx$$인 것이다.

 

통상적으로 Stone-Weierstrass 정리는 폐구간 [a,b]서 정의된 임의의 연속함수에 균등수렴하는 다항함수들의 수열이 존재함을 이야기하지만, 조금 더 일반화하면 $\{e^{2i\pi nx}\}$ 같은 함수족의 선형결합도 연속함수를 근사할 수 있다고 한다.

 

따라서 다변수에서 Weyl's criterion은 다음과 동치이다:

임의의 0이 아닌 정수벡터 $h$에 대해

$$ \lim_{N\to +\infty} \frac{1}{N} \Sigma_{n=1}^{N} \Sigma_{n=1}^{N} e^{2i\pi <h,x_{n}>} = 0$$이다.

 

또한 이를 이용하면 다음을 얻을 수 있다:

$\alpha_{1} , ... , \alpha_{d}$가 실수이고, $1, \alpha_{1}, ... , \alpha_{d}$가 유리수에서 선형독립이라 하자.

이제 $(n\alpha_{1}, ... , n\alpha_{d})$는 modulo 1 균일하게 분포한다.

 

 

이제 왜 $x/y$까지 무리수여야 했는지 좀 감이 온다.

증명은 내일 더 자세히 봐야겠다...