7. 함수열과 함수의 급수 - 문제의 소개 (Part 1)

(2022. 9. 1일자 수업 복습입니다.)

 

우리는 해석개론 1 범위에서 실수와 복소수 값을 가지는 수열과 급수의 수렴성과, 극한이 가지는 여러 가지 성질들을 살펴보았다. 또한 함수에 대해서 극한 연산자를 붙임으로써 미분계수, 정적분값 등을 구할 수 있다는 사실도 알았다.

 

이러한 모든 작업들은 최종 결과물이 실수 또는 복소수였음에 주목하라. 예컨대 $(x_{n})_(n \geq 1)$가 수렴하는 실수열이라면, 우리는 $lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = L$가 의미하는 바를 해석개론 1 범위에서 배웠었다. 이 때 $L$ 역시 하나의 실수라는 점에 유의하라. 또한 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$이 $x = 0$에서 미분가능하다 하면, $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = f'(0)$의 표현이 가지는 의미 또한 해석개론 1 범위에서 배웠다. 이 때에도 $f'(0)$은 하나의 실수라는 점에 유의하라.

 

 

이제 우리는 한 단계 더 높이 나아가고자 한다. 이번 단원에서 다루는 대상은 함수열, 즉 함수의 수열이다. 실수열 또는 복소수열은 수열의 각 항이 실수/복소수였던 반면, 함수열의 각 항은 함수이다. 특히 이 단원에서는 실함수 또는 복소함수를 배울 것이다. 즉 $(f_{n})_{n \geq 1}$이 함수열이라면, $f_{n} : E \rightarrow \mathbb{C}$의 꼴인 함수열을 다룰 것이다. (E는 임의의 거리공간으로 본다.)

 

해석학을 배우고 있는 만큼, 이러한 함수열에 대해서 극한과 관련된 각종 작업들을 수행하는 것이 최종 목표라고 할 수 있을 것이다.

 

 

eg 1. (함수열의 예시)

$n \in \mathbb{N}$에 대해서 $f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x) = x^{n}$은 함수열이다.

 

 

그렇다면 함수열이 (어떤 함수로) 수렴한다는 의미가 정확히 무엇인지에 대해 생각해 볼 수 있다. 가장 직관적으로 떠오를 법한 의미는, 복소함수에 어떤 input을 넣으면 단순히 복소수를 얻게 된다는 점으로부터 착안할 수 있다:

 

 

Def 7-1. (점별 수렴)

$(f_{n})_{n \geq 1}$은 $E$에서 정의된 복소함수들의 함수열이라 하자. 또한 $x \in E$가 주어질 때 $lim_{n\rightarrow \infty} f_{n}(x)$가 항상 존재한다 하자.

이제 $f_{n}$는 어떤 함수 $f: E \rightarrow \mathbb{C}$로 점별 수렴한다 하며 이는 다음을 의미한다:

 

$$ x \in E \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = f(x)$$

 

표기상으로는 $f_{n} \rightarrow f$라 한다.

 

마찬가지로 $E$서 정의된 복소함수들의 급수 $\Sigma_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$를 고려하자.

$x \in E$가 주어질 때 복소수열 $s_{n}(x) := \Sigma_{k=1}^{n} f_{k}(x)$가 수렴하면, 복소함수열 $\Sigma_{k=1}^{n}f_{k}$는 $f := \Sigma_{n=1}^{\infty}$에 점별 수렴한다 하고, $ \Sigma_{n} f_{n} \rightarrow f$라 표기한다.

 

 

 

기본적인 정의가 이루어진 만큼, 이제 우리는 자연스러운 몇 가지 질문을 던져볼 수 있다. 이하에서는 $f_{n} : E \rightarrow \mathbb{C}$라 가정하자.

 

질문 1. $f_{n} \rightarrow f$라 하자. 또한 $f_{n}$이 모두 $E$에서 연속인 함수라 하자. $f$ 또한 $E$에서 연속인가?

우선, $f$가 $E$서 연속이라고 해 보자. 그렇다면 $p \in E$에 대해 $f$는 $p$서 연속이다. 만약 $p \in E$가 $E$의 집적점이라면 (이는 $p$가 $E$의 고립점이 아님을 의미한다), 우리는 다음의 정리를 안다:

 

(정리 4.13?)

$f: E \rightarrow \mathbb{C}$가 집적점 $p \in E$서 연속이라 하자. 이제 다음이 성립한다:

$$ \lim_{x \rightarrow p} f(x) = f(p)$$

 

따라서 $E$가 집적점 $p$를 가지고 있다면 (집적점이 아닌 점에서는 함수가 무조건 연속이므로 흥미롭지 않은 대상이 된다) 그 점에서 다음이 성립할 것이다:

 

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{x \rightarrow p} f_{n}(x) = \lim_{x \rightarrow p} \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$$

 

 

다음의 간단한 예시는 일반적으로 극한이 두 개 있을 때 순서를 바꿀 수 없음을 나타낸다.

 

eg 2. (극한 연산자의 비가환성)

$n,m \in \mathbb{N}$에 대해 $a_{n,m} := \frac{m}{n+m}$이라 하자.

이제

 

$$ \lim_{n\rightarrow \infty} \lim_{m \rightarrow \infty} a_{n,m} = 1$$

인 반면

 

$$ \lim_{m \rightarrow \infty} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n,m} = 0$$

임을 안다.

 

따라서 우리는 질문 1이 일반적으로 성립하지 않을 것이라 의심할 수 있다.

 

다음의 예시는 질문 1의 확실한 반증이다:

 

 

eg 3. (질문 1의 반례)

$f_{n} : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x) = (1-x^{2})^{n}$ 임의의 자연수 $n$에 대해 $f_{n}$은 다항함수이므로 연속함수이다.

이제 $$\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = \begin{cases} 1 \space (x = 0) \\ 0 \space (0 < x \leq 1) \end{cases}$$

임을 안다. 이 함수를 $f$라 하면 $f_{n} \rightarrow f$임을 안다. 그런데 $f$는 $x=0$서 불연속점을 가진다는 사실을 쉽게 알 수 있다.

 

 

 

연속이 너무 강한 조건이라 함수열의 극한을 취할 때 계승되지 못하는 조건일지도 모른다. 조건을 더 약화시켜보자:

 

 

질문 2. $f_{n} : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, $f_{n} \rightarrow f$라 하자. 또한 $f_{n}$이 모두 $[0,1]$에서 리만적분 가능한 함수라 하자. $f$ 또한 $[0,1]$서 리만적분 가능한가?

 

그러나 이 또한 반례가 존재한다:

 

eg 4. (질문 2의 반례)

$m \in \mathbb{N}$이라 하고 $f_{m} : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$이라 하자.

$$f_{m} (x) = \lim_{n \rightarrow \infty} (\cos (m! \pi x)^{2n}$$

으로 정의하자.

 

$m$이 주어질 때 다음의 사실을 알 수 있다:

$$f_{m} (x) = \begin{cases} 1 \space (m!x \in \mathbb{Z}) \\ 0 \space (m!x \notin \mathbb{Z}) \end{cases}$$

 

이는 코사인 함수의 특성으로, $\pi$의 정수배에서만 함숫값이 -1,1이고 나머지 모든 입력값에서는 함숫값의 절댓값이 1 미만임을 이용한 것이다.

 

이제 $f_{m}$은 구간 [0,1] 위에서 유한개의 점에서만 1의 값을 가지고 나머지 모든 값에서 0을 가지므로 리만 적분 가능하다는 사실을 상기하라.

 

 

 

한편 $m \rightarrow \infty$일 때 다음이 성립한다는 사실을 쉽게 보일 수 있다:

 

$$lim_{m \rightarrow \infty} f_{m}(x) = \begin{cases} 1 \space (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 \space (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases}$$

 

그런데 이 함수는 모든 점에서 불연속이고, 유리수의 조밀성에 의해 리만 상합은 항상 1, 리만 하합은 항상 0이므로 적분 불가능하다. 따라서 질문 2에 대한 대답 역시 '아니오'이다.

 

 

우리의 점별 수렴 개념이 너무 약하다는 것이 점점 분명해지고 있다. 점별 수렴만으로는 원래 함수열들의 해석학적 특징과 극한 함수의 해석학적 특징이 잘 계승되지 않는 것이다 (우리는 적분가능성, 연속성에 대해 이것을 살펴보았다.)

따라서 다음의 질문을 던져볼 법하다:

 

 

질문 3. $f_{n} \rightarrow f$라 하자. 또한 $f_{n}$이 모두 $E$에서 연속인 함수라 하자. 언제 $f$ 또한 $E$에서 연속인가?

 

여기서 조금의 hand-waving이 필요하다. 다음의 개념을 등장시킨다:

 

 

Def 7-2. (균등 수렴)

$f_{n} : E \rightarrow \mathbb{C}$가 함수열이라 하고, $f_{n} \rightarrow f$라 하자.

이제 $f_{n}$이 $f$에 균등 수렴(uniformly converge)한다는 것은 다음을 의미한다:

 

$$ \forall \epsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, s.t. n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)|<\epsilon, \forall x \in E$$

 

다른 방식으로 이렇게 표기할 수 있다:

 

$$ \forall \epsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, s.t. n \geq N \Rightarrow \sup_{x \in E} |f_{n}(x) - f(x)|<\epsilon$$

 

 

 

이 정의가 점별 수렴과 뭐가 다른가? 점별 수렴의 경우 $\epsilon$을 택하고 $x$를 택하면 그에 대응하는 $N$이 나왔다. 즉, 점에 따라서 어떤 점은 극한 함수에 $N = 10$만 되어도 아주 가까워지는 반면, 다른 점은 극한 함수에 $N = 1000$이  되도록 그닥 가깝지 않을 수 있다. (이는 eg.3에서 잘 드러난다.)

반면 균등 수렴의 경우 $\epsilon$을 일단 택하면 $x$와 무관하게 대응하는 $N$이 나온다. 즉, 어떤 함수열이 균등수렴하고, 그 함수의 어떤 점이 극한 함수에 $N=10$이 되었을 때 아주 가까워졌다면, 다른 모든 점들 역시 그러할 것이라는 사실을 알 수 있다.

 

 

다음 정리는 함수열의 함수값들이 실수나 복소수처럼 완비성 있는 공간에 속한다면, 균등 수렴과 "균등 코시"의 개념이 동치임을 나타낸다:

 

정리 7-1. $f_{n}: E \rightarrow \mathbb{C}$라 하자. 다음은 동치이다:

(1) $f_{n} \rightarrow f \space unif.$ (균등 수렴)

(2) $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, s.t. n,m \geq N \Rightarrow \sup_{x \in E} |f_{n}(x) - f_{m}(x)| <\epsilon$

 

증명.

(1) => (2).

(1)이 성립하므로 다음이 성립한다:

$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, s.t. \forall x \in E, n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)|<\frac{\epsilon}{2}$

이제 $n, m \geq N$이라 하고 임의의 $x \in E$를 고른다.

이제

 

$$ |f_{n}(x) - f_{m}(x)| \\ \leq |f_{n}(x) - f(x)| + |f(x) - f_{m}(x)| \\ \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

 

가 성립한다. (처음은 삼각부등식, 두번째는 (1)에 의해서 성립)

 

여기서 $x \in E$를 고르는데 제한이 없었으므로 (2) 또한 성립한다.

 

 

(2) => (1).

우선 $f_{n} \rightarrow f$인 $f$가 존재함을 보여야 한다. 즉, 점별 수렴성을 보여야 한다.

$x \in E$를 임의로 잡았다 하자. 이제 $(f_{n}(x))_{n \geq 1}$는 복소수열이면서 코시 수열이므로, 복소수의 완비성에 의해서 수렴한다. $x \in E$를 잡는 데 제한이 없었으므로 $f_{n} \rightarrow f$인 $f$가 존재한다.

 

이제 $f_{n} \rightarrow f \space unif.$임을 보이면 된다.

이를 위해서 $\epsilon > 0$을 잡고, $x \in E$를 임의로 잡는다. 이제 (2)가 성립하므로 $n,m \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f_{m}(x)| < \frac{\epsilon}{2}$인 $N$이 존재한다.

 

이제 $n \geq N$이 주어졌다 하자. 임의의 자연수 $m \in \mathbb{N}$에 대해

 

$$|f_{n}(x) - f(x)| \\ \leq |f_{n}(x) - f_{m}(x)| + |f_{m}(x) - f(x)|$$

가 성립한다는 사실에 주목하자.

 

이제 1) x가 주어졌으므로 주어진 $x$에 맞춰서 $m$을 충분히 크게 잡아, $|f_{m}(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$가 되도록 하자. 2) $m \geq N$이 되도록 잡아, $|f_{n}(x) - f_{m}(x)| < \frac{\epsilon}{2}$가 되도록 하자.

이 둘을 모두 만족하는 $m$을 잡을 수 있다 ($m$은 아무런 자연수일 수 있으므로). 그러한 $m$을 잡으면

 

$$|f_{n}(x) - f(x)| \leq \epsilon$$

을 얻을 수 있다.

 

여기서 $x$는 임의의 원소였으므로 (1)이 성립한다. $\square$

 

 

여기서 왜 $m$을 잡을 때는 $x$를 고려했는데, 마지막에 가서는 $x$가 임의의 원소이므로 균등수렴이 성립한다고 주장할 수 있는가? 이는 [$x$를 잡음 -> $m$을 $x$, $N$에 맞춰서 고름]이라는 과정을 모든 $x\in E$에 대해서 반복할 수 있기 때문이다. 우리는 $m$을 잡는 데 아무런 제한이 없음을 상기하라.

 

 

 

다음 시간에는 균등수렴이 성립하면, 함수열이 연속함수로 이루어져 있을 때 극한 함수 또한 연속임을 보장한다는 사실을 보일 것이다. 그 외에 미분가능성, 적분가능성에 관해서도 계승을 보장하는 조건들을 탐색할 것이다.