[외전] 이상적분의 수렴과 "무한대에서의 코시"

흠...사실 글을 올린지 100만년이 된 것 같은 이 기분에 어떻게 다시 시작해야 할지 감이 오지 않는다.

내가 원했던 그림은 이전에 했던 것처럼 책을 그대로 베끼기보다, 증명에서 쓰인 아이디어들을 내가 일목요연하게 정리해서 올리는 것이었지만, 일단 걸을 수 있기 전에는 기어가는 법을 배워야 하기 때문에 글쓰기 재활(?)할 겸 무한대에서의 이상적분과 관련한 간단한 정리를 증명하고자 한다. (사실 말이 이상적분이지 결국 함수의 극한에 대한 "코시" 성질이다.)

 

 

우선 무한대로의 이상적분을 정의하자:

 

 

정의. 실함수 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$와 실수 $a$가 주어져 있다 하자. 또한 $M>a$인 모든 실수 $M$에 대해 $f$가 $[a,M]$서 리만적분 가능하다고 가정하자.

이제

$$\int_{a}^{\infty} f(t)dt = L \Leftrightarrow \\ \forall \epsilon > 0, \exists R \in \mathbb{R} s.t. M>R \Rightarrow |\int_{a}^{M} f(t)dt - L| < \epsilon$$

으로 정의한다. 축약해서 쓰자면

$$\int_{a}^{\infty} f(t)dt = L \Leftrightarrow \\ lim_{M\to\infty} \int_{a}^{M} f(t)dt$$

라고 할 수 있겠다.

 

 

이제 이렇게 정의한 이상적분에 대해서 수열과 유사한 "코시" 성질을 정의하자:

 

정의. $f$가 위에서 정의한 실함수라 하자. 이제 $h: [a,\infty) \to \mathbb{R}, h(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt$가 무한대에서 코시라는 것은 다음을 의미한다:

$$ \forall \epsilon > 0, \exists K \space s.t. N_{1}, N_{2} \geq K \Rightarrow |\int_{N_{1}}^{N_{2}} f(t)dt| < \epsilon$$

 

 

질문은 과연 무한대에서의 이상적분이 존재하는 것과 적분이 무한대에서 코시인 성질이 동치이냐는 것이다.

우선 한 방향은 보이기 매우 쉽다:

 

$(\Rightarrow)$

$lim_{M \to \infty} \int_{a}^{M} f(t)dt = L$이라 하자.

$\epsilon > 0$을 고정하자. 그렇다면 실수 $K$가 존재하여, $N \geq K \Rightarrow |\int_{a}^{N} f(t)dt - L|< \frac{\epsilon}{2}$이다.

따라서 $N_{1}, N_{2} \geq K \Rightarrow |\int_{N_{1}}^{N_{2}} f(t)dt| \leq |\int_{a}^{N_{1}} f(t)dt - L| + |\int_{a}^{N_{2}} f(t)dt - L| \leq \frac{\epsilon}{2} *2 = \epsilon$이다.

 

이제 반대방향을 보이도록 하자:

 

$(\Leftarrow)$

적분이 무한대에서 코시라 하자. 그렇다면 $\epsilon > 0$이 고정되었을 때, 실수 $K$가 존재하여

$N_{1}, N_{2} \geq K \Rightarrow |\int_{N_{1}}^{N_{2}} f(t)dt| < \frac{\epsilon}{2}$가 성립한다.

이제 양의 무한대로 발산하는 아무 수열 $\{x_{n}\}$을 잡자.

그렇다면 어떤 양수 $N$이 존재하여, $n \geq N \Rightarrow x_{n} \geq K$가 성립하고, 따라서 $y_{n} := \int_{a}^{x_{n}} f(t)dt$는 코시 수열이 되어 어떤 값으로 수렴한다. 이 값을 $L$이라 하자. 따라서 위에서 잡은 $\epsilon > 0$에 대해, 또 어떤 양수 $N'$이 존재하여, $n \geq N' \Rightarrow |y_{n} - L|<\frac{\epsilon}{2}$가 성립한다.

 

이제 $x \geq K$라 하자. 아랫첨자가 $N'$보다 크면서 값이 $K$보다 큰 $\{x_{n}\}$의 어떤 항 $x_{m}$을 잡으면, 삼각부등식에 의해

$|\int_{a}^{x} f(t)dt - L| \leq |\int_{a}^{x_{n}} f(t)dt - L| + |\int_{x_{n}}^{x} f(t)dt| \leq \frac{\epsilon}{2} * 2 = \epsilon$이 성립하여 원하던 바를 증명하게 된다. $\square$