08.02 컨볼루션이 들어간 ODE??

오늘은 뭔갈 많이 하진 못했지만, PDE보다 더 간단한 ODE

$$u = K*u$$

의 해가 무엇일까 고민을 해 보았다. 이걸 만족하는 u가 만약 원래 Xin-Jin model의 해도 된다면 금상첨화일 것이겠지만, 그것까지 기대하는 것은 아니고 그냥 컨볼루션이 도대체 미분방정식에 뭘 하는가를 더 잘 이해하는 것이 목표이다.

 

 

처음 했던 생각은 우리가 $u' = u$의 해를 구하기 위해 양변에 $e^{-x}$를 곱한 다음 이항을 하여 식 전체를 하나의 미분으로 이해하는 것처럼, $e^{K*U}$ (U는 u의 antiderivative)를 곱할 수 없나 했지만, 문제는 u가 명시적으로 들어와버리는 식은 곱해봤자 아무짝에도 쓸모가 없다는 것이었다.

 

 

그래서 결국 진전은 별로 없었고, 단지 특정한 $K$에 대해 해가 되는 $u$가 무엇인지를 생각해보았다. 그 결과 두 가지 경우가 떠올랐다:

$K(\tau) = H(-\tau)e^{2\tau}, u(x) = e^{x}$ (H는 heaviside function)와

$K(\tau) = \frac{1}{2} H(\tau - \frac{\pi}{2}) H(-\tau - \frac{\pi}{2}), u(x) = sin(x)$

가 해가 됨을 계산으로 확인하였다.

 

 

첫번째 경우, 함수 u와 커널 K가 형태적으로 유사하였고, 지수함수라는 점 덕분에 $u(x-\tau)$를 "옮겨버릴" 수 있었다. 두번째 경우도 결국 옮겨버릴 수 있다는 점이 꽤 중요하게 작용하는 것 같았다.

 

 

기록만 해두고, 좀 더 의미 있는 논의는 내일 해봐야겠다.