Reflection groups and Coxeter groups - 07.26

오늘의 진도: 2.4. Some positive definite graphs

 

오늘의 요약:

1. Figure 1의 그래프들은 positive definite graph들의 예이다...(*)

2. 두 가지 질문이 남는다: 

(1) 이게 다인가?

(2) Figure 1의 positive definite graph가 실제로 어떤 유한반사군의 simple system으로부터 유도되는가?

 

이 질문들에 대답하는 것이 2단원의 나머지 부분이지만, 시간 관계상 내일부터는 4단원을 읽어볼 생각이다.

 

 

 

(*)의 증명.

어떤 행렬이 양정부호이기 위한 필요충분조건은, 모든 주대각 소행렬 (principal minor)의 행렬식이 0보다 큰 것이다.

 

일단, $I_{2}(m)$의 경우 행렬을 직접 표현할 수 있다:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -\cos(\frac{\pi}{m}) \\ -\cos(\frac{\pi}{m}) & 1 \end{pmatrix}$$

따라서 $det(A) = 1 - \cos^{2}(\frac{\pi}{m}) > 0$이고, A는 양정부호이다.

 

다른 경우들을 생각해 보자. $-\cos(\frac{\pi}{3}) = - \frac{1}{2}$이므로 편의상 2A의 행렬식을 구한다고 생각하자.

 

점의 순서를 적당히 재배열함으로써, n번째 (즉 마지막) 점이 n-1번째의 점과만 연결되고, 연결된 선분에 대응되는 숫자가 3이거나 4가 되도록 만들 수 있다.

 

이제 2A의 $i \times i$ 주대각 소행렬의 행렬식을 $d_{i}$라 표기하면,

$$det(2A) = 2d_{n-1} - c d_{n-2}$$이고,

 

대응되는 숫자가 3이면 c = 1, 숫자가 4면 c = 2가 된다. (이는, 마지막 행의 n-1번째와 n번째 성분을 제외하면 모두 0이기 때문에 가능하다).

 

이제 각 행렬에 대해서 $(n-1) \times (n-1)$ 소행렬을 고려하는 것은, 각 그래프에 대해서 다른 한 점과만 연결되어 있는 점과 선분을 제외한 부분 그래프에 대응하는 행렬을 고려하는 것과 같다.

 

그런데 Figure 1의 그래프들에서 가장자리에 있는 점과 선분을 제외하더라도, 여전히 Figure 1에 있는 그래프가 되도록 만들 수 있다. 이를 이용하여 계산을 진행하면 증명이 끝난다.

 

예컨대, $E_{8}$의 가장자리 점과 선분을 제외한 후 나올 수 있는 그래프는 $A_{8}$ 또는 $E_{7}$이 있고, $(n-2) \times (n-2)$의 경우는 $E_{6}, A_{7}$이 있다.

 

계산을 하면 (직접 해보지는 않았다) 다음의 표가 나온다고 한다:

 

따라서 위의 그래프들은 모두 양의 정부호이다.