A Proof a Day keeps Dementia Away

초등학교 및 중학교 때 우리는 통상적인 Euclid 기하에서 면적에 관련한 다양한 공식들을 배운다.

예컨대 밑변의 길이가 s, 높이가 h인 삼각형의 면적은 

$$ Area[\triangle ABC] = \frac{1}{2} sh$$

로 주어짐을 상기하자.

 

이 때 이 수치가 구체적으로 무엇을 의미하는가에 대해서 생각을 해 보면, 예컨대 다음의 답을 할 수 있을 것이다:

예컨대 밑변의 길이가 10, 높이가 10인 삼각형의 면적은 50이고,

이는 이 삼각형을 적절히 자르고 다시 붙였을 때 가로의 길이가 10, 세로의 길이가 5인 직사각형을 만들 수 있다는 의미이고, 또 가로의 길이가 1, 세로의 길이가 1인 정사각형 50개를 만들 수 있다는 의미이다.

또 다른 방법으로 이해하자면, (이 방법은 조금 작위적이긴 하지만) 면적 총합이 50인 다른 삼각형들을 적절히 붙여서 가로가 10, 세로가 10인 정사각형을 만들 수 있다는 의미이다. 예컨대 가로 10, 세로 5인 정사각형 역시 면적 총합이 50인 다른 삼각형들을 적절히 붙여서 가로 10, 세로 10의 정사각형을 만들 수 있을 것이다.

 

 

이제 여기서 던질 수 있는 질문들은 다음과 같다:

(1) 앞서 우리가 선분의 길이에 실수를 붙일 수 있던 것은 아르키메데스 공리 덕임을 알았다. 이제 이 공리 없이도 면적에 관한 이론을 전개하여 초등학교 때 배운 공식들을 유도할 수 있을까?

(2) 또한, 이렇게 전개한 이론이 우리의 직관과 일치하도록 할 수 있는가? 이는 뒤에 살펴볼 개념이지만, 면적이 같은 도형은 동형분할 가능하며 동형합성 가능한가?

 

 

5단원. 평면 면적 이론은 이 질문들에 대한 대답을 다룬다. 특히 이 단원은 Pascal의 정리가 결과들의 유도에 있어서 중요한 역할을 맡는다.

Hilbert 저 책의 영어 번역본인 Foundations of Geometry에서는 다음과 같이 서술되어 있다:

 

"This manner of establishing the theory of areas seems to me a very remarkable application of Pascal’s theorem to elementary geometry."

 

 

이 글에서는 동형합성과 동형분할의 개념을 살펴보고, 이와 관련된 기초적인 정리들을 증명할 예정이다.

 

단순다각형의 정의를 상기하라:

 

정의. (단순다각형)

점 $A_{1}, A_{2}, ..., A_{n}$에 대해서 선분 $A_{i}A_{i+1} \space (i=1,...,n-1), A_{n}A_{1}$들이 다음을 만족한다 하자:

 

(i) 어느 점 $A_{i}$도 선분 위에 있지 않다.

(ii) 임의의 두 선분의 교점은 항상 점 $A_{i} \space i=1,...,n$ 중 하나이다.

 

이제 이 점들을 단순다각형의 꼭지점, 선분들을 단순다각형의 변이라 부른다.

 

 

 

또한 모든 다각형은 평면을 내부와 외부로 구분함을 상기하라.

 

 

 

정의 5.1 (단순 다각형의 분할)

하나의 단순 다각형 $P$의 변들 상의 두 점을, 자신과 교차하지 않고 다각형 내부에만 있는 다각 선분으로 연결하면 $P$의 모든 내부점들은 두 개의 새로운 단순 다각형 $P_{1}, P_{2}$로 나누어진다. 이제 $P = P_{1} + P_{2}$로 표기하며, $P$는 $P_{1}, P_{2}$로 분할된다 또는 $P_{1}, P_{2}$는 $P$를 분할한다고 한다.

 

 

정의 5.2 (동형분할)

두 개의 단순 다각형 $P,Q$가 서로 쌍으로 합동인 유한 개의 삼각형들로 분할될 때 이 둘은 서로 동형분할이 가능하다고 하고

$$P \cong Q$$

로 표기한다.

 

동형분할 관계가 대칭적이고 재귀적임은 쉽게 알 수 있다.

 

 

 

정의 5.3 (동형합성)

두 개의 단순 다각형 $P,Q$에 서로 동형분할 가능한 유한 쌍의 다각형들 $P_{1}, Q_{1} ; ... ; P_{k}, Q_{k} \space (P_{i} \cong Q_{i})$를 각각 적절히 합성하여 만들어진 다각형 $P+P_{1}+...+P_{k}$와 $Q+Q_{1}+...+Q_{k}$가 서로 동형분할 가능할 때 그들은 서로 동형합성 가능하다고 하고 $P \sim Q$로 표기한다.

 

단순다각형 $P,Q,R$에 대해서 $P,Q$가 $R$을 분할하면 $R$은 $P,Q$의 합성이라고 정의할 수 있다.

 

동형합성 관계 역시 재귀적이고 대칭적임을 쉽게 알 수 있다.

 

 

다음의 명제들이 성립한다:

 

명제 1.

$P \cong Q \Rightarrow P \~ Q$

증명.

$P,Q$가 서로 동형분할 가능하다 하자.

이제 유한 쌍의 다각형 (0개의 다각형)들을 적절히 합성하여 만들어진 다각형 $P,Q$가 서로 동형분할 가능하므로 $P~Q$이다.

 

 

명제 2.

$P \cong Q$이고 $P_{1} \cong Q_{1}$이면 $P + P_{1} \cong Q + Q_{1}$이다.

증명.

동형분할성의 정의에 의해,

$$P = K_{1} + K_{2} + ... + K_{m}, Q = J_{1} + ... + J_{m} \\ K_{i} \cong J_{i}$$가 성립하는 삼각형 $K_{1},...,K_{m}, J_{1},...,J_{m}$이 있다. 

또한

$$P_{1} = K_{m+1} +... + K_{n}, Q_{1} = J_{m+1} + ... + J_{n} \\ K_{i} \cong J_{i}$$가 성립하는 삼각형 $K_{m+1},...,K_{n},J_{m+1},...,J_{n}$ 또한 존재한다.

 

이제 단순다각형 $R = P + P_{1}$을 삼각형 $K_{1}, ..., K_{m}, K_{m+1},... ,K_{n}$로 분할할 수 있고, $S = Q + Q_{1}$ 또한 삼각형 $J_{1}, ..., J_{n}$으로 분할할 수 있으므로 $R \cong S$이다.

 

 

아르키메데스 공리가 성립하는 통상적인 Euclid 기하에서는 동형합성성과 동형분할성이 동치이다. 그러나 Non-archimedean 기하에서는 둘이 동치가 아닌데, 동형합성 가능하지만 동형분할은 불가능한 두 도형의 예는 추후 제시할 예정이다.

 

 

다음의 보조정리는 동형분할성과 동형합성성 관계가 추이적임을 보인다.

 

보조정리 5.1

다음이 성립한다:

$$(i) \space P_{1} \cong Q, P_{2} \cong Q \Rightarrow P_{1} \cong P_{2} \\ (ii) \space P_{1} \sim Q, P_{2} \sim Q \Rightarrow P_{1} \sim P_{2}$$

 

증명.

(i)의 증명.

$P_{1} \cong Q$이므로, $Q$와 $P_{1}$에 유한 개의 선분 $\{l_{1}, ... l_{k}\}$을 그어 이 둘을 유한 개의 삼각형으로 분할할 수 있다. 이 삼각형들의 집합을 $S_{1}$이라 하자.

마찬가지로 $P_{2} \cong Q$이므로 $Q$와 $P_{2}$에 유한 개의 선분 $\{m_{1}, ... , m_{j}\}$을 그어 이 둘을 유한 개의 삼각형으로 분할할 수 있다. 이 삼각형들의 집합을 $S_{2}$라 하자.

 

이제 $Q$에 $\{l_{1}, ... , l_{k}\} \cup \{m_{1}, ..., m_{j} \}$를 모두 작도한다. 이는 동시에 두 가지를 의미한다:

(i) $S_{1}$에 속한 삼각형들이 $\{m_{1}, ... , m_{j} \}$에 의해 다각형들로 세분된다. 여기에 추가적으로 선분들을 작도하여 $S_{1}$의 삼각형들을 더 작은 삼각형들로 세분할 수 있다.

(ii) $S_{2}$에 속한 삼각형들이 $\{l_{1}, ... , l_{k} \}$에 의해 다각형들로 세분된다. 마찬가지로 추가적으로 선분들을 작도하여 더 작은 삼각형들로 세분한다.

 

이제 $P_{1}$을 $Q$와 동형분할했을 때 생기는 $S_{1}$에 대해서 (i)의 결과를 도출하도록 다각선분들을 작도하고, $P_{2}$를 $Q$와 동형분할할 때 생기는 $S_{2}$에 대해서 (ii)의 결과를 도출하도록 다각선분들을 작도할 수 있다.

그런데 두 결과 모두 $Q$라는 한 단순 다각형에 선분들을 작도하여 삼각형들로 분할한 결과이므로, $P_{1} \cong P_{2}$이다.

 

 

(ii)의 증명.

이제 $P \sim Q, R \sim Q$라 가정하자.

이제 서로 동형분할 가능한 다각형 $P_{1} \cong Q_{1}, R_{1} \cong Q_{2}$인 다각형 $P_{1}, R_{1}, Q_{1}, Q_{2}$가 존재하여

$$P + P_{1} \cong Q + Q_{1} \\ R + R_{1} \cong Q + Q_{2}$$

가 성립한다.

 

 

이제 $Q_{1}, Q_{2}$를 $Q$에 합성한 위치 그대로 두고 볼 때 둘의 합 다각형 $Q_{1} \cup Q_{2}$와 공통 다각형 $D = Q_{1} \cap Q_{2}$를 만들 수 있고 이들은 다음과 같은 관계이다:

 

$$Q_{1} \cup Q_{2} = Q_{1}' + D + Q_{2}' = Q_{1} + Q_{2}' + Q_{1}' + Q_{2}$$

 

여기서 $Q_{i}' + D = Q_{i}$가 되도록 $Q_{1}, Q_{2}$를 정의한다.

 

따라서 $P_{1} + Q_{2}' \cong Q_{1} + Q_{2}' = Q_{1}' + Q_{2} \cong R_{1} + Q_{1}'$이다.

 

 

이제

$$P + P_{1} + Q_{2}' \cong Q + Q_{1} + Q_{2}' \cong R + R_{1} + Q_{1}'$$

이므로, $P \sim R$이다. $\square$

 

 

 

직사각형, 평행사변형의 밑변과 높이, 삼각형의 밑변과 높이를 보통의 방법 (수직선을 그어서 정의하는 방법)으로 정의할 다음의 보조정리를 얻을 수 있다:

 

 

보조정리 5.2

밑변과 높이가 같은 두 평행사변형은 서로 동형합성 가능하다.

증명.

$\square ABCD, \square A'B'C'D'$가 밑변과 높이가 같은 평행사변형이라 하자.

이제 일반성을 잃지 않고 $\square A'B'C'D'$가 $\overline{AB} = \overline{A'B'}$라고 하고, $\overline{CD}, \overline{C'D'}$가 같은 직선 위의 두 선분이라 하자. (아니라면, $\square A'B'C'D'$과 합동인 평행사변형을 작도하여 이렇게 만들 수 있다.)

 

만약 $\overline{CD} = \overline{C'D'}$이면 두 평행사변형이 합동이므로 동형분할 가능하고, 따라서 동형합성 가능하다.

 

만약 $\overline{CD} \cap \overline{C'D'} \neq \emptyset$이면, 일반성을 잃지 않고 순서 관계상 $CC'DD'$가 성립한다 하자.

이제 $\triangle ACC' \equiv \triangle BDD'$이고,

$$\square ABCD = \triangle ACC' + \sqaure ABDC' \\ \square A'B'C'D' = \triangle BDD'  \square ABDC'$$가 성립하므로 두 평행사변형은 동형합성 가능하다.

 

만약 $\overline{CD} \cap \overline{C'D'} = \emptyset$이더라도, $\triangle ACC' \equiv \triangle BDD'$임을 쉽게 알 수 있다. 또한 순서 관계상 $CDC'D'$가 성립한다 하면, Pasch 공리에 의해 $\overline{AC'} \cap \overline{BD} = E$가 존재해야 하므로, $\square ABCD + \triangle C'DE = \triangle ACC' + \triangle ABE \cong \triangle BDD' + \triangle ABE = \square A'B'C'D' + \triangle C'DE$이므로, $\square ABCD \sim \square A'B'C'D'$임을 안다. $\square$

 

 

보조정리 5.3

임의의 한 삼각형은 밑변이 같고 높이가 반이 되는 평행사변형과 동형분할 가능하다.

증명.

$\triangle ABC$에 대해서 $\overline{AC}$의 중점을 $D$, $\overline{DE}$의 중점을 $E$라 둔다. 이제 $\overline{EF} \cong \overline{DE}$가 되도록 $F$를 반직선 $\overrightarrow{DE}$ 상에 작도한다.

이제 $\triangle CDE \equiv \triangle BEF$이므로, $\triangle ABC \cong \square ABFC$이다. $\square$

 

 

정리 5.4

밑변과 높이가 같은 두 삼각형은 서로 동형합성 가능하다.

증명.

$\triangle ABC, \triangle DEF$가 밑변과 높이가 같다 하자.

이제 보조정리 5.3의 조건을 만족하도록 $\triangle ABC \cong \square K_{1}$, $\triangle DEF \cong \square K_{2}$를 작도하자. 이제 $\square K_{1}, \square K_{2}$는 밑변과 높이가 같으므로 동형합성 가능하고, 동형합성 관계의 추이성에 의해 증명이 완료된다. $\square$

 

 

정리 5.5

임의의 삼각형에 대해서 이것과 동형합성 가능하고 한 변의 길이가 1인 직각삼각형을 만들 수 있다.

증명.

보조정리 5.3에 의해 임의의 삼각형은 밑변이 같은 한 평행사변형과 동형분할 가능하고 또 이것은 보조정리 5.2에 의해 밑변이 같은 한 직사각형과 동형합성 가능하다.

이제 임의의 직사각형은 밑변의 길이가 1인 어떤 직사각형과 동형합성 가능하다는 것만 보이면 이는 다시 한 변이 1인 어떤 직각삼각형과 동형합성 가능할 것이다 (보조정리 5.3).

 

따라서 다음의 보조정리를 증명하는 것으로 증명을 마칠 수 있다.

 

보조정리.

임의의 직사각형은 한 변의 길이가 1인 다른 직사각형과 동형합성 가능하다.

보조정리의 증명.

$\square ABCD$가 직사각형이라 하자. 이제 $\overrightarrow{CD}$에 있으면서 $\overline{DE}$가 단위길이가 되도록 $E$를 작도한다. 이제 $\overline{AE}$와 평행하면서 $C$를 지나는 직선을 그리고, $\overrightarrow{AD}$와의 교점을 $F$라 하자.

이제 $\square DEGF$가 직사각형이 되도록 점 $G$를 잡는다. 이 직사각형이 찾던 직사각형임을 보일 것이다. $\overrightarrow{CF}$ 위에 있으면서 $\overline{FI} \equiv \overline{AE}$가 되도록 $I$를 잡고, $\overrightarrow{FC}$ 위에 있으면서 $\overline{CJ} \equiv \overline{AE}$가 되도록 $J$를 잡는다.

 

이제 $\triangle FGI \equiv \triangle AED \equiv \triangle BCJ$임을 알고, $\triangle IGF + \square DEGF + \triangle AED = \square AEIF$는 평행사변형임을 안다. 또한 $\triangle BCJ + \square ABC + \square AED = \square AECJ$ 역시 평행사변형이고, $\square AEIF$와 밑변 높이가 같음을 안다. 따라서 이 둘은 동형합성이고, $\square ABCD \sim \square DEGF$이다. $\square$

 

 

이상으로 동형합성, 동형분할의 기초적인 정리들을 증명하였다.

 

다음 연재에는 동형합성에 기초하여 삼각형, 다각형의 면적 이론을 본격적으로 전개해 나가고자 한다.

 

 

#주석. 정리 5.5를 증명함에 있어서 단위 길이라는 표현 자체가 부적절한 것이 아닌가 하는 의문이 들 수 있다. 애초에 아르키메데스 공리를 이용해야 실수와 선분 길이의 대응이 되기 때문이다.

그러나 아르키메데스 공리가 없는 것은, 선분 길이가 실수보다 '많음'을 의미하고, 특히 무한소의 존재를 의미하지, 단위 선분을 작도하고 그것의 $k$배가 되는 선분의 길이를 $k$라 부르는 데에 문제가 있음을 의미하지는 않는다. (그것은 합동 공리만으로 충분히 할 수 있는 일이다.)