7. 함수열과 함수의 급수 - Equicontinuity (Part 1)

* 2022.09.13, 2022.09.15 수업의 복습입니다.*

 

#주석.

함수열의 연속과 관련한 단어들이 둘이다 보니 (uniformly continuous / equicontinuous) 이제는 번역을 어떻게 해야 할지 모르겠다. 앞으로는 그냥 영어 표현을 있는 대로 쓰겠다.

 

해개연 1 범위에서 배운 다음의 사실을 상기하자:

실수/복소수로 만들어진 수열 $(x_n)_{n\geq 1}$이 유계라 하자. 즉 어떤 실수 $R >0$이 존재하여 $\forall n\in\mathbb{N}, |x_{n}| < R$가 성립한다 하자.

우리는 이 수열에는 항상 수렴하는 부분수열이 있다는 사실을 배웠다. 

 

이제 함수열과 관련하여 유사한 질문들을 던지고자 한다. 특히, 함수열이 "유계"일 때, 균등수렴(uniformly converge)하는 부분수열이 존재하는지가 큰 관심의 대상이 될 것이다. 점별수렴이 아니라 균등수렴을 다루는 이유는, 함수공간 자체를 하나의 거리공간으로 볼 때 수렴의 자연스러운 개념이 균등수렴이기 때문이다.

 

 

이제 "유계"에 대해 더 곰곰히 생각할 필요가 있다. 어떤 복소수열 $(x_{n})_{n\geq 1}$이 유계라는 것은 어떤 수 $M \in \mathbb{R}$이 존재하여 $n \in \mathbb{N} \Rightarrow |x_{n}| < M$이 성립하는 것이었다. 유계인 함수는 그 자체에 노름을 줄 수 있었음을 상기하면, 어떤 함수열 $(f_{n})_{n \geq 1}$이 유계라는 것 역시, 어떤 수 $M \in \mathbb{R}$이 존재하여 $n \in \mathbb{N} \Rightarrow ||f_{n}|| < M$이 성립하는 것이라 할 수 있다. 즉, $$sup_{n \in \mathbb{N}} sup_{x \in E} |f_{n}(x)| \leq M$$이 성립하는 수 $M$이 존재하는 것이다. 이 성질을 만족하는 함수열 $f_{n}$은 균등유계 (uniformly bounded)인 함수열이라 부른다.

 

 

이에 반해, $sup_{x \in E}$ 조건을 제외하고, 각 $x\in E$에 대해서 복소수열 $(f_{n}(x))_{n \geq 1}$이 수렴하면, 이 함수열은 점별유계 (pointwise bounded)인 함수열이라 부른다. 점별유계는 어찌보면 생각해내기 더 쉬운 개념이지만, 함수공간 자체를 분석하는 데에는 균등유계 개념이 더 유용하다고 할 수 있겠다.

 

 

이제 본 질문으로 돌아가서, 함수열 $f_{n}: (X,d) \supset E \to \mathbb{C}$이 균등유계/ 점별유계라 하자. $f_{n}$의 부분수열 $f_{n_{k}}$가 존재하여 $f_{n_{k}}$가 $E$서 정의된 어떤 함수로 점별수렴할 수 있는가?

 

우선 살펴볼 것은, $E$가 한 점에 불과할 때에는 $(f_{n})_{n \geq 1}$이 수열과 다름이 없어져서, 이미 해석개론 1 범위에서 살펴본 Heine-Borel 정리에 의해 수렴하는 부분수열이 존재할 것이다.

 

비슷한 논리로, $E$의 원소의 유한할 때에도 이러한 부분수열을 항상 잡을 수 있을 것이다. 그렇다면 $E$의 원소가 "너무 많아지는" 시점은 언제인가? 다음의 정리는 "가산일 때는 괜찮다"라는 부분적인 답을 준다:

 

 

정리 7.23

$E$는 가산집합 (countably infinite)이고, 함수열 $f_{n}: (X,d) \supset E \to \mathbb{C}$가 점별유계라 하자.

이제 $f_{n}$의 부분수열 $f_{n_{k}}$가 존재하여, 어떤 함수 $f: E \to \mathbb{C}$로 점별수렴한다.

 

 

증명.

$E$가 가산이므로, 수열 $(x_{i})_{i \geq 1}$로 $E$의 원소들을 모두 나열할 수 있다. 따라서 앞으로는 일반성을 잃지 않고 $E = \{x_{1}, x_{2}, ... \}$이라 하자.

 

$x_{1}$을 고정하자. 이제 $(f_{n}(x_{1}))_{n \geq 1}$은 유계인 복소수열이므로, Heine-Borel 정리에 의해 수렴하는 부분수열을 가진다. 이 부분수열을 $(g^{1}_{k})_{k \geq 1}$이라 하자.

 

이제 $x_{2}$를 고정하자. 이제 $(f_{n}(x_{2}))_{n \geq 1}$은 유계인 복소수열이므로, $(g^{1}_{k}(x_{2}))_{k \geq 1}$ 역시 유계인 복소수열이고, 따라서 수렴하는 부분수열을 가진다. 이 부분수열을 $(g^{2}_{k})_{k \geq 1}$이라 하자.

 

 

마찬가지로 부분수열들 $g^{1}_{k}, g^{2}_{k}, ... , g^{i}_{k}$가 위의 과정을 거쳐서 만들어졌다 하자. 이제 $(g^{i}_{k}(x_{i+1}))_{k \geq 1}$은 유계인 복소수열이므로 수렴하는 부분수열 $g^{i+1}_{k}$를 가진다. 이럴 수 있는 것은 Heine-Borel 정리 덕분이다.

 

특히, 부분수열의 모든 항들은 원래 수열에서의 아래첨자가 오름차순으로 오도록 정렬한다 하자. 예컨대 $\{g^{1}_{k}\}_{k \geq 1} = \{f_{1}, f_{3}, f_{5}, ... \}$이라 하면, $g^{1}_{k} = f_{2k-1}$이 되도록 하는 식이다. 이는 단순히 부분수열을 원래 함수열로 치환할 때 아래첨자가 오름차순으로 오도록 하기 위함이다. 

 

 

이제 모든 부분수열의 항들 $g^{i}_{k}$를 하나의 2차원 배열로 나열해보자:

 

$x_{1}$서 수렴	$g^{1}_{1}$	$g^{1}_{2}$	$g^{1}_{3}$	...
$x_{1}, x_{2}$서 수렴	$g^{2}_{1}$	$g^{2}_{2}$	$g^{2}_{3}$	...
$x_{1}, x_{2}, x_{3}$서 수렴	$g^{3}_{1}$	$g^{3}_{2}$	$g^{3}_{3}$	...
$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$서 수렴	$g^{4}_{1}$	$g^{4}_{2}$	$g^{4}_{3}$	...
....	...	...	...	...

 

이제 다음과 같이 대각선 성분들만을 택한다 하자:

$h_{k} := g^{k}_{k}$

 

이 $h_{k}$는 $(f_{n})_{n\geq 1}$의 부분수열임은 명백하다. 이제 이것이 점별수렴함을 보일 것이다.

$x_{i} \in E$를 고정하자.

우리는 $(g^{i}_{k}(x_{i}))_{k \geq 1}$이 수렴함을 알기 때문에 다음의 사실도 안다:

 

$$ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N} \space s.t. \space n,m \geq N \Rightarrow |g^{i}_{N}(x_{i}) - g^{i}_{M}(x_{i})| < \epsilon$$

 

이제 $\epsilon >0$을 고정하자. 위에서 구해진 $N$을 생각해보자.

 

$$n,m \geq N \Rightarrow |h_{n}(x_{i}) - h_{m}(x_{i})| = |g_{n}^{n}(x_{i}) - g_{m}^{m}(x_{i})|  \\ \leq |g_{n}^{n}(x_{i}) - g_{n}^{m}(x_{i})| + |g_{n}^{m}(x_{i}) - g_{m}^{m}(x_{i})| \\ \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

임을 안다.

 

여기서 마지막 부등식이 성립하는 이유를 설명하고자 한다.

 

앞서 $n,m \geq N$이라 했으므로 $g_{n}^{m}, g_{n}^{n}, g_{m}^{m}$ 모두 $(g^{N}_{k})_{k \geq 1}$의 어떤 항일 것이다. 특히, 아랫첨자가 무조건 오름차순으로 오도록 정렬하기로 하였으므로, $g^{n}_{n} = g^{N}_{k}$인 $k$가 존재하며, 더군다나 $k \geq n \geq N$이다. 마찬가지 논리로 $g^{n}_{m} = g^{N}_{k}$인 $k$가 존재하며 더군다나 $k \geq m \geq N$이다. 이제 $(g^{N}_{k})_{k\geq 1}$가 코시라는 점으로부터 원하는 부등식이 유도된다.

 

 

 

이제 함수열의 수렴하는 부분수열과 관련하여 다음의 큰 질문 두 가지를 던져볼 수 있다:

 

 

질문 1. 균등유계인 함수열이 존재할 때, 점별수렴하는 부분수열이 있는가?

반례. $f_{n}: [0,2\pi] \to \mathbb{R}, f_{n}(x) = sin(nx)$라 하자. 이 함수열은 균등유계이면서 ($sup_{x\in [0,2\pi]) sup_{n\in\mathbb{N}} |f_{n}(x)| \leq 1$) 옹골집합에서 정의된 연속함수열이다.

 

그러나 이 함수열에서 점별수렴하는 부분수열이 없음을 보이고자 한다. 이를 위해서 11단원에서 배우는 정리를 하나 이용하고자 한다.

 

귀류법을 사용하여 증명을 한다. 점별수렴하는 부분수열 $f_{n_{k}}$가 존재한다 가정하자. 이제 이 부분수열은 코시일 것이므로,

 

$$ \lim_{k \to \infty} sin(n_{k}x) - sin(n_{k+1}x) = 0$$

이고

 

따라서 $$ \int_{0}^{2\pi}\lim_{k \to \infty}((sin(n_{k}x) - sin(n_{k+1}x))^{2}) dx \\ = \lim_{k \to \infty} \int_{0}^{2\pi} (sin(n_{k}x) - sin(n_{k+1}x))^{2} dx = 0$$일 것이다. 여기서 극한을 적분기호 안으로 넣는 데에 11장의 정리가 사용되었다.

그런데 $n,m\in\mathbb{N}, n\neq m \Rightarrow \int_{0}^{2\pi} (sin(nx) - sin(mx))^{2} dx =2\pi$임을 알기 때문에 이것은 모순이다.

 

 

질문 2. 균등유계인 함수열이 존재하며 이 함수열이 점별수렴할 때, 균등수렴하는 부분수열이 있는가?

반례. $f_{n}: [0,1] \to \mathbb{R}, f_{n}(x) = \frac{x^{2}}{x^{2} +(1-nx)^{2}}$이라 하자.

$f_{n}$은 균등유계이며 (모든 $n,x$에 대해 $|f_{n}(x)| \leq 1$이다) $x=0$이면 $f_{n}(0) = 0$이고, $0 < x \leq 1$을 고정하면 $\lim_{n \to \infty} f_{n}(x) = 0$이므로 $f \equiv 0$으로 점별수렴한다.

또한 $f_{n}$은 옹골집합에서 정의된 연속함수열이다.

 

그러나 $f_{n}$에는 균등수렴하는 부분수열이 존재할 수 없다. 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해, $f_{n}(\frac{1}{n}) = 1$임에 주목하라. 따라서 정리 7.9?에 의해 이 함수열의 임의의 부분수열은 0으로 균등수렴할 수 없다.

 

 

 

사실 이러한 (직관적으로는 성립할 법한) 정리들이 무너지는 이유는 $E$의 원소들이 "너무 많기" 때문이다. 즉, 함수열 $f_{n}$이 균등유계다 하더라도 결국 위의 예시들에서 살펴보았듯 비가산 개의 함수값들을 비가산 개의 점에서 택할 수 있으므로, 가산개의 항을 가지는 수열에서 점별수렴/균등수렴하는 부분수열을 택할 수 없는 것이다.

 

연속은 한 점의 근방에서 함수가 취할 수 있는 값들에 제한을 가했다. 균등연속은 한 가지 함수가 전역적으로 변할 수 있는 범위를 제한했다. 위의 반례들에서는 함수열이 모두 균등연속이지만, 이것으로는 불충분함을 알 수 있다. 따라서 다음의 개념을 정의한다:

 

 

정의 7.22 (Equicontinuity)

$\mathcal{F}$은 $E \subset (X,d) \to \mathbb{C}$인 함수들의 집합이라 하자.

이제 $\mathcal{F}$가 equicontinuous하다는 것은 다음을 의미한다:

 

$$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 s.t. \forall x \in E \space and \space f \in \mathcal{F}, d(x,y) < \delta \Rightarrow  |f(x) - f(y)| < \epsilon$$

 

 

 

정리 7.24

$f_{n} : E \to\mathbb{C}$가 다음을 만족한다 하자:

1) $E$는 옹골집합이다.

2) $f_{n}$은 각각 유계이고 연속이다.

3) $f_{n} \rightarrow_{u} f$인 $f$가 존재한다.

 

이제 $\mathcal{F} := \{f_{n} | n \in \mathbb{N} \}$은 equicontinuous하다.

 

증명.

$\epsilon > 0$을 잡는다.

$f_{n} \rightarrow_{u} f$이므로 $\exists N\in\mathbb{N} \space s.t. \space n \geq N \Rightarrow ||f_{n} - f|| < \ frac{epsilon}{3}$이다.

또한, 정리 7.12에 의해 $f$는 연속이고, $E$는 옹골집합이므로 $f$는 균등연속이다.

따라서 $\exists \delta >0, \space s.t. \space \forall x \in E, d(x,y)<\delta \Rightarrow  |f(x) - f(y)| < \frac{epsilon}{3}$.

 

이제 $d(x,y)<\delta, n \geq N$이라 하자. $|f_{n}(x) - f_{n}(y)| < |f_{n}(x) - f(x)| + |f(x) - f(y)| + |f(y) - f_{n}(y)| < \epsilon$이다.

 

이제 $n < N$인 경우는, 각 $f_{n}$이 균등연속이므로, $\exists \delta_{n} > 0 \space s.t. \space \forall x\in E, d(x,y)<\delta_{n} \Rightarrow |f_{n}(x) - f_{n}(y)| < \epsilon$이다.

 

따라서 $\delta^{*} := min\{ \delta_{1}, ... , \delta_{N-1}, \delta\}$이라 두면,

 

$$ \forall x \in E, \forall n \in \mathbb{N}, d(x,y)< \delta \Rightarrow |f_{n}(x) - f_{n}(y)| < \epsilon$$

이 성립하므로 $\mathcal{F}$이 equicontinuous하다. $\square$

 

 

정리 7.25

$f_{n} : E \to \mathbb{C}$가 다음을 만족한다 하자:

1) $E$는 옹골집합이다.

2) $f_{n}$은 점별유계이다.

3) $\mathcal{F} = \{f_{n} | n \in \mathbb{N} \}$은 equicontinuous하다.

 

이제 $f_{n}$은 균등수렴하는 부분수열이 존재한다.

 

 

증명.

$E$는 옹골집합이므로, 연습문제 2.25에 의해 조밀하면서 가산인 부분집합 $E'$이 존재한다. ($\delta_{n} = \frac{1}{n}$인 근방들로 $E$를 덮고 거기서 여전히 $E$를 덮는 유한 개를 택할 수 있다; 이 과정을 모든 자연수 $n$에 대해 반복하면 된다.)

 

이제 정리 7.23에 의해, $E'$서 점별수렴하는 부분수열 $f_{n_{k}}$가 존재한다. 편의상 $g_{k} := f_{n_{k}}$라 하자.

 

$\epsilon > 0$을 잡는다. equicontinuity에 의해 $\exists \delta > 0 \space s.t. \space n \in \mathbb{N}, x \in E \Rightarrow |f_{n}(x) - f_{n}(y)| < \epsilon$이다. 이 조건에 부합하는 $\delta >0$을 잡는다.

 

이제 $E'$에서 유한 개의 원소들 $\{v_{1}, ... , v_{s}\}$를 택해, $x \in E \Rightarrow \exists 1 \leq i \leq s, d(x,v_{i}) < \delta$가 되도록 잡는다. (이는 $E$의 옹골성과 $E'$의 조밀성에 의해 가능하다)

 

이제 $g_{k}$는 유한 개의 원소들에서 점별수렴하므로, $\exists N \in \mathbb{N}, n,m \geq N \Rightarrow sup_{x \in \{v_{1}, ... , v_{s}\} |g_{n}(x) - g_{m}(x)| < \epsilon$이다.

 

이제 $g_{k}$가 균등수렴함을 보일 것이다. 이를 위해 $g_{k}$가 균등코시임을 보이면 족하다.

 

위에서 잡은 $\epsilon > 0$을 고려한다. 아무 $x\in E$를 잡는다. 특히 $d(x, v_{i}) < \delta$가 된다고 하자 (이것이 항상 존재함은 위에서 보였다.)

이제

$$n,m \geq N \Rightarrow |g_{n}(x) - g_{m}(x)| \\ \leq |g_{n}(x) - g_{n}(v_{i})|+|g_{n}(v_{i}) - g_{m}(v_{i})| + |g_{m}(v_{i}) - g_{m}(x)| \\ \leq 3\epsilon$$

가 성립한다.

첫 항과 셋째 항은 함수열의 equicontinuity에 의해 통제된다. 둘째 항은 유한집합 $\{v_{1}, ... , v_{s}\}$에서 $g_{k}$가 균등코시이기 때문에 통제된다.

 

따라서 우리는 $\epsilon$에 대응되는 $N$을 잡아서 부분함수열 $g_{k}$이 균등코시가 됨을 보였으므로 $g_{k}$가 균등수렴함을 보였다. $\square$

 

 

 

다음 글에서는 Stone-Weierstrass theorem과 그 일반화를 살펴볼 것이다. 이것의 motivation은 결국, "모든 연속 실함수를 우리가 잘 아는 함수들로 근사할 수 없을까?"에 대한 질문의 대답이다. 특히, Stone-Weierstrass Theorem은 구간서 정의된 연속 실함수는 다항함수열로 근사할 수 있음을 알려줄 것이다.