해석개론 1 범위 복습 (Part 2)

4. 함수의 극한과 연속

우리는 일반적인 거리공간을 정의역과 공역으로 가지는 함수를 생각한다. 이러한 논의는 일반적인 위상공간에서 정의된 함수로도 바로 연결된다.

 

$$f : (X, d_{X}) \supset E \rightarrow (Y, d_{Y})$$가 함수라고 하자.

 

정의 4.1 (함수의 극한)

$p \in E'$이라 하자. 즉 $p$는 정의역의 집적점이다. 이제 다음이 성립한다 하자:

 

$$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \space s.t. 0<d_{X} (p,x) < \delta \Rightarrow d_{Y} (L, f(x)) < \epsilon$$

 

이제 우리는 $\lim_{x \rightarrow p} f(x) = L$이라 표시한다.

 

몇 가지 점들을 명확히 짚고 넘어간다:

i) 왜 일반적인 $L$로 표기했는가? -> $p$가 $E'$에 있지 $E$에 있다는 보장이 없고, 설사 $E$에 있다 하더라도 함숫값과 다른 값으로 수렴할 수 있기 때문이다. (고등학교 수학 범위를 상기)

ii) $0 < d_{X} (p,x)$가 필요한 이유? -> 그 점의 근방만을 살펴보고 싶기 때문이다. 이래서 연속의 정의와는 달리 $p$가 집적점이여야만 한다. 집적점이 아니면 충분히 작은 $\delta >0$을 잡으면 거리가 $\epsilon$보다 작은 점이 자기 자신뿐이거나 아예 없어져서 명제가 공허참이 되기 때문이다.

 

 

이로부터 함수가 한 점에서 연속인 조건을 정의한다:

 

정의 4.2 (한 점에서 연속)

$f: (X,d_{X}) \supset E \rightarrow (Y,d_{Y})$라 하자. 이제 함수 $f$가 $p \in E$서 연속이라는 것은 다음을 의미한다:

 

$$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 s.t. d_{X} (p,x) < \delta \Rightarrow d_{Y} (f(p), f(x)) < \epsilon$$

 

 

만약 $p$가 집적점이 아니라면 $f$는 항상 $p$에서 항상 연속이다. $p$가 집적점이라면 $f$가 $p$서 연속일 조건은 다음과 같다:

 

$$ \lim_{x \rightarrow p} f(x) = f(p)$$

 

 

$f$가 $E$의 모든 점에서 연속이면 $f$는 $E$서 연속이라 한다.

$\epsilon-\delta$ 조건과 동치이면서 보다 일반적인 위상공간으로 확장될 수 있는 정의는 다음과 같다:

 

$f$가 $E$서 연속 $\Leftrightarrow$ $V \subset Y$가 열린 집합이면, $f^{-1}(V) \subset X$ 역시 열린 집합

 

 

 

연속함수는 앞서 2단원에서 살펴본 다양한 위상적 성질들을 보존한다는 장점을 가진다. 예컨대 다음의 사실들이 성립한다:

1) $f: (X,d_{X}) \rightarrow (Y,d_{Y})$라 하자. $E \subset X$가 연결집합이면, $f(E)$ 역시 연결집합이다.

2) $E \subset X$가 옹골집합이면, $f(E)$ 역시 옹골집합이다.

 

 

한편 $E$서 연속인 함수 $f$에 대해, 연속의 정의에서 $\epsilon$이 주어질 때 $x \in E$에 따라 선택할 수 있는 $\delta$가 달라짐을 쉽게 알 수 있다. 이러한 제약을 제거한 보다 강한 연속의 정의가 존재한다:

 

 

정의 4.3 (균등연속)

$f$의 조건들은 위에서와 같다 하자. 이제 $f$가 $E$서 균등연속(uniformly continuous)이라는 것은 다음을 의미한다:

 

$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 s.t. \forall p \ in E, d_{X} (x,p) < \delta \Rightarrow d_{Y} (f(x), f(p)) < \epsilon$$

 

즉 여기서는 $\delta$가 $p$에 의존하지 않는다.

 

eg. (균등연속이 아닌 함수)

$(0,1)$서 정의된 실함수 $f(x) = \frac{1}{x}$는 정의역에서 연속이지만 균등연속이 아니다.

 

 

마지막으로, 옹골집합에서 정의된 함수는 균등연속이라는 것을 증명할 수 있다.

 

 

5. 미분과 미분계수

고등학교 수준에서 배운 미분은 할선의 극한이었다. 해석개론 수준에서 배우는 미분 역시 크게 다르지 않다. 이 단원에서는 일변수 실함수를 다룬다.

 

$f : \mathbb{R} \subset E \rightarrow \mathbb{R}$이 일변수 실함수라고 하자. 또한 $p \in E'$이라 하자.

이제 $f$가 $p$에서 미분가능하다는 것은 다음을 의미한다:

 

$$ \exists L \in \mathbb{R}, \lim_{x \rightarrow p} \frac{f(x) - f(p)}{x-p} = L$$

 

즉 i) 미분가능성은 집적점에서만 이야기할 수 있고, ii) 어떤 몫의 극한이 존재하는지가 미분가능성을 논하는 데에 핵심적이다.

 

 

모든 $p \in E$에 대해서 미분가능한 함수를 (E에서) 미분가능한 함수라 한다.

 

 

이후에는 고등학교 수준에서 다룬 정리들을 복습한다.

 

명제 5.1

$p$에서 미분가능한 함수는 $p$서 연속이다.

 

정리 5.1 (최대최소 정리)

$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$이고 $f$가 연속이라 하자. 그러면 1) $f$는 유계이고, 2) $f$의 최댓값과 최솟값이 존재한다.

 

정리 5.2 (임계점 정리)

$f: \mathbb{R} \supset E \rightarrow \mathbb{R}$이라 하자. 또한 $f$가 $E$서 미분가능하다 하자. 이제 $p \in E$에서 $f$가 극솟값이나 극댓값을 가지면, $f'(p) = 0$이다.

 

 

정리 5.3 (롤의 정리)

$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$은 연속함수이고 $(a,b)$서 미분가능하다 하자. 이제 $f'(c) = 0$인 $c \in (a,b)$가 존재한다.

 

 

정리 5.4 (평균값 정리)

$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$이 연속함수이고 $(a,b)$서 미분가능하다 하자. 이제 $f'(c) = \frac{f(b)- f(a)}{b-a}$인 $c \in (a,b)$가 존재한다.

 

 

 

6. 리만-스틸체스 적분

적분은 곡선 밑에 있는 영역의 넓이를 알아내겠다는 생각으로부터 출발하였다. 이후에 수학자들은 적분이 결국 "잘게 나눈 뒤 곱해서 더하는" 어떤 과정의 극한을 표현한다는 생각을 하였고, 곱하는 것이 꼭 직사각형의 밑변일 필요가 없다는 생각을 하기에 이르렀다. 이것이 원래의 리만 뒤에 스틸체스 적분이 붙는 이유이다.

 

 

이 단원에서는 $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$이고 $f$는 유계라고 가정한다.

 

정의 5.1 (분할)

구간 $[a,b]$의 끝점을 포함하는 유한한 점들의 집합 $P := \{a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n-1} < x_{n} = b \}$을 $[a,b]$의 분할이라 한다.

 

 

정의 5.2 (상합, 하합)

$\alpha : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$은 증가함수라 하자.

이제 매개함수와 분할 $\alpha, P$가 주어질 때 이에 대응되는 $f$의 상합은

 

$$ U(f,P,\alpha) := \Sigma_{k=0}^{n-1} \sup_{x \in [x_{k}, x_{k+1}]} f(x) * [\alpha(x_{k+1}) - \alpha(x_{k})]$$

으로 정의한다. 하합의 경우 $\sup$을 $\inf$로 바꾸면 동일하다.

 

 

정의 5.3 (상적분, 하적분)

$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$이 증가함수로 주어졌다 하자.

이제 매개함수 $\alpha$가 주어질 때 이에 대응되는 $f$의 상적분은

 

$$ \bar{\int_{a}^{b}} f d\alpha := \inf_{P: \space partition} U(f,P,\alpha)$$

으로 정의한다.

 

하적분은 하합의 최소상계로 정의한다.

 

이제 상적분과 하적분이 같으면 $f$는 $[a,b]$서 $\alpha$에 대해 리만-스틸체스 적분 가능하다고 한다.

 

 

리만-스틸체스 적분과 관련해서 다음의 부분적인 결과들을 알고 있다:

1) 유한 점에서 불연속한 함수는 모든 연속인 $\alpha$에 대해 적분가능하다. ($\alpha$가 불연속이라면 적분불가능할 수도 있다.)

2) $[a,b]$서 $\alpha$에 대해 적분가능한 함수 $f$가 있다면, 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 적당한 분할 $P$를 잡아서 $U(f,P,\alpha) - L(f,P,\alpha) < \epsilon$이 성립하도록 할 수 있다.

3) 상합과 하합의 차는 분할의 refinement에 대해 감소한다.

4) 적분가능한 함수와 연속함수의 합성은 여전히 적분가능하다.

 

 

그러나 어떤 함수가 리만-스틸체스 적분가능한가에 대한 완전한 해답은 11단원까지 기다려야 할 것이다.