A Proof a Day keeps Dementia Away

4. 함수의 극한과 연속

우리는 일반적인 거리공간을 정의역과 공역으로 가지는 함수를 생각한다. 이러한 논의는 일반적인 위상공간에서 정의된 함수로도 바로 연결된다.

$$f : (X, d_{X}) \supset E \rightarrow (Y, d_{Y})$$가 함수라고 하자.

정의 4.1 (함수의 극한)

$p \in E'$이라 하자. 즉 $p$는 정의역의 집적점이다. 이제 다음이 성립한다 하자:

$$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \space s.t. 0<d_{X} (p,x) < \delta \Rightarrow d_{Y} (L, f(x)) < \epsilon$$

이제 우리는 $\lim_{x \rightarrow p} f(x) = L$이라 표시한다.

몇 가지 점들을 명확히 짚고 넘어간다:

i) 왜 일반적인 $L$로 표기했는가? -> $p$가 $E'$에 있지 $E$에 있다는 보장이 없고, 설사 $E$에 있다 하더라도 함숫값과 다른 값으로 수렴할 수 있기 때문이다. (고등학교 수학 범위를 상기)

ii) $0 < d_{X} (p,x)$가 필요한 이유? -> 그 점의 근방만을 살펴보고 싶기 때문이다. 이래서 연속의 정의와는 달리 $p$가 집적점이여야만 한다. 집적점이 아니면 충분히 작은 $\delta >0$을 잡으면 거리가 $\epsilon$보다 작은 점이 자기 자신뿐이거나 아예 없어져서 명제가 공허참이 되기 때문이다.

이로부터 함수가 한 점에서 연속인 조건을 정의한다:

정의 4.2 (한 점에서 연속)

$f: (X,d_{X}) \supset E \rightarrow (Y,d_{Y})$라 하자. 이제 함수 $f$가 $p \in E$서 연속이라는 것은 다음을 의미한다:

$$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 s.t. d_{X} (p,x) < \delta \Rightarrow d_{Y} (f(p), f(x)) < \epsilon$$

만약 $p$가 집적점이 아니라면 $f$는 항상 $p$에서 항상 연속이다. $p$가 집적점이라면 $f$가 $p$서 연속일 조건은 다음과 같다:

$$ \lim_{x \rightarrow p} f(x) = f(p)$$

$f$가 $E$의 모든 점에서 연속이면 $f$는 $E$서 연속이라 한다.

$\epsilon-\delta$ 조건과 동치이면서 보다 일반적인 위상공간으로 확장될 수 있는 정의는 다음과 같다:

$f$가 $E$서 연속 $\Leftrightarrow$ $V \subset Y$가 열린 집합이면, $f^{-1}(V) \subset X$ 역시 열린 집합

연속함수는 앞서 2단원에서 살펴본 다양한 위상적 성질들을 보존한다는 장점을 가진다. 예컨대 다음의 사실들이 성립한다:

1) $f: (X,d_{X}) \rightarrow (Y,d_{Y})$라 하자. $E \subset X$가 연결집합이면, $f(E)$ 역시 연결집합이다.

2) $E \subset X$가 옹골집합이면, $f(E)$ 역시 옹골집합이다.

한편 $E$서 연속인 함수 $f$에 대해, 연속의 정의에서 $\epsilon$이 주어질 때 $x \in E$에 따라 선택할 수 있는 $\delta$가 달라짐을 쉽게 알 수 있다. 이러한 제약을 제거한 보다 강한 연속의 정의가 존재한다:

정의 4.3 (균등연속)

$f$의 조건들은 위에서와 같다 하자. 이제 $f$가 $E$서 균등연속(uniformly continuous)이라는 것은 다음을 의미한다:

$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 s.t. \forall p \ in E, d_{X} (x,p) < \delta \Rightarrow d_{Y} (f(x), f(p)) < \epsilon$$

즉 여기서는 $\delta$가 $p$에 의존하지 않는다.

eg. (균등연속이 아닌 함수)

$(0,1)$서 정의된 실함수 $f(x) = \frac{1}{x}$는 정의역에서 연속이지만 균등연속이 아니다.

마지막으로, 옹골집합에서 정의된 함수는 균등연속이라는 것을 증명할 수 있다.

5. 미분과 미분계수

고등학교 수준에서 배운 미분은 할선의 극한이었다. 해석개론 수준에서 배우는 미분 역시 크게 다르지 않다. 이 단원에서는 일변수 실함수를 다룬다.

$f : \mathbb{R} \subset E \rightarrow \mathbb{R}$이 일변수 실함수라고 하자. 또한 $p \in E'$이라 하자.

이제 $f$가 $p$에서 미분가능하다는 것은 다음을 의미한다:

$$ \exists L \in \mathbb{R}, \lim_{x \rightarrow p} \frac{f(x) - f(p)}{x-p} = L$$

즉 i) 미분가능성은 집적점에서만 이야기할 수 있고, ii) 어떤 몫의 극한이 존재하는지가 미분가능성을 논하는 데에 핵심적이다.

모든 $p \in E$에 대해서 미분가능한 함수를 (E에서) 미분가능한 함수라 한다.

이후에는 고등학교 수준에서 다룬 정리들을 복습한다.

명제 5.1

$p$에서 미분가능한 함수는 $p$서 연속이다.

정리 5.1 (최대최소 정리)

$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$이고 $f$가 연속이라 하자. 그러면 1) $f$는 유계이고, 2) $f$의 최댓값과 최솟값이 존재한다.

정리 5.2 (임계점 정리)

$f: \mathbb{R} \supset E \rightarrow \mathbb{R}$이라 하자. 또한 $f$가 $E$서 미분가능하다 하자. 이제 $p \in E$에서 $f$가 극솟값이나 극댓값을 가지면, $f'(p) = 0$이다.

정리 5.3 (롤의 정리)

$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$은 연속함수이고 $(a,b)$서 미분가능하다 하자. 이제 $f'(c) = 0$인 $c \in (a,b)$가 존재한다.

정리 5.4 (평균값 정리)

$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$이 연속함수이고 $(a,b)$서 미분가능하다 하자. 이제 $f'(c) = \frac{f(b)- f(a)}{b-a}$인 $c \in (a,b)$가 존재한다.

6. 리만-스틸체스 적분

적분은 곡선 밑에 있는 영역의 넓이를 알아내겠다는 생각으로부터 출발하였다. 이후에 수학자들은 적분이 결국 "잘게 나눈 뒤 곱해서 더하는" 어떤 과정의 극한을 표현한다는 생각을 하였고, 곱하는 것이 꼭 직사각형의 밑변일 필요가 없다는 생각을 하기에 이르렀다. 이것이 원래의 리만 뒤에 스틸체스 적분이 붙는 이유이다.

이 단원에서는 $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$이고 $f$는 유계라고 가정한다.

정의 5.1 (분할)

구간 $[a,b]$의 끝점을 포함하는 유한한 점들의 집합 $P := \{a = x_{0} < x_{1} < ... < x_{n-1} < x_{n} = b \}$을 $[a,b]$의 분할이라 한다.

정의 5.2 (상합, 하합)

$\alpha : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$은 증가함수라 하자.

이제 매개함수와 분할 $\alpha, P$가 주어질 때 이에 대응되는 $f$의 상합은

$$ U(f,P,\alpha) := \Sigma_{k=0}^{n-1} \sup_{x \in [x_{k}, x_{k+1}]} f(x) * [\alpha(x_{k+1}) - \alpha(x_{k})]$$

으로 정의한다. 하합의 경우 $\sup$을 $\inf$로 바꾸면 동일하다.

정의 5.3 (상적분, 하적분)

$\alpha: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$이 증가함수로 주어졌다 하자.

이제 매개함수 $\alpha$가 주어질 때 이에 대응되는 $f$의 상적분은

$$ \bar{\int_{a}^{b}} f d\alpha := \inf_{P: \space partition} U(f,P,\alpha)$$

으로 정의한다.

하적분은 하합의 최소상계로 정의한다.

이제 상적분과 하적분이 같으면 $f$는 $[a,b]$서 $\alpha$에 대해 리만-스틸체스 적분 가능하다고 한다.

리만-스틸체스 적분과 관련해서 다음의 부분적인 결과들을 알고 있다:

1) 유한 점에서 불연속한 함수는 모든 연속인 $\alpha$에 대해 적분가능하다. ($\alpha$가 불연속이라면 적분불가능할 수도 있다.)

2) $[a,b]$서 $\alpha$에 대해 적분가능한 함수 $f$가 있다면, 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 적당한 분할 $P$를 잡아서 $U(f,P,\alpha) - L(f,P,\alpha) < \epsilon$이 성립하도록 할 수 있다.

3) 상합과 하합의 차는 분할의 refinement에 대해 감소한다.

4) 적분가능한 함수와 연속함수의 합성은 여전히 적분가능하다.

그러나 어떤 함수가 리만-스틸체스 적분가능한가에 대한 완전한 해답은 11단원까지 기다려야 할 것이다.

* 2022.09.01 연습시간 복습입니다.

1. 실수 $\mathbb{R}$의 구성과 성질

우리는 해석학에서 무엇을 공부하는가? 해석개론 1에서는 수열과 함수의 극한, 수렴, 함수의 미분과 적분을 배운다. 이 모든 것을 관통하는 핵심 주제는 극한이다.

유리수 $\mathbb{Q}$는 (분모가 0이 아닌 경우) 두 정수의 비로 간단하게 정의되고, 유리수는 순서와 대수체계가 잘 정의된다. 그렇다면 굳이 유리수에서 벗어사넛 실수 $\mathbb{R}$를 정의하고 여기서 놀아야 하는 이유가 무엇인가? 그 이유는 서로 동치인 다음의 성질들 때문이다:

(1) 최소 상계 성질: $A\subset \mathbb{R}, A \neq \emptyset$이라 하자. $A$가 위로 유계라면 (즉 $A$의 상한이 존재한다면) $A$의 최소 상계가 존재한다. (최소 상계는 상한 중 가장 작은 것이다.)

(2) 완비성: $\mathbb{R}$에서 코시수열은 수렴한다.

이러한 성질들은 현재의 시점에서 보면 매우 작위적이고 의문스러워 보이는 것이 사실이다. 그나마 직관적으로 이해해보자면, 이러한 성질들은 어떤 의미에서 "$\mathbb{R}$에는 점이 충분히 많아서, 잘 움직이는 수열로서 벗어날 수 없다"는 것을 보장한다. "잘 움직인다"는 것은 결국 수열의 항들 사이 거리가 0에 가까워짐을 의미한다. "완비성"이라는 말은 "완전히 구비되는 성질"로, 더 이상 코시 수열을 통해서 추가적인 점을 만들 수 없음을 의미한다.

최소 상계 성질을 더욱 일반적으로 강화하기 위해서 수학자들은 Extended real numbers, $\bar{\mathbb{R}}$를 만들었다. 이는 $\bar{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup {+\infty, - \infty}$로 정의한다. 여기서 $+,-\infty$는 기호에 불과하고, 우리가 새로운 순서와 연산을 정의하기 전에는 의미가 없음에 유의하라.

Extended real numbers는 다음 관계에 의해서 완전한 순서를 가진다:

$$- \infty < x < +\infty, \forall x \in \mathbb{R}$$

Extended real numbers는 다음의 관계에 의해 불완전한 대수 관계를 가진다:

$$ \infty + c = c + \infty = + \infty, c * (+\infty) = + \infty (c > 0)$$

그러나 다음의 식들은 정의할 수 없다:

$$ + \infty - \infty = ??, 0 * (+\infty) = ??$$

그렇다면 대수적 구조를 희생한 대가로 얻는 것이 무엇인가 질문할 수 있다. 바로 최소상계성질의 강화판이다:

(LUBP*): $A \subset \bar{\mathbb{R}}$이라 하자. 이제 $A$는 최소 상계를 가진다.

이제 더 이상 $A$가 공집합이 아니며 $A$가 위로 유계라는 조건이 필요 없다. 이는 특히 통상적인 의미로 수렴하지 않는 실수열의 수렴/발산을 표현할 때 유용하게 쓰인다.

2. 거리공간

임의의 집합 $X$에 다음을 만족하는 거리함수 $d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}$가 존재한다 하자:

$$(i) d(x,y) = d(y,x) \\ (ii) d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y \\ (iii) d(x,y) \leq d(x,z)+d(z,y), \forall z \in X$$

(iii)에서 등장하는 부등식을 삼각부등식이라 한다.

이제 순서쌍 $(X,d)$를 거리공간이라 한다.

거리공간은 매우 일반적이어서, 다음의 예시도 거리공간이다:

eg. (거리공간의 예)

$X = \mathbb{R}, d: X \times X \rightarrow \mathbb{R} \\ d(x,y) = \begin{cases} 1 \space (x \neq y) \\ 0 \space (x = y) \end{cases}$

거리공간으로부터 열린 집합의 개념이 유도된다. 사실, 거리공간으로부터 유도되지 않는 경우에도 열린 집합들을 특정 성질들에 맞게 정의할 수 있는데 이를 위상(topology)라 한다. 즉, 거리공간으로부터 위상이 유도된다 할 수 있다.

Def 2.1 (열린 집합)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. 이제 $M \subset X$가 다음을 만족하면 $M$은 열린 집합이라 한다:

$$ x \in M \Rightarrow \exists \epsilon>0, B_{\epsilon}(x) \subset M$$

단, 여기서 $B_{\epsilon}(x) := \{y \in X | d(x,y) < \epsilon \}$으로 정의하며, 열린 공이라 부른다.

직관적으로 보자면, 열린 집합 M의 어떤 점 x를 골라도 충분하 가까운 주변에는 M의 점밖에 보이지 않는다.

열린 공으로부터 집적점의 정의가 유도된다:

Def 2.2 (집적점)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $A \subset X$라 하자. 이제 $p \in X$가 다음을 만족하면 $p$는 $A$의 집적점 (accumulation point)라 한다:

$$ \forall \epsilon>0, (B_{\epsilon}(p) - \{p\}) \cap A \neq \emptyset $$

집적점은 $A$의 원소일 수도, 아닐 수도 있다.

집적점으로부터 닫힌 집합의 정의가 유도된다:

Def 2.3 (닫힌 집합)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $A \subset X$라 하자. 이제 $A$의 집적점의 집합을 $A'$이라 하자.

다음이 성립하면 $A$를 닫힌 집합이라 한다:

$$ A' \subset A$$

무엇에 대해 "닫혀" 있는가? 바로 수열의 수렴. 닫힌 집합 $A$에서 수렴하는 수열을 잡으면 그 극한값 역시 $A$에 속해야 한다.

간단한 정리로써 닫힌 집합의 여집합은 열린 집합이고, 열린 집합의 여집합은 닫힌 집합임을 보일 수 있다.

닫힌 집합으로부터 폐포가 정의된다:

Def 2.4 (폐포)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $A \subset X$라 하자. 이제 $A$의 폐포는 다음과 같다:

$$ \bar{A} = A \cup A'$$

폐포로부터 조밀집합이 정의된다:

Def 2.5 (조밀집합)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $A \subset X$가 다음을 만족하면 $A$는 $X$에서 조밀하다 한다:

$$ \bar{A} = X$$

한편 유계집합을 정의할 수 있다:

Def 2.6 (유계집합)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $A \subset X$가 다음을 만족하면 $A$는 유계집합이라 한다:

$$ \exists r >0, x \in X, A \subset B_{r}(x)$$

유의할 것은, Def 2.1~ Def 2.6에서 한 모든 논의는 어떤 거리공간을 정해놓은 상태로 한 논의이다. 따라서 거리공간이 달라지면 같은 집합이더라도 열린 집합, 닫힌 집합 등의 정의를 만족할수도, 만족하지 않을 수도 있다.

eg. (열린 집합의 거리공간 의존성)

$A = (0,1)$이라 하자. $X = \mathbb{R}, d(x,y) = |x-y|$라 정의하면 $A$는 열린 집합이지만 닫힌 집합은 아니다. (0은 $A$의 집적점이지만 $A$에 속하지는 않는다.) 한편 $X = (0,1), d(x,y) = |x-y|$라 정의하면 이제 $A$는 닫힌 집합이기도 하다.

한편 이제 살펴볼 옹골집합의 정의는, 토폴로지에 의존하는 성질이므로 거리함수만 주어지면 고려되는 집합 $X$와는 무관하다는 특성을 가진다:

정의 2.7 (열린 덮개)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. 이제 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathcal{A}}$는 $(X,d)$서 열린 집합들의 가족이라 하자. (여기서 index set은 $\mathcal{A}$인데, 이 집합에 대해서는 아는 바가 없다.)

이제 다음이 성립하면 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathcal{A}}$를 $M$의 열린 덮개라 한다:

$$M \subset \cup_{\alpha \in \mathcal{A}} U_{\alpha} $$

정의 2.8 (옹골집합)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. 이제 $M\subset X$가 다음을 만족하면 $M$은 옹골집합이라 한다:

$M$의 임의의 열린 덮개 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha \in \mathcal{A}}$에 대해서, 유한한 원소들 $\alpha_{1}, ... , \alpha_{n}$을 잡을 수 있어, $M \subset \cup_{i=1}^{n} U_{\alpha_{i}}$가 성립한다.

허나 정의에서 볼 수 있듯이 "토폴로지에 의존하는 성질이므로 거리함수만 주어지면 고려되는 집합 $X$와는 무관하다는 특성을 가진다"는 진술은 결코 자명하지 않고 정리로써 증명해야 한다.

옹골집합은 유한집합의 일반화이다. 실제로 discrete metric을 택하면 모든 옹골집합은 유한집합이 됨을 확인할 수 있다.

옹골성은 연속함수에 의해 보존되는 성질이다. 한편 옹골집합에서 정의된 연속함수는 균일연속인 등, 연속함수와 옹골집합의 개념은 밀접히 관련되어 있다.

옹골집합이 유계이고 닫혀있음을 보이는 일은 쉽다. Heine-Borel 정리에 의하면 $\mathbb{R}^{n}$이라는 특수한 거리공간에서는 역도 성립한다. 허나 이 사실이 일반적으로 참인 것은 아니다.

이후에 살펴볼 정의들 역시 연속함수를 다룰 때 중요하게 사용된다.

정의 2.9 (분리집합쌍)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $M,N \subset X$가 다음을 만족하면 $M,N$은 분리집합쌍이라 한다:

$$ \bar{M} \cap N = \emptyset, M \cap \bar{N} = \emptyset$$

정의 2.10 (연결집합)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $A \subset X$가 다음을 만족하면 $A$는 연결집합이라 한다:

"$A = M \cup N, M,N$은 분리집합쌍"을 만족하는 $M,N \neq \emptyset$가 존재하지 않는다.

3. 거리공간에서의 수열

수열은 자연수를 정의역으로 가지는 함수로 이해할 수 있다. 루딘에서는 통상적인 표기법 $(a_{n})_{n \geq 1}$을 따른다.

수열에서 살펴볼 수 있는 흥미로운 성질은 수렴성이다.

정의 3.1 (수렴)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $(a_{n})_{n \geq 1}$이 $X$에서 정의된 수열이라 하자. 이제 다음이 성립하면 $a_{n}$이 극한 $L$로 수렴한다고 하고, 

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = L$$

로 표시한다:

$$ \forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, n \geq N \Rightarrow d(a_{n} , L) <\epsilon$$

우리가 사칙연산이 정의된 $\mathbb{R}, \mathbb{C}$ 같은 거리공간에서 논다면, 극한 연산자와 사칙연산이 (0으로 나누는 경우를 제외하면) 잘 호환됨을 조금 지루한 작업을 통해 확인할 수 있다.

어떤 수열이 수렴함을 정의를 통해 주장하려면 그 극한이 무엇인지 알아야 한다는 단점이 존재한다. 이 단점을 보완하기 위해 다음의 정의가 등장한다:

정의 3.2 (코시수열)

$(X,d)$가 거리공간이라 하자. $(a_{n})_{n \geq 1}$이 $X$에서 정의된 수열이라 하자. 이제 다음이 성립하면 $a_{n}$이 코시수열이라 한다:

$$ \forall \epsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, n,m \geq N \Rightarrow d(a_{n}, a_{n}) <\epsilon$$

임의의 거리공간에서 수렴하는 수열이 코시임을 보이는 것은 쉽다.

허나 일반적인 거리공간에서는 코시수열이 수렴한다는 보장이 없다. 그것을 보장하는 조건을 다음과 같이 부른다:

정의 3.3 (완비성)

거리공간 $(X,d)$에서 모든 코시수열이 수렴할 때, 이 거리공간은 완비성을 만족한다고 부른다.

$\mathbb{R}, \mathbb{C}$에서 통상적인 거리함수로 거리를 재는 거리공간은 대표적인 완비성 있는 거리공간이다.

다음의 정의는 부분수열의 수렴성과 관련되고, 테일러 급수의 수렴반경을 계산할 때 유용하다:

정의 3.4 (limsup)

$$\limsup_{n \rightarrow \infty} a_{n} := \lim_{n \rightarrow \infty} sup \{a_{k} | k \geq n \}$$

특히 임의의 실수열 $a_{n}$에 대해 extended real numbers에서 항상 $\limsup a_{n}$이 존재한다.

직관적으로 이해하자면 $a_{n}$의 모든 수렴하는 부분수열의 극한값들을 모아놓은 집합에서 최소상계를 잡은 것이라 생각하면 된다. 모든 실수의 부분집합은 extended reals에서 최소상계를 가짐을 상기하라.

마지막으로 급수에 대해 사용할 수 있는 개념인 절대수렴을 정의한다:

정의 3.5 (절대수렴)

급수 $\Sigma_{n=0}^{\infty} a_{n}$이 다음을 만족하면 이 급수가 절대수렴한다고 하자:

$$ \Sigma_{n=0}^{\infty} |a_{n}| $$이 수렴한다.

절대수렴하는 급수는 수렴한다는 사실을 쉽게 알 수 있고, 이것의 역은 성립하지 않는다.

한편 우리가 실수나 복소수에서 논다고 가정할 때, 절대수렴하는 급수는 순서를 바꾸어 무한급수를 취하더라도 수렴성이 보존되며 극한값이 변하지 않는다. 반면 수렴하지만 절대수렴하지 않는 급수는 순서를 바꾸어 임의의 값으로 수렴하도록 만들 수 있다 (리만).

**생각보다 글이 너무 길어지는 바람에, 2부도 조만간 올리도록 하겠습니다.**

(2022. 9. 1일자 수업 복습입니다.)

우리는 해석개론 1 범위에서 실수와 복소수 값을 가지는 수열과 급수의 수렴성과, 극한이 가지는 여러 가지 성질들을 살펴보았다. 또한 함수에 대해서 극한 연산자를 붙임으로써 미분계수, 정적분값 등을 구할 수 있다는 사실도 알았다.

이러한 모든 작업들은 최종 결과물이 실수 또는 복소수였음에 주목하라. 예컨대 $(x_{n})_(n \geq 1)$가 수렴하는 실수열이라면, 우리는 $lim_{n \rightarrow \infty} x_{n} = L$가 의미하는 바를 해석개론 1 범위에서 배웠었다. 이 때 $L$ 역시 하나의 실수라는 점에 유의하라. 또한 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$이 $x = 0$에서 미분가능하다 하면, $lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) - f(0)}{x-0} = f'(0)$의 표현이 가지는 의미 또한 해석개론 1 범위에서 배웠다. 이 때에도 $f'(0)$은 하나의 실수라는 점에 유의하라.

이제 우리는 한 단계 더 높이 나아가고자 한다. 이번 단원에서 다루는 대상은 함수열, 즉 함수의 수열이다. 실수열 또는 복소수열은 수열의 각 항이 실수/복소수였던 반면, 함수열의 각 항은 함수이다. 특히 이 단원에서는 실함수 또는 복소함수를 배울 것이다. 즉 $(f_{n})_{n \geq 1}$이 함수열이라면, $f_{n} : E \rightarrow \mathbb{C}$의 꼴인 함수열을 다룰 것이다. (E는 임의의 거리공간으로 본다.)

해석학을 배우고 있는 만큼, 이러한 함수열에 대해서 극한과 관련된 각종 작업들을 수행하는 것이 최종 목표라고 할 수 있을 것이다.

eg 1. (함수열의 예시)

$n \in \mathbb{N}$에 대해서 $f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x) = x^{n}$은 함수열이다.

그렇다면 함수열이 (어떤 함수로) 수렴한다는 의미가 정확히 무엇인지에 대해 생각해 볼 수 있다. 가장 직관적으로 떠오를 법한 의미는, 복소함수에 어떤 input을 넣으면 단순히 복소수를 얻게 된다는 점으로부터 착안할 수 있다:

Def 7-1. (점별 수렴)

$(f_{n})_{n \geq 1}$은 $E$에서 정의된 복소함수들의 함수열이라 하자. 또한 $x \in E$가 주어질 때 $lim_{n\rightarrow \infty} f_{n}(x)$가 항상 존재한다 하자.

이제 $f_{n}$는 어떤 함수 $f: E \rightarrow \mathbb{C}$로 점별 수렴한다 하며 이는 다음을 의미한다:

$$ x \in E \Rightarrow lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = f(x)$$

표기상으로는 $f_{n} \rightarrow f$라 한다.

마찬가지로 $E$서 정의된 복소함수들의 급수 $\Sigma_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$를 고려하자.

$x \in E$가 주어질 때 복소수열 $s_{n}(x) := \Sigma_{k=1}^{n} f_{k}(x)$가 수렴하면, 복소함수열 $\Sigma_{k=1}^{n}f_{k}$는 $f := \Sigma_{n=1}^{\infty}$에 점별 수렴한다 하고, $ \Sigma_{n} f_{n} \rightarrow f$라 표기한다.

기본적인 정의가 이루어진 만큼, 이제 우리는 자연스러운 몇 가지 질문을 던져볼 수 있다. 이하에서는 $f_{n} : E \rightarrow \mathbb{C}$라 가정하자.

질문 1. $f_{n} \rightarrow f$라 하자. 또한 $f_{n}$이 모두 $E$에서 연속인 함수라 하자. $f$ 또한 $E$에서 연속인가?

우선, $f$가 $E$서 연속이라고 해 보자. 그렇다면 $p \in E$에 대해 $f$는 $p$서 연속이다. 만약 $p \in E$가 $E$의 집적점이라면 (이는 $p$가 $E$의 고립점이 아님을 의미한다), 우리는 다음의 정리를 안다:

(정리 4.13?)

$f: E \rightarrow \mathbb{C}$가 집적점 $p \in E$서 연속이라 하자. 이제 다음이 성립한다:

$$ \lim_{x \rightarrow p} f(x) = f(p)$$

따라서 $E$가 집적점 $p$를 가지고 있다면 (집적점이 아닌 점에서는 함수가 무조건 연속이므로 흥미롭지 않은 대상이 된다) 그 점에서 다음이 성립할 것이다:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \lim_{x \rightarrow p} f_{n}(x) = \lim_{x \rightarrow p} \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)$$

다음의 간단한 예시는 일반적으로 극한이 두 개 있을 때 순서를 바꿀 수 없음을 나타낸다.

eg 2. (극한 연산자의 비가환성)

$n,m \in \mathbb{N}$에 대해 $a_{n,m} := \frac{m}{n+m}$이라 하자.

이제

$$ \lim_{n\rightarrow \infty} \lim_{m \rightarrow \infty} a_{n,m} = 1$$

인 반면

$$ \lim_{m \rightarrow \infty} \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n,m} = 0$$

임을 안다.

따라서 우리는 질문 1이 일반적으로 성립하지 않을 것이라 의심할 수 있다.

다음의 예시는 질문 1의 확실한 반증이다:

eg 3. (질문 1의 반례)

$f_{n} : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}, f_{n}(x) = (1-x^{2})^{n}$ 임의의 자연수 $n$에 대해 $f_{n}$은 다항함수이므로 연속함수이다.

이제 $$\lim_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) = \begin{cases} 1 \space (x = 0) \\ 0 \space (0 < x \leq 1) \end{cases}$$

임을 안다. 이 함수를 $f$라 하면 $f_{n} \rightarrow f$임을 안다. 그런데 $f$는 $x=0$서 불연속점을 가진다는 사실을 쉽게 알 수 있다.

연속이 너무 강한 조건이라 함수열의 극한을 취할 때 계승되지 못하는 조건일지도 모른다. 조건을 더 약화시켜보자:

질문 2. $f_{n} : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$, $f_{n} \rightarrow f$라 하자. 또한 $f_{n}$이 모두 $[0,1]$에서 리만적분 가능한 함수라 하자. $f$ 또한 $[0,1]$서 리만적분 가능한가?

그러나 이 또한 반례가 존재한다:

eg 4. (질문 2의 반례)

$m \in \mathbb{N}$이라 하고 $f_{m} : [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$이라 하자.

$$f_{m} (x) = \lim_{n \rightarrow \infty} (\cos (m! \pi x)^{2n}$$

으로 정의하자.

$m$이 주어질 때 다음의 사실을 알 수 있다:

$$f_{m} (x) = \begin{cases} 1 \space (m!x \in \mathbb{Z}) \\ 0 \space (m!x \notin \mathbb{Z}) \end{cases}$$

이는 코사인 함수의 특성으로, $\pi$의 정수배에서만 함숫값이 -1,1이고 나머지 모든 입력값에서는 함숫값의 절댓값이 1 미만임을 이용한 것이다.

이제 $f_{m}$은 구간 [0,1] 위에서 유한개의 점에서만 1의 값을 가지고 나머지 모든 값에서 0을 가지므로 리만 적분 가능하다는 사실을 상기하라.

한편 $m \rightarrow \infty$일 때 다음이 성립한다는 사실을 쉽게 보일 수 있다:

$$lim_{m \rightarrow \infty} f_{m}(x) = \begin{cases} 1 \space (x \in \mathbb{Q}) \\ 0 \space (x \notin \mathbb{Q}) \end{cases}$$

그런데 이 함수는 모든 점에서 불연속이고, 유리수의 조밀성에 의해 리만 상합은 항상 1, 리만 하합은 항상 0이므로 적분 불가능하다. 따라서 질문 2에 대한 대답 역시 '아니오'이다.

우리의 점별 수렴 개념이 너무 약하다는 것이 점점 분명해지고 있다. 점별 수렴만으로는 원래 함수열들의 해석학적 특징과 극한 함수의 해석학적 특징이 잘 계승되지 않는 것이다 (우리는 적분가능성, 연속성에 대해 이것을 살펴보았다.)

따라서 다음의 질문을 던져볼 법하다:

질문 3. $f_{n} \rightarrow f$라 하자. 또한 $f_{n}$이 모두 $E$에서 연속인 함수라 하자. 언제 $f$ 또한 $E$에서 연속인가?

여기서 조금의 hand-waving이 필요하다. 다음의 개념을 등장시킨다:

Def 7-2. (균등 수렴)

$f_{n} : E \rightarrow \mathbb{C}$가 함수열이라 하고, $f_{n} \rightarrow f$라 하자.

이제 $f_{n}$이 $f$에 균등 수렴(uniformly converge)한다는 것은 다음을 의미한다:

$$ \forall \epsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, s.t. n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)|<\epsilon, \forall x \in E$$

다른 방식으로 이렇게 표기할 수 있다:

$$ \forall \epsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, s.t. n \geq N \Rightarrow \sup_{x \in E} |f_{n}(x) - f(x)|<\epsilon$$

이 정의가 점별 수렴과 뭐가 다른가? 점별 수렴의 경우 $\epsilon$을 택하고 $x$를 택하면 그에 대응하는 $N$이 나왔다. 즉, 점에 따라서 어떤 점은 극한 함수에 $N = 10$만 되어도 아주 가까워지는 반면, 다른 점은 극한 함수에 $N = 1000$이  되도록 그닥 가깝지 않을 수 있다. (이는 eg.3에서 잘 드러난다.)

반면 균등 수렴의 경우 $\epsilon$을 일단 택하면 $x$와 무관하게 대응하는 $N$이 나온다. 즉, 어떤 함수열이 균등수렴하고, 그 함수의 어떤 점이 극한 함수에 $N=10$이 되었을 때 아주 가까워졌다면, 다른 모든 점들 역시 그러할 것이라는 사실을 알 수 있다.

다음 정리는 함수열의 함수값들이 실수나 복소수처럼 완비성 있는 공간에 속한다면, 균등 수렴과 "균등 코시"의 개념이 동치임을 나타낸다:

정리 7-1. $f_{n}: E \rightarrow \mathbb{C}$라 하자. 다음은 동치이다:

(1) $f_{n} \rightarrow f \space unif.$ (균등 수렴)

(2) $\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, s.t. n,m \geq N \Rightarrow \sup_{x \in E} |f_{n}(x) - f_{m}(x)| <\epsilon$

증명.

(1) => (2).

(1)이 성립하므로 다음이 성립한다:

$\forall \epsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, s.t. \forall x \in E, n \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f(x)|<\frac{\epsilon}{2}$

이제 $n, m \geq N$이라 하고 임의의 $x \in E$를 고른다.

이제

$$ |f_{n}(x) - f_{m}(x)| \\ \leq |f_{n}(x) - f(x)| + |f(x) - f_{m}(x)| \\ \leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

가 성립한다. (처음은 삼각부등식, 두번째는 (1)에 의해서 성립)

여기서 $x \in E$를 고르는데 제한이 없었으므로 (2) 또한 성립한다.

(2) => (1).

우선 $f_{n} \rightarrow f$인 $f$가 존재함을 보여야 한다. 즉, 점별 수렴성을 보여야 한다.

$x \in E$를 임의로 잡았다 하자. 이제 $(f_{n}(x))_{n \geq 1}$는 복소수열이면서 코시 수열이므로, 복소수의 완비성에 의해서 수렴한다. $x \in E$를 잡는 데 제한이 없었으므로 $f_{n} \rightarrow f$인 $f$가 존재한다.

이제 $f_{n} \rightarrow f \space unif.$임을 보이면 된다.

이를 위해서 $\epsilon > 0$을 잡고, $x \in E$를 임의로 잡는다. 이제 (2)가 성립하므로 $n,m \geq N \Rightarrow |f_{n}(x) - f_{m}(x)| < \frac{\epsilon}{2}$인 $N$이 존재한다.

이제 $n \geq N$이 주어졌다 하자. 임의의 자연수 $m \in \mathbb{N}$에 대해

$$|f_{n}(x) - f(x)| \\ \leq |f_{n}(x) - f_{m}(x)| + |f_{m}(x) - f(x)|$$

가 성립한다는 사실에 주목하자.

이제 1) x가 주어졌으므로 주어진 $x$에 맞춰서 $m$을 충분히 크게 잡아, $|f_{m}(x) - f(x)| < \frac{\epsilon}{2}$가 되도록 하자. 2) $m \geq N$이 되도록 잡아, $|f_{n}(x) - f_{m}(x)| < \frac{\epsilon}{2}$가 되도록 하자.

이 둘을 모두 만족하는 $m$을 잡을 수 있다 ($m$은 아무런 자연수일 수 있으므로). 그러한 $m$을 잡으면

$$|f_{n}(x) - f(x)| \leq \epsilon$$

을 얻을 수 있다.

여기서 $x$는 임의의 원소였으므로 (1)이 성립한다. $\square$

여기서 왜 $m$을 잡을 때는 $x$를 고려했는데, 마지막에 가서는 $x$가 임의의 원소이므로 균등수렴이 성립한다고 주장할 수 있는가? 이는 [$x$를 잡음 -> $m$을 $x$, $N$에 맞춰서 고름]이라는 과정을 모든 $x\in E$에 대해서 반복할 수 있기 때문이다. 우리는 $m$을 잡는 데 아무런 제한이 없음을 상기하라.

다음 시간에는 균등수렴이 성립하면, 함수열이 연속함수로 이루어져 있을 때 극한 함수 또한 연속임을 보장한다는 사실을 보일 것이다. 그 외에 미분가능성, 적분가능성에 관해서도 계승을 보장하는 조건들을 탐색할 것이다.