이 게시판의 목적은 현재 연구인턴에서 손 대고 있는 문제
Nonlocal Xin-Jin model
$$u_{t} + v_{x} = 0 \\ v_{t} + \lambda^{2}u_{x} = \frac{1}{\tau} (K*u - v)$$
(*는 컨볼루션)
를 탐구하는 과정에서 접하는 새로운 개념들을 정리하고, 당면한 문제에 어떻게 활용할 수 있을지에 대한 고민들을 정리하기 위함이다.
Def. Fréchet Derivative
(X, $||.||_{X}$)와 (Y, $||.||_{Y}$)가 바나흐 공간 (완비 노름공간)이라 하자. $U \subset X$가 열린집합이고, $f: U \to Y$가 함수라 하자. 이제 $x \in X$가 주어졌을 때, 다음을 만족하는 유계 선형 연산자 $\mathcal{A} \in \mathcal{B}(X,Y)$가 존재한다 하자:
$$\lim_{||h||_{X} \to 0} \frac{||f(x+h) - f(x) - \mathcal{A}(h)||_{Y}}{||h||_{X}} = 0$$
이 때, $f$는 $x$에서 Fréchet-differentiable이라 하고, $A = f'(x)$를 $x$에서 $f$의 Fréchet derivative라 한다.
Rmk. 그러한 $\mathcal{A}$가 존재한다면, 임의의 단위벡터 $v \in X$에 대해,
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+hv) - f(x)}{h} = \mathcal{A}(h)$$
가 성립한다.
eg.
$$T: \mathcal{C}[a,b] \to \mathcal{C}[a,b], T[u] := \int_{a}^{b} K(x,t) f(t, u(t))dt$$라 하자. 또한, 노름은 $L^{\infty}$라 하자.
이제 예컨대 $K,f$가 각각 일급함수라 하자. 그렇다면 미분연산자를 적분기호 안에 넣을 수 있다.
이제 임의의 $v \in \mathcal{C}[a,b]$에 대해,
$$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{T(u+\epsilon v) - T(u)}{\epsilon} = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a}^{b} K(x,t) \frac{f(t, u+\epsilon v) - f(t,u)}{\epsilon} dt \\ = \int_{a}^{b} Kf_{u}v dt$$
가 성립한다.
따라서, $$T'[u](v) = \int_{a}^{b} KD_{2}f(t,u)v dt$$로 추측할 수 있다. $T'[u]$가 선형이 됨은 쉽게 확인할 수 있다. 적당한 조건들을 가정하면 (예컨대 $K,f$가 일급함수), $T'[u]$가 유계라는 것도 확인할 수 있다. 또한 $T'[u]$가 실제로 Fréchet derivative의 정의를 만족함도 확인할 수 있다.
원래 문제와 어떻게 연결되는가?
1. $T[u] := K*u$는 선형이므로, Fréchet derivative를 취해도 스스로가 나온다. 만약 원래의 문제를 풀 수 있다면, 자연스러운 확장으로 우변에 $K*u$가 아닌 Fréchet-differentiable nonlinear operator $\mathcal{A}[u]$를 고려할 수 있을 것 같다. 그리고, $T[u+h] \sim T[u] + T'[u](h)$임을 이용하여 식을 근사하는 방향으로 나아갈 수 있을 것 같다.
2. 여전히 방정식에서의 변화가 해에서의 변화를 어떻게 유도하는지 잘 모르는 것이 문제이다. 다만 Fréchet derivative의 "철학"을 본따자면, 하나의 매개변수 $\epsilon$에 대해 정의되는 커널들의 집합 $K(\epsilon)$을 정의하고, $K(0) = \delta$ (디렉 델타), $\epsilon$이 늘어날수록 "평평해지는" 상황을 생각해 본 후, $\epsilon$이 변함에 따라 해 $(u,v)$가 변하는 정도를 하나의 미분계수 (찾아보니 Gateaux derivative와 관련 있는 것 같다)로 살펴보아, 어떤 상한을 줄 수 있지 않을까 싶다.
시도.
$$K[t](x):= \begin{cases} \frac{1}{2t} & (-t \leq x \leq t) \\ 0 & (o.w.) \end{cases}$$
라 하자. 이제 하나의 매개변수 $\epsilon$에 의해 식의 가족 (좌표변환을 하였다는 가정 하)
$$u_{t} + v_{x} = 0 \\ v_{t} + \lambda^{2}u_{x} = K[\epsilon]*u - v \\ u(x,0) = f(x), v(x,0) = g(x)$$
가 정의된다.
하고자 하는 논증은 다음과 같다:Step 1. Local case 에서 traveling wave solution이 존재함을 증명한다.Step 2. 실수 -> 실수에 의해 정의되는 편미분방정식계의 해로 보내는 operator에 대해 Fréchet derivative가 유계임을 보인다. 그렇다면 충분히 작은 실수에 대해서, 해가 traveling wave랑 크게 떨어지지 않을 것이다.(?) Step 3. 이 다음에 앞으로 나아가는 방법은 잘 모르겠다...
Step 1.우선, $\epsilon = 0$, 즉 local case를 살펴봐야 한다.
$$u_{t} + v_{x} = 0 \\ v_{t} + \lambda^{2}u_{x} = u - v \\ u(x,0) = f(x), v(x,0) = g(x)$$
$u(x,t) = f(x-ct)$가 성립한다 가정하자. 이제
$$u_{t} = -c f'(x-ct) \Rightarrow v_{x} = c f'(x-ct) \\ \Rightarrow v = c f(x-ct) + h(t) \Rightarrow v_{t} = -c^{2} f'(x-ct) + h'(t) \\ \Rightarrow v_{t} + \lambda^{2}u_{x} = (\lambda^{2}-c^{2})f'(x-ct) + h'(t) = (1-c)f(x-ct) - h(t)$$,
가 성립해야 하므로,
$$u(x,t) = f(x-ct) = Ae^{ \frac{1-c}{\lambda^{2}-c^{2}}(x-ct) } \\ v(x,t) = cu - Be^{t}$$
(A,B는 상수)
가 성립한다.
따라서 local case로부터 가까움을 주장하려고 해도, 이미 initial condition에 큰 제약이 발생해버리는 문제가 생긴다...Crap.
Step 2. Gateaux derivative를 계산해본다.
$\epsilon$일 때 편미분방정식계 + exponential IC를 만족하는 u,v를 $u^{\epsilon}, v^{\epsilon}$이라 두자.
이제 $u^{\epsilon} - u^{0} := \tilde{u}, v^{\epsilon} - v^{0} := \tilde{v}$라 두면
$$\tilde{u}_{tt} + \tilde{u}_{t} - \lambda^{2}\tilde{u}_{xx} = K(0) * u_{x}^{0} - K(\epsilon) * u_{x}^{\epsilon} \\ \tilde{u}(x,0) = 0, \tilde{u}_{t}(x,0) = 0$$
가 성립한다.
여기서부터 어떻게 접근해야할지 모르겠다...