해석개론 1 범위 복습 - Part 1

* 2022.09.01 연습시간 복습입니다.

 

 

1. 실수 $\mathbb{R}$의 구성과 성질

우리는 해석학에서 무엇을 공부하는가? 해석개론 1에서는 수열과 함수의 극한, 수렴, 함수의 미분과 적분을 배운다. 이 모든 것을 관통하는 핵심 주제는 극한이다.

유리수 $\mathbb{Q}$는 (분모가 0이 아닌 경우) 두 정수의 비로 간단하게 정의되고, 유리수는 순서와 대수체계가 잘 정의된다. 그렇다면 굳이 유리수에서 벗어사넛 실수 $\mathbb{R}$를 정의하고 여기서 놀아야 하는 이유가 무엇인가? 그 이유는 서로 동치인 다음의 성질들 때문이다:

 

(1) 최소 상계 성질: $A\subset \mathbb{R}, A \neq \emptyset$이라 하자. $A$가 위로 유계라면 (즉 $A$의 상한이 존재한다면) $A$의 최소 상계가 존재한다. (최소 상계는 상한 중 가장 작은 것이다.)

 

(2) 완비성: $\mathbb{R}$에서 코시수열은 수렴한다.

 

 

이러한 성질들은 현재의 시점에서 보면 매우 작위적이고 의문스러워 보이는 것이 사실이다. 그나마 직관적으로 이해해보자면, 이러한 성질들은 어떤 의미에서 "$\mathbb{R}$에는 점이 충분히 많아서, 잘 움직이는 수열로서 벗어날 수 없다"는 것을 보장한다. "잘 움직인다"는 것은 결국 수열의 항들 사이 거리가 0에 가까워짐을 의미한다. "완비성"이라는 말은 "완전히 구비되는 성질"로, 더 이상 코시 수열을 통해서 추가적인 점을 만들 수 없음을 의미한다.

 

 

최소 상계 성질을 더욱 일반적으로 강화하기 위해서 수학자들은 Extended real numbers, $\bar{\mathbb{R}}$를 만들었다. 이는 $\bar{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup {+\infty, - \infty}$로 정의한다. 여기서 $+,-\infty$는 기호에 불과하고, 우리가 새로운 순서와 연산을 정의하기 전에는 의미가 없음에 유의하라.

 

Extended real numbers는 다음 관계에 의해서 완전한 순서를 가진다:

 

$$- \infty < x < +\infty, \forall x \in \mathbb{R}$$

 

Extended real numbers는 다음의 관계에 의해 불완전한 대수 관계를 가진다:

 

$$ \infty + c = c + \infty = + \infty, c * (+\infty) = + \infty (c > 0)$$

 

그러나 다음의 식들은 정의할 수 없다:

 

$$ + \infty - \infty = ??, 0 * (+\infty) = ??$$

 

그렇다면 대수적 구조를 희생한 대가로 얻는 것이 무엇인가 질문할 수 있다. 바로 최소상계성질의 강화판이다:

 

(LUBP*): $A \subset \bar{\mathbb{R}}$이라 하자. 이제 $A$는 최소 상계를 가진다.

 

이제 더 이상 $A$가 공집합이 아니며 $A$가 위로 유계라는 조건이 필요 없다. 이는 특히 통상적인 의미로 수렴하지 않는 실수열의 수렴/발산을 표현할 때 유용하게 쓰인다.

 

 

 

2. 거리공간

임의의 집합 $X$에 다음을 만족하는 거리함수 $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$가 존재한다 하자:

 

$$(i) d(x,y) = d(y,x) \\ (ii) d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y \\ (iii) d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y), \forall z \in X$$

 

(iii)에서 등장하는 부등식을 삼각부등식이라 한다.

 

이제 순서쌍 $(X,d)$를 거리공간이라 한다.

거리공간은 매우 일반적이어서, 다음의 예시도 거리공간이다:

 

eg. (거리공간의 예)

$X = \mathbb{R}, d: X \times X \rightarrow \mathbb{R} \\ d(x,y) = \begin{cases} 1 \space (x \neq y) \\ 0 \space (x = y) \end{cases}$

 

 

거리공간으로부터 열린 집합의 개념이 유도된다. 사실, 거리공간으로부터 유도되지 않는 경우에도 열린 집합들을 특정 성질들에 맞게 정의할 수 있는데 이를 위상(topology)라 한다. 즉, 거리공간으로부터 위상이 유도된다 할 수 있다.

 

 

Def 2.1 (열린 집합)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. 이제 $M \subset X$가 다음을 만족하면 $M$은 열린 집합이라 한다:

$$ x \in M \Rightarrow \exists \epsilon>0, B_{\epsilon}(x) \subset M$$

 

단, 여기서 $B_{\epsilon}(x) := \{y \in X | d(x,y) < \epsilon \}$으로 정의하며, 열린 공이라 부른다.

 

직관적으로 보자면, 열린 집합 M의 어떤 점 x를 골라도 충분하 가까운 주변에는 M의 점밖에 보이지 않는다.

 

열린 공으로부터 집적점의 정의가 유도된다:

 

Def 2.2 (집적점)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $A \subset X$라 하자. 이제 $p \in X$가 다음을 만족하면 $p$는 $A$의 집적점 (accumulation point)라 한다:

 

$$ \forall \epsilon>0, (B_{\epsilon}(p) - \{p\}) \cap A \neq \emptyset $$

 

집적점은 $A$의 원소일 수도, 아닐 수도 있다.

 

 

집적점으로부터 닫힌 집합의 정의가 유도된다:

 

Def 2.3 (닫힌 집합)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $A \subset X$라 하자. 이제 $A$의 집적점의 집합을 $A'$이라 하자.

다음이 성립하면 $A$를 닫힌 집합이라 한다:

 

$$ A' \subset A$$

 

무엇에 대해 "닫혀" 있는가? 바로 수열의 수렴. 닫힌 집합 $A$에서 수렴하는 수열을 잡으면 그 극한값 역시 $A$에 속해야 한다.

 

간단한 정리로써 닫힌 집합의 여집합은 열린 집합이고, 열린 집합의 여집합은 닫힌 집합임을 보일 수 있다.

 

 

닫힌 집합으로부터 폐포가 정의된다:

 

Def 2.4 (폐포)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $A \subset X$라 하자. 이제 $A$의 폐포는 다음과 같다:

 

$$ \bar{A} = A \cup A'$$

 

 

폐포로부터 조밀집합이 정의된다:

 

Def 2.5 (조밀집합)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $A \subset X$가 다음을 만족하면 $A$는 $X$에서 조밀하다 한다:

 

$$ \bar{A} = X$$

 

 

한편 유계집합을 정의할 수 있다:

Def 2.6 (유계집합)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $A \subset X$가 다음을 만족하면 $A$는 유계집합이라 한다:

 

$$ \exists r >0, x \in X, A \subset B_{r}(x)$$

 

유의할 것은, Def 2.1~ Def 2.6에서 한 모든 논의는 어떤 거리공간을 정해놓은 상태로 한 논의이다. 따라서 거리공간이 달라지면 같은 집합이더라도 열린 집합, 닫힌 집합 등의 정의를 만족할수도, 만족하지 않을 수도 있다.

 

 

eg. (열린 집합의 거리공간 의존성)

$A = (0,1)$이라 하자. $X = \mathbb{R}, d(x,y) = |x-y|$라 정의하면 $A$는 열린 집합이지만 닫힌 집합은 아니다. (0은 $A$의 집적점이지만 $A$에 속하지는 않는다.) 한편 $X = (0,1), d(x,y) = |x-y|$라 정의하면 이제 $A$는 닫힌 집합이기도 하다.

 

 

 

한편 이제 살펴볼 옹골집합의 정의는, 토폴로지에 의존하는 성질이므로 거리함수만 주어지면 고려되는 집합 $X$와는 무관하다는 특성을 가진다:

 

정의 2.7 (열린 덮개)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. 이제 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathcal{A}}$는 $(X,d)$서 열린 집합들의 가족이라 하자. (여기서 index set은 $\mathcal{A}$인데, 이 집합에 대해서는 아는 바가 없다.)

이제 다음이 성립하면 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathcal{A}}$를 $M$의 열린 덮개라 한다:

 

$$M \subset \cup_{\alpha \in \mathcal{A}} U_{\alpha} $$

 

 

정의 2.8 (옹골집합)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. 이제 $M\subset X$가 다음을 만족하면 $M$은 옹골집합이라 한다:

 

$M$의 임의의 열린 덮개 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathcal{A}}$에 대해서, 유한한 원소들 $\alpha_{1}, ... , \alpha_{n}$을 잡을 수 있어, $M \subset \cup_{i=1}^{n} U_{\alpha_{i}}$가 성립한다.

 

허나 정의에서 볼 수 있듯이 "토폴로지에 의존하는 성질이므로 거리함수만 주어지면 고려되는 집합 $X$와는 무관하다는 특성을 가진다"는 진술은 결코 자명하지 않고 정리로써 증명해야 한다.

 

 

옹골집합은 유한집합의 일반화이다. 실제로 discrete metric을 택하면 모든 옹골집합은 유한집합이 됨을 확인할 수 있다.

옹골성은 연속함수에 의해 보존되는 성질이다. 한편 옹골집합에서 정의된 연속함수는 균일연속인 등, 연속함수와 옹골집합의 개념은 밀접히 관련되어 있다.

 

옹골집합이 유계이고 닫혀있음을 보이는 일은 쉽다. Heine-Borel 정리에 의하면 $\mathbb{R}^{n}$이라는 특수한 거리공간에서는 역도 성립한다. 허나 이 사실이 일반적으로 참인 것은 아니다.

 

 

 

이후에 살펴볼 정의들 역시 연속함수를 다룰 때 중요하게 사용된다.

 

정의 2.9 (분리집합쌍)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $M,N \subset X$가 다음을 만족하면 $M,N$은 분리집합쌍이라 한다:

 

$$ \bar{M} \cap N = \emptyset, M \cap \bar{N} = \emptyset$$

 

 

정의 2.10 (연결집합)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $A \subset X$가 다음을 만족하면 $A$는 연결집합이라 한다:

 

"$A = M \cup N, M,N$은 분리집합쌍"을 만족하는 $M,N \neq \emptyset$가 존재하지 않는다.

 

 

 

 

 

3. 거리공간에서의 수열

수열은 자연수를 정의역으로 가지는 함수로 이해할 수 있다. 루딘에서는 통상적인 표기법 $(a_{n})_{n \geq 1}$을 따른다.

수열에서 살펴볼 수 있는 흥미로운 성질은 수렴성이다.

 

정의 3.1 (수렴)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $(a_{n})_{n \geq 1}$이 $X$에서 정의된 수열이라 하자. 이제 다음이 성립하면 $a_{n}$이 극한 $L$로 수렴한다고 하고, 

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = L$$

로 표시한다:

 

$$ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, n \geq N \Rightarrow d(a_{n} , L) <\epsilon$$

 

 

우리가 사칙연산이 정의된 $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ 같은 거리공간에서 논다면, 극한 연산자와 사칙연산이 (0으로 나누는 경우를 제외하면) 잘 호환됨을 조금 지루한 작업을 통해 확인할 수 있다.

 

 

어떤 수열이 수렴함을 정의를 통해 주장하려면 그 극한이 무엇인지 알아야 한다는 단점이 존재한다. 이 단점을 보완하기 위해 다음의 정의가 등장한다:

 

정의 3.2 (코시수열)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $(a_{n})_{n \geq 1}$이 $X$에서 정의된 수열이라 하자. 이제 다음이 성립하면 $a_{n}$이 코시수열이라 한다:

 

$$ \forall \epsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, n,m \geq N \Rightarrow d(a_{n}, a_{n}) <\epsilon$$

 

 

임의의 거리공간에서 수렴하는 수열이 코시임을 보이는 것은 쉽다.

허나 일반적인 거리공간에서는 코시수열이 수렴한다는 보장이 없다. 그것을 보장하는 조건을 다음과 같이 부른다:

 

정의 3.3 (완비성)

거리공간 $(X,d)$에서 모든 코시수열이 수렴할 때, 이 거리공간은 완비성을 만족한다고 부른다.

 

 

$\mathbb{R}, \mathbb{C}$에서 통상적인 거리함수로 거리를 재는 거리공간은 대표적인 완비성 있는 거리공간이다.

 

 

다음의 정의는 부분수열의 수렴성과 관련되고, 테일러 급수의 수렴반경을 계산할 때 유용하다:

 

정의 3.4 (limsup)

$$\limsup_{n \rightarrow \infty} a_{n} := \lim_{n \rightarrow \infty} sup \{a_{k} | k \geq n \}$$

 

특히 임의의 실수열 $a_{n}$에 대해 extended real numbers에서 항상 $\limsup a_{n}$이 존재한다.

 

 

직관적으로 이해하자면 $a_{n}$의 모든 수렴하는 부분수열의 극한값들을 모아놓은 집합에서 최소상계를 잡은 것이라 생각하면 된다. 모든 실수의 부분집합은 extended reals에서 최소상계를 가짐을 상기하라.

 

 

마지막으로 급수에 대해 사용할 수 있는 개념인 절대수렴을 정의한다:

 

정의 3.5 (절대수렴)

급수 $\Sigma_{n=0}^{\infty} a_{n}$이 다음을 만족하면 이 급수가 절대수렴한다고 하자:

 

$$ \Sigma_{n=0}^{\infty} |a_{n}| $$이 수렴한다.

 

 

절대수렴하는 급수는 수렴한다는 사실을 쉽게 알 수 있고, 이것의 역은 성립하지 않는다.

한편 우리가 실수나 복소수에서 논다고 가정할 때, 절대수렴하는 급수는 순서를 바꾸어 무한급수를 취하더라도 수렴성이 보존되며 극한값이 변하지 않는다. 반면 수렴하지만 절대수렴하지 않는 급수는 순서를 바꾸어 임의의 값으로 수렴하도록 만들 수 있다 (리만).

 

 

 

**생각보다 글이 너무 길어지는 바람에, 2부도 조만간 올리도록 하겠습니다.**