Reflection groups and Coxeter groups - 08.02

100만년 만에 돌아왔다!

자율연구 보고서를 오늘 제출하여서 드디어 시간이 생겼다.

 

지난번에 positive Coxeter graphs를 살펴본 이후로, 오늘은 Affine reflection groups를 시작해보고자 한다.

다만 내용을 살펴보니, 2장의 일부분을 조금은 다시 다룰 필요가 있는 것 같아 그 부분도 살펴보고자 한다.

 

 

<개념 보충>

Def. (crystallographic group)

General linear group GL(V)의 부분군 G가 crystallogrphic 하다는 것은, 어떤 V의 기저 $\beta$와 $\beta$의 $\mathbb{Z}$-span $L$ (격자 lattice를 의미)에 대해, G가 L을 stabilize함을 의미한다.

즉, G가 V 위의 group action을 정의하는데, L 위의 원소들은 항상 L 위의 원소들에만 남는다는 것을 의미한다.

 

 

Def. (crystallographic root system)

유클리드 공간 V의 root system $\Phi$가 crystallographic하다는 것은, 

$$\forall \alpha,\beta \in \Phi, \frac{2(\alpha,\beta)}{(\beta,\beta)} \in \mathbb{Z}$$

를 의미한다.

 

 

Def. (Weyl group)

유클리드 공간 V 위의 유한반사군이면서 crystallographic group인 군 W를 Weyl group이라 부른다.

 

 

Prop. $\Phi$가 crystallographic root system이면, $\Phi$에 의해 정의되는 반사들로 이루어지는 군은 Weyl group이다.

증명. $\Phi$의 simple system $\Delta$를 취해보면 이것이 격자의 기저 $\beta$가 된다.

 

 

 

오늘의 아이디어: 우리는 유한반사군을 이해하기 위해 simple system을 이해하는 것으로 족함을 살펴보고, 유한반사군은 항상 Coxeter system이 되고 따라서 추상적인 군으로써 유한히 생성되고 간단한 관계를 가짐을 보았다. 이제 원점을 지나는 초평면이 아닌 초평면에 대한 반사들로 이루어지는 군도 Coxeter system이 되지 않을까?

 

 

 

오늘의 요약:

1. 아핀변환 Aff(V)는 GL(V)와 V의 반직접곱 $GL(V) \ltimes V$이다 (따라서 집합으로서는 순서쌍이고, 연산에 대해서는 $(g,v) \times (h,v') = (g(vhv^{-1}), vv')$으로 정의한다).

 

2. Crystallographic root system $\Phi$와 Weyl group $W$가 주어졌다 하자. $H_{\alpha,k} := \{v\in V| (v,\alpha) = k\} , \mathcal{H} := \{H_{\alpha,k}| \alpha \in \Phi, k\in \mathbb{Z}\}$로 정의하고, $H_{\alpha,k}$에 대한 반사를 $s_{\alpha,k}$로 정의하자. 이제, 다음의 명제가 성립한다:

 

$$(a) w\in W \Rightarrow wH_{\alpha,k} = H_{w\alpha,k}, ws_{\alpha,k}w^{-1} = s_{w\alpha.k}\\ (b) \text{If } \forall \alpha\in \Phi, (\lambda, \alpha) \in \mathbb{Z}, t(\lambda) H_{\alpha,k} = H_{\alpha, k+(\lambda,\alpha)}, t(\lambda) s_{\alpha,k} t(\lambda)^{-1} = s_{\alpha, k+(\lambda,\alpha)}$$

 

 

Rmk. 명제의 증명은 단순계산이다. 다만, 유한반사군과 아핀반사군의 경우가 어떻게 다를지 추측하고자 한다.

일단, 우리가 다루는 아핀반사군은 $s_{\alpha,k}$들로 생성되는 군일 것이다. 유한반사군의 경우 어떤 반사에 대응되는 벡터가 존재하였고, root system $\Phi$에서 W에 의해 $\Phi$의 벡터들이 치환되었다. 그런데 아핀반사군의 경우 반사에 대응되는 벡터는 더 이상 존재하지 않고, 대신 초평면들은 존재한다. 따라서 root system에서 정의를 시작하지만, 결국은 개별적인 벡터들을 보는 것이 아니라, 초평면들의 유한 부분집합에서 시작하고, 그 부분집합에 대응되는 반사들을 적당히 합성하면 $\mathcal{H}$ 전체에 항상 도달할 수 있냐가 주 관심사가 될 것이다 (simple system과 비슷한 것을 만들어내는 것이 목표일 것이기 때문).

 

뒷부분을 이미 살짝 본 입장에서, 그것이 아마 alcove의 동기가 아닐까 추측한다. 그런데 초평면들 자체를 그냥 살펴보지 않고 굳이 alcove라는 새로운 개념을 왜 도입하는지는 아직 모르겠다. 또한, 왜 $\Phi$가 crystallographic하다는 것이 그리 중요한지도 모르겠다.