Reflection groups and Coxeter groups - 07.24

오늘의 진도: 2.2. Irreducible components

 

오늘의 아이디어: W를 simple system $\Delta$와 관련된 simple reflection들의 집합 S에 의해 생성되는 유한반사군이라 하자. W를 더 작은 군들의 직곱으로 표현하는 방법은 없을까?

 

 

오늘의 요약.

Coxeter graph의 연결 성분들을 $\Gamma_{1},\Gamma_{2},...,\Gamma_{n}$이라 하자. 이때 각 연결성분에 들어간 S의 집합을 $S_{1},...,S_{n}$이라 하고 그로부터 생성된 유한반사군들을 $W_{S_{1}},...,W_{S_{n}}$이라 하자. 다음이 성립한다...(*):

 

(1) $W = W_{S_{1}} \otimes ... \otimes W_{S_{n}}$ (internal direct product로 이해한다.)

(2) $(W_{S_{i}}, S_{i})$의 Coxeter graph는 연결성분이 하나뿐이다.

 

 

 

(*)의 증명.

n에 대해 귀납법을 쓰는 것이 목표이므로, 우선 $n=2$일 때를 살펴보자.

각 연결성분에 들어간 $S_{i}$와 관련된 simple system의 원소들을 $\Delta_{i}$라 하자.

 

만약 $\alpha \in \Delta_{1}, \beta \in \Delta_{2}$라 하면, Coxeter graph 상에서 $s_{\alpha}, s_{\beta}$는 연결되어 있지 않으므로 $(s_{\alpha}s_{\beta})^{2} = 1$이고, 따라서 $s_{\alpha}s_{\beta} = s_{\beta}s_{\alpha}$가 성립함을 알 수 있다. 따라서 $W_{S_{1}}, W_{S_{2}}$의 원소들끼리는 가환이다.

 

둘째로, $w = s_{1}...s_{r}s_{r+1}...s_{r+l}$이라 하면, (가환이 되니) 재배열을 통해 $s_{1},...,s_{r} \in W_{S_{1}}, s_{r+1},...,s_{r+l} \in W_{S_{2}}$라 가정할 수 있고, 그러면 $w \in \{w_{1}w_{2} | w_{i} \in W_{S_{i}}\}$도 성립한다. 

 

마지막으로, $w \in W_{S_{1}} \cap W_{S_{2}}$일 수 있는지를 고려할 필요가 있다. 이는, w가 $\Delta_{2}$에 어떻게 act하는지 살펴봄으로써 해결이 된다; $\alpha \in \Delta_{1}, \beta \in \Delta_{2} \Rightarrow s_{\alpha}(\beta) = \beta$라는 사실을 $(\alpha,\beta) = 0$으로부터 알 수 있다 (이는 다시 Coxeter graph에 의해 결정되는 사실이다). 

 

그렇다면, $w \in W_{S_{1}} \cap W_{S_{2}} \Rightarrow w \in W_{S_{1}}$이고, 따라서 w는 $\Delta_{2}$의 원소들을 모두 고정한다. 그런데 $w \in W_{S_{2}}$이므로, 동시에 $\Delta_{1}$의 원소들도 모두 고정한다. 마지막으로, w는 W의 원소이고, W의 원소 중 $\Delta = \Delta_{1} \sqcup \Delta_{2}$를 고정하는 원소는 항등원뿐이다. 따라서 $w = 1$이다.

 

정리를 해 보자. 우리는 다음의 사실들을 증명하였다:

(a) $W = \{w_{1}w_{2} | w_{i} \in W_{S_{i}}\}$ (W의 원소를 $W_{i}$의 원소의 곱으로 표현할 수 있다.)

(b) $w \in W_{S_{1}} \cap W_{S_{2}} \Rightarrow w = 1$ (특히, 곱으로 표현하는 방법이 유일하다.)

(c) $s_{\alpha}s_{\beta} = s_{\beta}s_{\alpha}, \forall \alpha \in \Delta_{1}, \beta \in \Delta_{2}$ (이렇게 W의 원소를 곱으로 표현하였을 때, W의 원소들의 곱을 표현들의 곱으로 순진하게 나타낼 수 있다.)

 

이는 W를 두 부분군의 직접곱으로 표현할 수 있는 조건과 동치이다. 이제 귀납법을 적용하면 n이 2보다 큰 경우도 해결할 수 있다.

 

 

(2)는... 아주 대충 서술을 해 보자.

하나가 아니라면 $\Gamma_{i}$ 내에 있는 두 connected component를 잡을 수 있는데, 그렇다면 처음에 분류를 할 때 같은 $\Gamma_{i}$로 분류되어 있을수가 없다 (동치관계이므로 다른 $\Gamma_{j}$에 들어있거나, 그 자체로 새로운 $\Gamma_{k}$를 만들어야 했다).