7. 함수열과 함수의 급수 - 균등수렴, 함수들의 노름공간

* 2022. 09. 06 수업의 복습입니다.*

 

 

지난 시간에 우리는 함수열이 무엇인지 살펴보았고, 특히 거리공간 $(X,d)$에 대해 $f_{n}: (X,d) \supset E \rightarrow \mathbb{C}$인 함수열에 대해서 점별 수렴의 개념을 정의하였다. 특히 함수열 $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty}$가 $f$에 점별수렴하는 경우, 함수열의 항들이 가지는 해석학적 성질이 $f$의 해석학적 성질을 보장하지 못하는 것을 살펴보았다. (eg. 연속성, 미분가능성 및 미분계수의 일치여부, 리만 적분가능성 및 정적분값)

 

 

이러한 문제를 해결하기 위해 보다 강력한 개념인 균등수렴의 개념을 정의하였다: 

$f_{n} \rightarrow f \space unif.$ 

(정의)

<=> $\forall \epsilon > 0, \exists n \in \mathbb{N} s.t. n \geq N \Rightarrow |f(x) - f_{n}(x)| < \epsilon \forall x \in E$

 

(정리 7-1)

<=> $\forall \epsilon > 0, \exists n \in \mathbb{N} s.t. n \geq N \Rightarrow sup_{x \in E} |f(x) - f_{n}(x)| < \epsilon$

 

우리는 이 지점에서부터 시작한다.

 

 

 

정리 7.11 (균등수렴 함수열에 대한 극한의 교환)

$f_{n} : E \rightarrow \mathbb{C}$는 거리공간 $(E,d)$서 복소수로 가는 함수열이고, $f_{n} \rightarrow f \space unif.$라고 하자.

$E$의 집적점 $x$에 대해서 $\lim_{t \rightarrow x} f_{n}(t) = A_{n}$인 복소수 $A_{n}$이 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 존재한다 하자.

이제 다음이 성립한다:

 

i) $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$이 존재한다.

ii) $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n} = \lim_{t \rightarrow x} f(t)$

 

 

i)의 증명.

복소수 (또는 실수)는 완비성을 만족하는 거리공간이므로, 우리는 $A_{n}$이 코시임을 보이면 족하다.

$\epsilon > 0$을 고정하자. 이제 우리는 어떤 자연수 $N$을 찾아, $n,m \geq N \Rightarrow |A_{n} - A_{m}| < \epsilon$가 성립함을 보여야 한다.

 

이러한 문제들은 거의 항상 삼각부등식을 활용한다. 모든 $t\in E$에 대해

$$|A_{n} - A_{m}| \\ \leq |A_{n} - f_{n}(t)| + |f_{n}(t) - f_{m}(t)| + |f_{m}(t) - A_{m}|$$

가 성립함을 보아라.

 

함수열 $\{f_{n} \}_{n=1}^{\infty}$가 균등수렴하므로, 이 함수열은 균등 코시임을 안다: 즉 $\epsilon>0$이 주어질 때, 자연수 $N$이 존재하여 $n,m \geq N \Rightarrow sup_{t \in E} |f_{n}(t) - f_{m}(t)| < \epsilon$이 성립한다.

 

 

가장 처음 잡은 $\epsilon$에 대해 $\frac{\epsilon}{3}$을 생각하자; 이 숫자에 대응하는 $N$이 존재할 것이다.

이제 $t \in E$는 $|A_{n} - f_{n}(t)| , |A_{m} - f_{m}(t)| < \frac{\epsilon}{3}$이 성립하도록 $x$에 충분히 가깝게 잡는다.

 

그러면 $$n,m \geq N \Rightarrow |A_{n} - f_{n}(t)| + |f_{n}(t) - f_{m}(t)| + |f_{m}(t) - A_{m}| \\ < \frac{\epsilon}{3} * 3 = \epsilon$$이 성립하므로 $\{A_{n}\}_{n=1}^{\infty}$는 코시이고 i)의 증명이 완료되었다.

 

 

ii)의 증명.

i)에 의해 존재성이 보장되는 극한 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n}$을 $A$라고 부르자.

이제 우리는 $A = \lim_{t \rightarrow x} f(t)$임을 보여야 한다.

 

$\epsilon > 0$을 고정하자. 우리는 $t$가 $x$에 충분히 가까우면 $|f(t) - A| <\epsilon$이 됨을 보여야 한다 (정확히는 그것이 성립하는 거리 $\delta>0$을 찾아야 한다.)

 

역시 삼각부등식을 활용한다. 모든 자연수 $n$와 $t \in E$에 대해

$$|f(t) - A| \\ \leq |f(t) - f_{n}(t)| + |f_{n}(t) - A_{n}| + |A_{n} - A|$$

가 성립함을 보아라.

 

이제 다음이 성립하도록 하나의 $N \in \mathbb{N}$을 잡는다:

 

i) $|f(t) - f_{N}(t)| \leq \frac{\epsilon}{3}$ (이렇게 잡을 수 있는 것은, $f_{n}$이 $f$에 균등수렴하기 때문에 $t$를 모르는 것이 상관없기 때문이다.)

 

ii) $|A_{N} - A| \leq \frac{\epsilon}{3}$ ($\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n} = A$이기 때문이다)

 

 

이렇게 잡은 $n \in \mathbb{N}$이 주어질 때, $\lim_{t \rightarrow x} f_{N}(t) = A_{N}$임을 알기 때문에, $\delta >0$이 존재하여 $d(x,t) < \delta \Rightarrow |f_{N}(t) - A_{N}| < \frac{\epsilon}{3}$이다.

 

따라서 $d(x,t) < \delta \Rightarrow |f(t) - A| \leq \frac{\epsilon}{3} * 3 = \epsilon$이 성립하고 증명이 완료된다. $\square$

 

 

이 증명을 간략하게 표현하자면, 함수열의 균등수렴이 보장되면 극한과정을 바꿀 수 있다:

$$ \lim_{t \rightarrow x} \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(t) = \lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{t \rightarrow x} f_{n}(t) $$

 

 

특이한 점은, $x$는 $E$의 집적점이기만 하면 되고 $E$의 원소일 필요는 없다. 그래서 위의 증명을 자세히 보면 $f(x)$이라는 표현을 쓴 적이 없다.

 

이 증명의 따름정리는 특별히 중요하다:

 

 

따름정리 7.12 (연속성의 계승)

$f_{n} \rightarrow f \space unif.$라 하자. 또한 $f_{n}$은 $x \in E$에서 연속이라 하자. 이제 $f$ 역시 $x \in E$에서 연속이다.

증명.

Case 1. $x$가 $E$의 집적점이 아닌 경우

이 경우는 $f$나 $f_{n}$이나 자명히 $x$서 연속이다.

 

Case 2. $x$가 $E$의 집적점인 경우

이 경우 $\lim_{t \rightarrow x} f_{n}(t) = A_{n} = f_{n}(x)$가 존재하므로 정리 7.11의 조건들이 만족한다.

따라서 $\lim_{n \rightarrow \infty} A_{n} = \lim_{t \rightarrow x} f(t)$임을 안다. 그런데 $\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = f(x)$는 (균등수렴 => 점별수렴) 관계에 의해 성립한다.

$\square$

 

 

 

이제 우리가 가지고 있는 정리 "균등수렴 + 각 함수항이 연속 => 극한함수가 연속"을 변형한 다른 명제들이 참인지를 알아보고자 한다.

 

Q. "균등수렴 + 극한함수가 연속 => 각 함수항이 연속?"

이는 참이 아니다.

다음의 함수열 $f_{n} : (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$을 고려하자:

 

$$ f_{n}(x) = \begin{cases} \frac{1}{n} \space\space (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 \space\space (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases}$$

 

이제 $f \equiv 0$에 대해 $f_{n} \rightarrow f unif.$임을 알고 극한함수는 명백히 연속이지만, 각 함수항은 어느 점에서도 연속이지 않다.

 

 

Q. "각 함수항이 연속 + 극한함수가 연속 => 균등수렴"?

여기서 극한함수가 존재한다는 것만으로 점별수렴이 보장됨에 유의하라.

이것 역시 참이 아니다. 다음의 함수열 $f_{n} : (0,1) \rightarrow \mathbb{R}$을 고려하자:

 

$$ f_{n}(x) = \frac{1}{nx+1}$$

 

각 함수항은 연속이고 극한함수 $f \equiv 0$ 역시 연속이다. 그러나 $f_{n}(\frac{1}{n}) = \frac{1}{2}$이므로, 정리 7.9에 의해 균등수렴은 성립하지 않는다.

 

허나 아주 특수한 조건을 만족하는 경우에는 이 명제가 참인데, 이 조건들은 다음의 정리에서 드러난다:

 

 

정리 7.13

$f_{n} : K \rightarrow \mathbb{C}$는 연속이며 연속함수 $f: K \rightarrow \mathbb{C}$로 점별수렴한다 하자.

또한 다음의 조건들이 성립한다 하자:

 

i) $K$는 옹골집합이다.

ii) $\forall x \in K, f_{n}(x) \geq f_{n+1}(x)$

 

이제 $f_{n} \rightarrow f \space unif.$이다. 즉, 균등수렴이 성립한다.

 

증명.

$g_{n}: K \rightarrow \mathbb{C}$, $g_{n}(x) := f_{n}(x) - f(x)$라 하자.

이제 $g \equiv 0$에 대해, $g_{n}$는 $g$에 점별수렴하며, 단조감소한다.

$\epsilon > 0$을 고정한다. $g_{n}$은 모든 자연수 $n$에 대해 연속함수이므로, 

$K_{n} := g_{n}^{-1}([\epsilon, \infty))$는 옹골집합 $K$의 부분집합인 닫힌 집합이고 (정리 4.8) 따라서 옹골집합이다 (정리 2.35).

 

한편 $g_{n}$은 단조감소하므로 $K_{n} \supset K_{n+1}$이 성립하고, 마지막으로 모든 $x \in K$에 대해 $g_{n}(x) \rightarrow 0$이므로 $\cap_{n=1}^{\infty} K_{n} = \emptyset$이다.

 

그런데 정리 2.36에 의해 유한히 많은 자연수 $n_{1},..., n_{j}$가 존재하여 $\cap_{i=1}^{j}K_{n_{i}} = \emptyset$이고 따라서 어떤 자연수 $N$에 대해 $K_{N} = \emptyset$이다. 이는 곧 $x \in K \Rightarrow g_{N}(x) < \epsilon$을 의미하고 이것은 균등수렴의 정의가 함수열 $f_{n}$과 극한함수 $f$에 대해 성립함을 의미한다. $\square$

 

 

 

우리는 균등수렴의 개념이 충분히 강력하여 함수열의 항들이 가지는 연속성을 극한으로 계승시킨다는 것을 배웠다. 그렇다면 균등수렴이 뭐길래 점별수렴이 하지 못하는 것을 해내는 것일까?

 

 

이 질문에 대한 대답은 정리 7.9에 의해 정립했던 균등수렴의 두 번째 정의,

$f_{n} \rightarrow f \space unif. \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0, \exists N, n \geq N \Rightarrow sup_{x \in E} |f_{n}(x) - f(x)| < \epsilon$

에서 나타난다. $sup~$의 항을 살펴보면 이것이 결국 함숫값이 아니라 함수 자체 사이의 거리를 재는 자연스러운 방법일 것이라는 느낌을 받는다.

 

(사실 나는 여기서도 hand-waving이 들어간다고 생각한다. 하지만 나보다 수학을 잘하는 사람들은 느낄 것 같다고 생각하긴 한다.)

 

 

이것을 명확히 나타내기 위해서는 i) 함수공간을 정의하고, ii) 이 "노름"이 실제로 노름임을 보여야 한다.

정의. (함수공간)

$\mathcal{C}(E. \mathbb{C})$는 정의역이 $E$이고 공역이 $\mathbb{C}$인 유계이고 연속인 함수이다.

마찬가지로 $\mathcal{C}(E, \mathbb{R})$는 정의역이 $E$이고 공역이 $\mathbb{R}$인 유계 연속함수이다.

 

이제 $f \in \mathcal{C}(E, \mathbb{C})$에 대해 다음의 "노름"을 정의한다:

$$ ||f|| := sup_{x \in E} |f(x)|$$

 

이것이 실제로 노름임을 보이자:

 

i) $f$는 유계이므로 모든 $\{|f(x)| | x \in E \}$는 유계인 집합이고 따라서 음이 아니면서 유한한 상한이 존재한다.

ii) $||f|| = 0 \Leftrightarrow \forall x \in E, f(x) = 0 \Leftrightarrow f = 0$

iii) $\lambda \in \mathbb{C}$에 대해, $||\lambda f|| = |\lambda| ||f||$

iv) $f,g \in \mathcal{C}(E, \mathbb{C})$라 하자.

$$||f+g|| = sup_{x \in E} |f(x)+g(x)| \\ \leq sup_{x \in E} |f(x)|+|g(x)| \\ \leq sup_{x \in E} |f(x)| + sup_{x \in E} |g(x)| \\ = ||f||+||g||$$

이므로 삼각부등식도 성립한다.

 

i)~iv)$에 의해 "노름"이 실제로 노름임을 확인하였다.

 

이제 $f_{n} \rightarrow f \space unif. \Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} ||f_{n} - f|| = 0$이다. 즉, 균등수렴은 함수들의 노름공간에서 정의한 함수열의 수렴을 나타낸 개념이다.

 

 

 

다음 시간에는 균등수렴의 개념과 적분, 미분의 관계를 살펴본다.